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高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述导学案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)选择性必修 第一册第二节 简谐运动的描述导学案，共21页。
3．知道简谐运动的数学描述，了解相位的概念．
知识点一 简谐运动的函数描述
1．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝A cs (ωt＋φ)．式中A是简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率．
2．ω与T、f的关系为：ω＝2πT＝2πf．
知识点二 简谐运动的图像描述
1．相位、初相
简谐运动的位移—时间函数表达式x＝A cs (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位φ叫作初相．
2．相位差
对于频率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．
3．图像信息
如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)位移—时间图像表示振动质点的运动轨迹．(×)
(2)振动的位移为正时，速度也为正．(×)
(3)简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)
(4)振动位移的方向总是背离平衡位置．(√)
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在t＝3.5 s 时刻( )
A．速度为正，加速度为正
B．速度为负，加速度为负
C．速度为负，加速度为正
D．速度为正，加速度为负
D [由图像可知，3.5 s时，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，所以此时速度为正，质点做减速运动，加速度为负，故D正确．]
3．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一个周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移与时间关系的图像是( )
A B C D
A [经14周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度，故此时振子有负方向的最大位移，A图符合，故A正确；B图中，经14周期振子位移为零，故B错误；C图中，经14周期振子位移正向最大，故C错误；D图中，经14周期振子位移为零，故D错误．]
某弹簧振子的振动图像如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，
讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？
(2)写出该振动的正弦函数表达式．
提示：(1)周期T＝0.4 s 频率f＝2.5 Hz．
(2)x＝4sin (5πt＋π2) cm或x＝4cs 5πt cm．
简谐运动的表达式
1．简谐运动表达式x＝A sin ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．
(3)ω：角频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πΤ＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
2．简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
(3)相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反．
【典例1】 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s．当t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动，求：
(1)初相位；
(2)t＝0.5 s时物体的位置．
[思路点拨] (1)关键条件是：t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动．
(2)先假设函数表达式，由t＝0时x＝6 cm求出初相φ．
[解析] (1)设简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ)
A＝12 cm，T＝2 s，ω＝2πT，
t＝0时，x＝6 cm
代入上式得，6 cm＝12sin(0＋φ) cm
解得sin φ＝12，φ＝π6或56π
因这时物体向x轴正方向运动，故应取φ＝π6，即其初相为π6．
(2)由上述结果可得
x＝A sin (ωt＋φ)＝12sin πt+π6cm
所以x＝12sin π2+π6 cm＝12sin 46π cm＝63 cm．
[答案] (1)π6 (2)63 cm处
初相位的两种求解方法
(1)确定振幅A、角频率ω及t＝0时刻的位移x，然后利用x＝A sin (ωt＋φ)，求出初相位φ．
(2)设平衡位置处的质点向正方向运动n(n<1)个周期可到达t＝0时刻质点所在处，则初相位φ＝n·2π．
[跟进训练]
1．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3 sin 4πt+π2 m
B．x＝4×10-3 sin 4πt-π2 m
C．x＝8×10-3 sin 2πt+π2 m
D．x＝4×10-3 sin 2πt-π2 m
B [振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝2πT＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移处有－0.4＝0.4sin (4πt＋φ)解得sin φ＝－1即φ＝－π2，综上可得x＝4×10-3 sin 4πt-π2 m，B正确，A、C、D错误．]
简谐运动的图像
1．图像形状
正(余)弦曲线．
2．物理意义
表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律(不是振动质点的运动轨迹)．
3．图像应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2．
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻沿x轴正方向振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻沿x轴正方向振动．
(3)任意时刻质点的位移、速度、加速度的变化情况：根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置．若远离平衡位置，则位移越来越大，加速度越来越大，而速度越来越小；若靠近平衡位置，则位移越来越小，加速度越来越小，而速度越来越大．
【典例2】 如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2．
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；
(3)小球运动到最高点时加速度的大小．
[解析] (1)由振动图像可知A＝5 cm，T＝1.2 s，
则ω＝2πT＝5π3 rad/s
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：
y＝A cs ωt cm＝5cs 5π3t cm．
(2)12.9 s＝1034T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置为y＝0，即在平衡位置．
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10 cm，则
k＝mgΔx＝100．1 N/m＝100 N/m
小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则
mg－kΔx′＝ma，解得a＝5 m/s2．
[答案] (1)y＝5cs 5π3t cm (2)215 cm 平衡位置 (3)5 m/s2
简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向．
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．
(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向．
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．
[跟进训练]
2．(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则( )
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
BD [t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，故A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，故B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，故C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，故D正确．]
1．已知两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt cm 和x2＝2sin 2πt cm，则它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1，2∶1 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
A [由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．故A正确，B、C、D错误．]
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
B [根据振动图像可知，该简谐运动的周期T＝4 s，所以频率f＝1T＝0.25 Hz，A错误；10 s内质点通过的路程s＝104×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错误；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错误．]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
A [由图像可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，故C、D错误．]
4．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图像是从平衡位置计时画出的
BC [从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，故D错误；t1时刻以后振子的位移为负，t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，故A错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，故B正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，故C正确．]
5．(2022·湖北仙桃市田家炳实验高级中学高二期中)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示．求：
(1)写出该简谐运动的表达式；
(2)t＝0.25×10-2 s时的位移；
(3)从t＝0到t＝8.5×10-2 s的时间内，质点走过的路程为多大．
[解析] (1)由图像知
A＝2 cm，T＝2×10-2 s，φ＝－π2
则ω＝2πT＝100π rad/s
则表达式为x＝2sin (100πt－π2) cm．
(2)把t＝0.25×10-2 s代入表达式得
x＝2sin (－π4)cm＝－2 cm．
(3)时间为
Δt＝8.5×10-2 s＝174T
所以通过的路程为
s＝174×4A＝17A＝17×2 cm＝34 cm．
[答案] (1)x＝2sin (100πt－π2) cm (2)－2 cm (3)34 cm
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．振动图像可以获得哪些信息？
提示：周期和振幅，任一时刻的位移．
2．如何求初相位？
提示：写出振动方程，取t＝0时刻的位移代入即可得到．
3．如何通过图像得到速度的变化？
提示：斜率，斜率为正即向正方向运动，斜率为负即向反方向运动．
课时分层作业(五) 简谐运动的描述
考点一 简谐运动的表达式
1．(2022·山东日照高二期中)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s．若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移—时间关系为( )
A．x＝0.2sin (πt＋π4)m B．x＝0.1sin (πt＋π6)m
C．x＝0.1sin (2πt＋π6)m D．x＝0.2sin (2πt＋π4)m
C [弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s，所以34T＝0.75 s，ω＝2πT＝2π rad/s，则振子的位移-时间关系为x＝0.1sin (2πt＋φ)m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得φ＝π6，则x＝0.1sin (2πt＋π6)m，故选C．]
2．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s．则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．在任意0.2 s时间内，振子的位移均为0.1 m
C [由y＝0.1sin (2.5πt)知，弹簧振子的振幅为0.1 m，故A错误；弹簧振子的周期为T＝2πω＝2π2．5π s＝0.8 s，故B错误；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，即振子到达最高点，此时振子的运动速度为零，故C正确；只有当振子从平衡位置或者从最高点(或最低点)开始计时时，经过0.2 s，振子的位移才为A＝0.1 m，故D错误．]
3．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin 100t+π2 m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin 100t+π6 m．比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位π3
CD [振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；A、B的周期T＝2πω＝2π100 s＝6.28×10-2 s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φAO－φBO＝π3为定值，D正确．故选C、D．]
考点二 简谐运动的图像
4．(多选)一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～1 s速度在增大 B．0～1 s位移在增大
C．2～3 s速度在增大 D．2～3 s位移在增大
AC [0～1 s质点从正向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小；2～3 s质点从负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小．故A、C正确．]
5．(2022·江苏徐州市第七中学高二阶段练习)简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示．则下列说法正确的是( )
A．2.5 s时振子正在向x轴正方向运动
B．t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cm
C．若增大弹簧振子的振幅，其振动周期也增大
D．若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4 cm
D [图像的斜率表示速度，斜率正负表示速度的方向，则由题图乙知，2.5 s时振子的速度为负，正在向x轴负方向运动，A错误；由题图乙可知，振子的周期为4 s，由周期性知，t＝17 s时振子相对平衡位置的位移与t＝1 s时振子相对平衡位置的位移相同，为0，B错误；根据弹簧振子的振动的周期与振幅无关，故增大弹簧振子的振幅，它的周期将保持不变，C错误；若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是s＝vt＝2 cm/s×2 s＝4 cm，D正确．]
6．一质点做简谐运动，其位移—时间图像如图所示，由图像可知( )
A．t＝1 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
B．t＝2 s时，质点速度为零，加速度为负的最大值
C．t＝3 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
D．t＝4 s时，质点速度为零，加速度为正的最大值
C [t＝1 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为负，即速度为负，A错误；t＝2 s时，位移为负的最大值，加速度为正的最大值，速度为零，B错误；t＝3 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为正，即速度为正，C正确；t＝4 s时，质点位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，D错误．]
7．(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知( )
A．质点振动频率是4 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝2 s时，质点的位移是2 cm
BC [由图像知：质点的周期是4 s，频率是14 Hz，A错误；t＝2 s时，质点的加速度最大，B正确；由图线知质点的振幅为2 cm，C正确；t＝2 s时，质点的位移是－2 cm，D错误．]
8．(多选)如图所示是物体的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动周期是2×10-2 s
B．第2个10-2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
BCD [振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10-2 s，又f＝1T，所以f＝25 Hz，则A错误，C正确；正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则D正确；第2个10-2 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，则B正确．]
9．(多选)(2022·山东临邑第一中学高二阶段练习)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系为x＝A sin ωt，振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．弹簧在第1 s末与第3 s末的长度相同
B．简谐运动的圆频率是π4 rad/s
C．第3 s末振子的位移大小为22A
D．从第3 s末到第5 s末，振子的速度方向发生变化
ABC [由题图知，振子在第1 s末与第3 s末的位移相同，即振子经过同一位置，故弹簧的长度相同，故A正确；由题图知，振子振动的周期T＝8 s，则圆频率ω＝2πT＝π4 rad/s，故B正确；位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asin ωt，第3 s末振子的位移大小为x＝A sin 3π4＝22A，故C正确；x-t图像的切线斜率表示速度，由图可知从第3 s末到第5 s末，振子的速度方向并没有发生变化，一直沿负方向，故D错误．故选ABC．]
10．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )
A．t＝0.2 s时，振子的加速度方向向左
B．t＝0.6 s时，振子的速度方向向右
C．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的动能逐渐减小
D．t＝0到t＝2.4 s的时间内，振子通过的路程是80 cm
A [由图像乙知，t＝0.2 s时，振子远离平衡位置向右运动，位移增大，根据F＝－kx可知，回复力方向向左，则加速度方向向左，故A正确；t＝0.6 s时，振子靠近平衡位置向左运动，所以振子的速度方向向左，故B错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，振子的动能逐渐增大，故C错误；t＝0到t＝2.4 s的时间内，振子通过的路程是4A×2.41.6＝60 cm，故D错误．]
11．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像．已知甲、乙两个振子质量相等，则( )
A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B．甲、乙两个振子的相位差总为π
C．前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2秒内甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置
A [根据振动图像，甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm，A正确；由于两个振子的周期和频率不同，其相位差亦会变化，B错误；前2秒内，甲在平衡位置的上方，加速度指向平衡位置，方向为负方向；而乙在平衡位置的下方，加速度指向平衡位置，方向为正方向，C错误；第2秒内甲从正向最大位移处向平衡位置运动，速度方向为负方向，指向平衡位置；乙向负向位移最大处运动，速度方向为负方向，且指向负向最大位移处，D错误．故选A．]
12．(2022·山东省五莲县第一中学高二期中)如图甲所示，装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅，对于玻璃管(包括管内液体)，求：
(1)简谐运动过程中的振幅；
(2)位移满足的函数关系式．
[解析] (1)由题意可知，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，玻璃管做简谐运动，最大位移为4 cm，即振幅A＝4 cm．
(2)玻璃管(包括管内液体)只受到重力和水的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力等于重力和浮力的合力，振动周期为0.5 s，则
ω＝2πT＝4π rad/s
t＝0时刻
x0＝－12A＝A sin φ0
结合t＝0时刻玻璃管振动的方向向下，可知
φ0＝76π
则玻璃管的位移满足函数关系式为
x＝A sin (ωt＋φ0)＝4sin (4πt＋76π) cm＝4sin (4πt－56π) cm．
[答案] (1)4 cm (2)x＝4sin (4πt－56π) cm
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v．
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm．从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像．
[解析] (1)弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示．由对称性可得T＝0.5×2 s＝1.0 s．
(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅
A＝12×25 cm＝12.5 cm．
振子4.0 s内通过的路程为
s＝4×4A＝4×4×12.5 cm＝200 cm．
(3)根据x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，
ω＝2πT＝2π rad/s
得x＝12.5sin 2πt(cm)
振动图像如图乙所示．
[答案] (1)1.0 s (2)200 cm (3)见解析
3．知道简谐运动的数学描述，了解相位的概念．
知识点一 简谐运动的函数描述
1．描述简谐运动位移—时间图像的函数表达式为x＝A cs (ωt＋φ)．式中A是简谐运动的振幅，ω为简谐运动的角频率．
2．ω与T、f的关系为：ω＝2πT＝2πf．
知识点二 简谐运动的图像描述
1．相位、初相
简谐运动的位移—时间函数表达式x＝A cs (ωt＋φ)中的ωt＋φ叫作相位，而对应t＝0时的相位φ叫作初相．
2．相位差
对于频率相同、相位不同的振子，相位差Δφ＝(ωt＋φ1)－(ωt＋φ2)＝φ1－φ2，表示两个频率相同的简谐运动的振动先后关系．
3．图像信息
如图所示，从图像上可知周期和振幅．还可知道任一时刻的位移大小和方向．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．
(1)位移—时间图像表示振动质点的运动轨迹．(×)
(2)振动的位移为正时，速度也为正．(×)
(3)简谐运动图像反映了物体在不同时刻相对平衡位置的位移．(√)
(4)振动位移的方向总是背离平衡位置．(√)
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在t＝3.5 s 时刻( )
A．速度为正，加速度为正
B．速度为负，加速度为负
C．速度为负，加速度为正
D．速度为正，加速度为负
D [由图像可知，3.5 s时，质点由平衡位置向正的最大位移处运动，所以此时速度为正，质点做减速运动，加速度为负，故D正确．]
3．一个弹簧振子沿x轴做简谐运动，取平衡位置O为x轴坐标原点．从某时刻开始计时，经过四分之一个周期，振子具有沿x轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移与时间关系的图像是( )
A B C D
A [经14周期振子具有沿x轴正方向的最大加速度，故此时振子有负方向的最大位移，A图符合，故A正确；B图中，经14周期振子位移为零，故B错误；C图中，经14周期振子位移正向最大，故C错误；D图中，经14周期振子位移为零，故D错误．]
某弹簧振子的振动图像如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉开4 cm后放开，同时开始计时，
讨论：(1)该振动的周期、频率分别是多少？
(2)写出该振动的正弦函数表达式．
提示：(1)周期T＝0.4 s 频率f＝2.5 Hz．
(2)x＝4sin (5πt＋π2) cm或x＝4cs 5πt cm．
简谐运动的表达式
1．简谐运动表达式x＝A sin ωt的理解
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移．
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱．
(3)ω：角频率，它与周期、频率的关系为ω＝2πΤ＝2πf．可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢．
2．简谐运动的表达式x＝A sin (ωt＋φ0)的理解
(1)式中(ωt＋φ0)表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
(2)式中φ0表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．
(3)相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相位分别为φ01和φ02；其相位差Δφ＝(ωt＋φ02)－(ωt＋φ01)＝φ02－φ01．当Δφ＝0时，两质点振动步调一致；当Δφ＝π时，两质点振动步调完全相反．
【典例1】 一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s．当t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动，求：
(1)初相位；
(2)t＝0.5 s时物体的位置．
[思路点拨] (1)关键条件是：t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动．
(2)先假设函数表达式，由t＝0时x＝6 cm求出初相φ．
[解析] (1)设简谐运动的表达式为x＝A sin (ωt＋φ)
A＝12 cm，T＝2 s，ω＝2πT，
t＝0时，x＝6 cm
代入上式得，6 cm＝12sin(0＋φ) cm
解得sin φ＝12，φ＝π6或56π
因这时物体向x轴正方向运动，故应取φ＝π6，即其初相为π6．
(2)由上述结果可得
x＝A sin (ωt＋φ)＝12sin πt+π6cm
所以x＝12sin π2+π6 cm＝12sin 46π cm＝63 cm．
[答案] (1)π6 (2)63 cm处
初相位的两种求解方法
(1)确定振幅A、角频率ω及t＝0时刻的位移x，然后利用x＝A sin (ωt＋φ)，求出初相位φ．
(2)设平衡位置处的质点向正方向运动n(n<1)个周期可到达t＝0时刻质点所在处，则初相位φ＝n·2π．
[跟进训练]
1．弹簧振子做简谐运动，振子运动范围为0.8 cm，周期为0.5 s，计时开始时具有正向最大加速度，则它的振动方程是( )
A．x＝8×10-3 sin 4πt+π2 m
B．x＝4×10-3 sin 4πt-π2 m
C．x＝8×10-3 sin 2πt+π2 m
D．x＝4×10-3 sin 2πt-π2 m
B [振子振动范围0.8 cm，所以2A＝0.8 cm，振幅A＝0.4 cm，周期为0.5 s，所以ω＝2πT＝4π rad/s，而初始时刻具有正向最大加速度，即在负向最大位移处有－0.4＝0.4sin (4πt＋φ)解得sin φ＝－1即φ＝－π2，综上可得x＝4×10-3 sin 4πt-π2 m，B正确，A、C、D错误．]
简谐运动的图像
1．图像形状
正(余)弦曲线．
2．物理意义
表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移随时间的变化规律(不是振动质点的运动轨迹)．
3．图像应用
(1)任意时刻质点位移的大小和方向．如图甲所示，质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和－x2．
(2)任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中a点，下一时刻离平衡位置更远，故a点此刻沿x轴正方向振动．图乙中b点，下一时刻离平衡位置更近，故b此刻沿x轴正方向振动．
(3)任意时刻质点的位移、速度、加速度的变化情况：根据下一时刻质点的位移，判断是远离还是靠近平衡位置．若远离平衡位置，则位移越来越大，加速度越来越大，而速度越来越小；若靠近平衡位置，则位移越来越小，加速度越来越小，而速度越来越大．
【典例2】 如图甲所示，轻弹簧上端固定，下端系一质量为m＝1 kg的小球，小球静止时弹簧伸长量为10 cm．现使小球在竖直方向上做简谐运动，从小球在最低点释放时开始计时，小球相对平衡位置的位移随时间t变化的规律如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2．
(1)写出小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式；
(2)求出小球在0～12.9 s内运动的总路程和12.9 s时刻的位置；
(3)小球运动到最高点时加速度的大小．
[解析] (1)由振动图像可知A＝5 cm，T＝1.2 s，
则ω＝2πT＝5π3 rad/s
小球相对平衡位置的位移随时间的变化关系式：
y＝A cs ωt cm＝5cs 5π3t cm．
(2)12.9 s＝1034T，则小球在0～12.9 s内运动的总路程43A＝215 cm；12.9 s时刻的位置为y＝0，即在平衡位置．
(3)小球在平衡位置时弹簧伸长量10 cm，则
k＝mgΔx＝100．1 N/m＝100 N/m
小球在最高点时，弹簧伸长5 cm，则
mg－kΔx′＝ma，解得a＝5 m/s2．
[答案] (1)y＝5cs 5π3t cm (2)215 cm 平衡位置 (3)5 m/s2
简谐运动图像的应用技巧
(1)判断质点任意时刻的位移大小和方向．
质点任意时刻的位移大小看质点离开平衡位置距离的大小即可，也可比较图像中纵坐标值的大小．方向由坐标值的正负判断或质点相对平衡位置的方向判断．
(2)判断质点任意时刻的加速度(回复力)大小和方向．
由于加速度(回复力)的大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，所以只要从图像中得出质点在任意时刻的位移大小和方向即可．
[跟进训练]
2．(多选)弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，则( )
A．t＝0时，振子位移为零，速度为零，加速度为零
B．t＝1 s时，振子位移最大，速度为零，加速度最大
C．t1和t2时刻振子具有相同的速度
D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度
BD [t＝0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，加速度为零，但速度为最大值，故A错误；t＝1 s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，加速度最大，而速度为零，故B正确；t1和t2时刻振子位于正向同一位置，t1时刻是经此点向正方向运动，t2时刻回到此点向负方向运动，两时刻速度大小相等，但方向相反，所以速度不相同，故C错误；t3和t4时刻振子位移相同，即处在同一位置，因此有大小相等、方向相同的加速度，故D正确．]
1．已知两个简谐运动的表达式分别为x1＝4sin 4πt cm 和x2＝2sin 2πt cm，则它们的振幅之比、各自的频率之比是( )
A．2∶1，2∶1 B．1∶2，1∶2
C．2∶1，1∶2 D．1∶2，2∶1
A [由题意知A1＝4 cm，A2＝2 cm，ω1＝4π rad/s，ω2＝2π rad/s，则A1∶A2＝2∶1，f1∶f2＝ω1∶ω2＝2∶1．故A正确，B、C、D错误．]
2．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点通过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
B [根据振动图像可知，该简谐运动的周期T＝4 s，所以频率f＝1T＝0.25 Hz，A错误；10 s内质点通过的路程s＝104×4A＝10A＝10×2 cm＝20 cm，B正确；第4 s末质点经过平衡位置，速度最大，C错误；在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相反，D错误．]
3．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q位移在增大
B．由P→Q速度在增大
C．由M→N速度是先减小后增大
D．由M→N位移始终减小
A [由图像可知从P→Q物体远离平衡位置向外运动，位移增大，速度减小，A正确，B错误；由M→N，物体由正位移处向平衡位置移动，速度增大，位移减小，再由平衡位置沿负方向运动，位移增大，速度减小，故C、D错误．]
4．(多选)如图所示是表示一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A．t1时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B．t2时刻振子的位移最大
C．t3时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D．该图像是从平衡位置计时画出的
BC [从图像可以看出，t＝0时刻，振子在正的最大位移处，因此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，故D错误；t1时刻以后振子的位移为负，t1时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，故A错误；t2时刻振子在负的最大位移处，因此可以说是在最大位移处，故B正确；t3时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向运动，故C正确．]
5．(2022·湖北仙桃市田家炳实验高级中学高二期中)一水平弹簧振子做简谐运动，其位移与时间的关系如图所示．求：
(1)写出该简谐运动的表达式；
(2)t＝0.25×10-2 s时的位移；
(3)从t＝0到t＝8.5×10-2 s的时间内，质点走过的路程为多大．
[解析] (1)由图像知
A＝2 cm，T＝2×10-2 s，φ＝－π2
则ω＝2πT＝100π rad/s
则表达式为x＝2sin (100πt－π2) cm．
(2)把t＝0.25×10-2 s代入表达式得
x＝2sin (－π4)cm＝－2 cm．
(3)时间为
Δt＝8.5×10-2 s＝174T
所以通过的路程为
s＝174×4A＝17A＝17×2 cm＝34 cm．
[答案] (1)x＝2sin (100πt－π2) cm (2)－2 cm (3)34 cm
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．振动图像可以获得哪些信息？
提示：周期和振幅，任一时刻的位移．
2．如何求初相位？
提示：写出振动方程，取t＝0时刻的位移代入即可得到．
3．如何通过图像得到速度的变化？
提示：斜率，斜率为正即向正方向运动，斜率为负即向反方向运动．
课时分层作业(五) 简谐运动的描述
考点一 简谐运动的表达式
1．(2022·山东日照高二期中)如图所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s．若振子向右经过OB的中点P时开始计时，则振子的位移—时间关系为( )
A．x＝0.2sin (πt＋π4)m B．x＝0.1sin (πt＋π6)m
C．x＝0.1sin (2πt＋π6)m D．x＝0.2sin (2πt＋π4)m
C [弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点之间做简谐运动．B、C相距20 cm．所以振幅为0.1 m，振子从B点到第二次经过O点，所用时间为0.75 s，所以34T＝0.75 s，ω＝2πT＝2π rad/s，则振子的位移-时间关系为x＝0.1sin (2πt＋φ)m，振子向右经过OB的中点P时开始计时，t＝0时x＝5 cm，代入上式得φ＝π6，则x＝0.1sin (2πt＋π6)m，故选C．]
2．一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y＝0.1sin (2.5πt)，位移y的单位为m，时间t的单位为s．则( )
A．弹簧振子的振幅为0.2 m
B．弹簧振子的周期为1.25 s
C．在t＝0.2 s时，振子的运动速度为零
D．在任意0.2 s时间内，振子的位移均为0.1 m
C [由y＝0.1sin (2.5πt)知，弹簧振子的振幅为0.1 m，故A错误；弹簧振子的周期为T＝2πω＝2π2．5π s＝0.8 s，故B错误；在t＝0.2 s时，y＝0.1 m，即振子到达最高点，此时振子的运动速度为零，故C正确；只有当振子从平衡位置或者从最高点(或最低点)开始计时时，经过0.2 s，振子的位移才为A＝0.1 m，故D错误．]
3．(多选)物体A做简谐运动的振动位移xA＝3sin 100t+π2 m，物体B做简谐运动的振动位移xB＝5sin 100t+π6 m．比较A、B的运动( )
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等，为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A的相位始终超前B的相位π3
CD [振幅是标量，A、B的振幅分别是3 m、5 m，A错误；A、B的周期T＝2πω＝2π100 s＝6.28×10-2 s，B错误；因为TA＝TB，故fA＝fB，C正确；Δφ＝φAO－φBO＝π3为定值，D正确．故选C、D．]
考点二 简谐运动的图像
4．(多选)一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．0～1 s速度在增大 B．0～1 s位移在增大
C．2～3 s速度在增大 D．2～3 s位移在增大
AC [0～1 s质点从正向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小；2～3 s质点从负向最大位移处向平衡位置运动，速度增大，位移减小．故A、C正确．]
5．(2022·江苏徐州市第七中学高二阶段练习)简谐运动的振动图线可用下述方法画出：如图甲所示，在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P，让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动，笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像．取振子水平向右的方向为振子离开平衡位置的位移正方向，纸带运动的距离代表时间，得到的振动图线如图乙所示．则下列说法正确的是( )
A．2.5 s时振子正在向x轴正方向运动
B．t＝17 s时振子相对平衡位置的位移是10 cm
C．若增大弹簧振子的振幅，其振动周期也增大
D．若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是4 cm
D [图像的斜率表示速度，斜率正负表示速度的方向，则由题图乙知，2.5 s时振子的速度为负，正在向x轴负方向运动，A错误；由题图乙可知，振子的周期为4 s，由周期性知，t＝17 s时振子相对平衡位置的位移与t＝1 s时振子相对平衡位置的位移相同，为0，B错误；根据弹簧振子的振动的周期与振幅无关，故增大弹簧振子的振幅，它的周期将保持不变，C错误；若纸带运动的速度为2 cm/s，振动图线上1、3两点间的距离是s＝vt＝2 cm/s×2 s＝4 cm，D正确．]
6．一质点做简谐运动，其位移—时间图像如图所示，由图像可知( )
A．t＝1 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
B．t＝2 s时，质点速度为零，加速度为负的最大值
C．t＝3 s时，质点速度为正的最大值，加速度为零
D．t＝4 s时，质点速度为零，加速度为正的最大值
C [t＝1 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为负，即速度为负，A错误；t＝2 s时，位移为负的最大值，加速度为正的最大值，速度为零，B错误；t＝3 s时，位移为零，加速度为零，速度最大，图像斜率为正，即速度为正，C正确；t＝4 s时，质点位移为正的最大值，加速度为负的最大值，速度为零，D错误．]
7．(多选)一质点做简谐运动，其位移x与时间t的关系曲线如图所示，由图可知( )
A．质点振动频率是4 Hz
B．t＝2 s时，质点的加速度最大
C．质点的振幅为2 cm
D．t＝2 s时，质点的位移是2 cm
BC [由图像知：质点的周期是4 s，频率是14 Hz，A错误；t＝2 s时，质点的加速度最大，B正确；由图线知质点的振幅为2 cm，C正确；t＝2 s时，质点的位移是－2 cm，D错误．]
8．(多选)如图所示是物体的振动图像，下列说法正确的是( )
A．振动周期是2×10-2 s
B．第2个10-2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
BCD [振动周期是完成一次全振动所用的时间，在图像上是两相邻极大值间的距离，所以周期是4×10-2 s，又f＝1T，所以f＝25 Hz，则A错误，C正确；正、负极大值表示物体的振幅，所以振幅A＝10 cm，则D正确；第2个10-2 s的初位置是10 cm，末位置是0，根据位移的概念有x＝－10 cm，则B正确．]
9．(多选)(2022·山东临邑第一中学高二阶段练习)某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x随时间t变化的关系为x＝A sin ωt，振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A．弹簧在第1 s末与第3 s末的长度相同
B．简谐运动的圆频率是π4 rad/s
C．第3 s末振子的位移大小为22A
D．从第3 s末到第5 s末，振子的速度方向发生变化
ABC [由题图知，振子在第1 s末与第3 s末的位移相同，即振子经过同一位置，故弹簧的长度相同，故A正确；由题图知，振子振动的周期T＝8 s，则圆频率ω＝2πT＝π4 rad/s，故B正确；位移x随时间t变化的函数关系式为x＝Asin ωt，第3 s末振子的位移大小为x＝A sin 3π4＝22A，故C正确；x-t图像的切线斜率表示速度，由图可知从第3 s末到第5 s末，振子的速度方向并没有发生变化，一直沿负方向，故D错误．故选ABC．]
10．如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，则由图可知( )
A．t＝0.2 s时，振子的加速度方向向左
B．t＝0.6 s时，振子的速度方向向右
C．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的动能逐渐减小
D．t＝0到t＝2.4 s的时间内，振子通过的路程是80 cm
A [由图像乙知，t＝0.2 s时，振子远离平衡位置向右运动，位移增大，根据F＝－kx可知，回复力方向向左，则加速度方向向左，故A正确；t＝0.6 s时，振子靠近平衡位置向左运动，所以振子的速度方向向左，故B错误；t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，振子的动能逐渐增大，故C错误；t＝0到t＝2.4 s的时间内，振子通过的路程是4A×2.41.6＝60 cm，故D错误．]
11．如图所示，虚线和实线分别为甲、乙两个弹簧振子做简谐运动的图像．已知甲、乙两个振子质量相等，则( )
A．甲、乙两振子的振幅分别为2 cm、1 cm
B．甲、乙两个振子的相位差总为π
C．前2秒内甲、乙两振子的加速度均为正值
D．第2秒内甲、乙振子速度方向相同，都指向平衡位置
A [根据振动图像，甲振子的振幅为2 cm、乙振子的振幅为1 cm，A正确；由于两个振子的周期和频率不同，其相位差亦会变化，B错误；前2秒内，甲在平衡位置的上方，加速度指向平衡位置，方向为负方向；而乙在平衡位置的下方，加速度指向平衡位置，方向为正方向，C错误；第2秒内甲从正向最大位移处向平衡位置运动，速度方向为负方向，指向平衡位置；乙向负向位移最大处运动，速度方向为负方向，且指向负向最大位移处，D错误．故选A．]
12．(2022·山东省五莲县第一中学高二期中)如图甲所示，装有一定量液体的玻璃管竖直漂浮在水中，水面足够大，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，忽略运动阻力，玻璃管的运动可以视为竖直方向的简谐运动，测得振动周期为0.5 s，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图乙所示，其中A为振幅，对于玻璃管(包括管内液体)，求：
(1)简谐运动过程中的振幅；
(2)位移满足的函数关系式．
[解析] (1)由题意可知，把玻璃管向下缓慢按压4 cm后放手，玻璃管做简谐运动，最大位移为4 cm，即振幅A＝4 cm．
(2)玻璃管(包括管内液体)只受到重力和水的浮力，所以玻璃管做简谐运动的回复力等于重力和浮力的合力，振动周期为0.5 s，则
ω＝2πT＝4π rad/s
t＝0时刻
x0＝－12A＝A sin φ0
结合t＝0时刻玻璃管振动的方向向下，可知
φ0＝76π
则玻璃管的位移满足函数关系式为
x＝A sin (ωt＋φ0)＝4sin (4πt＋76π) cm＝4sin (4πt－56π) cm．
[答案] (1)4 cm (2)x＝4sin (4πt－56π) cm
13．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v．
(1)求弹簧振子振动周期T；
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程；
(3)若B、C之间的距离为25 cm．从平衡位置计时，写出弹簧振子的位移表达式，并画出弹簧振子的振动图像．
[解析] (1)弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示．由对称性可得T＝0.5×2 s＝1.0 s．
(2)B、C间的距离为2个振幅，则振幅
A＝12×25 cm＝12.5 cm．
振子4.0 s内通过的路程为
s＝4×4A＝4×4×12.5 cm＝200 cm．
(3)根据x＝A sin ωt，A＝12.5 cm，
ω＝2πT＝2π rad/s
得x＝12.5sin 2πt(cm)
振动图像如图乙所示．
[答案] (1)1.0 s (2)200 cm (3)见解析
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