新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题8数列中的奇偶项问题（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题8数列中的奇偶项问题（附解析），共6页。试卷主要包含了多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（－2）n，n为奇数，,an＋2n＋1，n为偶数，)))则下列选项正确的是( )
A．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的奇数项构成的数列是等差数列
B．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an))的偶数项构成的数列是等比数列
C．a13＝8191
D．S10＝671
2．[2023·重庆九龙坡模拟]已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（\r(2)）n＋1，n为奇数,2an，n为偶数)))，设bn＝a2n，记数列{an}的前2n项和为S2n，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )
A．a5＝24B．bn＝n·2n
C．Tn＝n·2n＋1D．S2n＝(2n－1)2n＋1＋2
二、填空题
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋1，n为奇数，,an＋2，n为偶数．)))则数列{an}的前2n项和S2n＝________．
4．[2023·辽宁实验中学模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(3an＋1，an为奇数,\f(an,2)，an为偶数)))，若Sm＝90，则m＝________．
5．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an－1＋an－2，n为奇数，,an－1－an－2，n为偶数，)))则a20＝________．
6．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2an，n＝2k－1，,an＋1，n＝2k，)))其中k∈N*，则数列{an}的前2n项和S2n为________．
三、解答题
7．[2023·广东深圳模拟]已知等差数列{an}满足a3＝10，a5－2a2＝6.
(1)求an；
(2)数列{bn}满足bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2n－1，n为奇数,\f(1,2)an－1，n为偶数)))，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.
解：
8．[2023·辽宁锦州模拟]已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)已知cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(1,19an)，n＝2k－1,an·an＋2，n＝2k)))，k∈N*，求数列{cn}的前20项和．
解：
9．[2023·安徽马鞍山模拟]已知数列{an}，a1＝3，a2＝5，数列{bn}为等比数列，满足bn＋1＝an＋1bn－anbn，且b2，2a4，b5成等差数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)记数列{cn}满足：cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an，（n为奇数）,bn，（n为偶数）)))，求数列{cn}的前2n项和T2n.
解：
10．[2023·新课标Ⅱ卷]已知{an}为等差数列，bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an－6，n为奇数,2an，n为偶数)).记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
解：
微专题8 数列中的奇、偶项问题
1．解析：因为a1＝1，
an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(an＋（－2）n，n为奇数，,an＋2n＋1，n为偶数，)))
所以a2＝1＋(－2)1＝－1，a3＝－1＋23，
a4＝－1＋23＋(－2)3＝－1，a5＝－1＋25，
a6＝a5＋(－2)5＝－1，a7＝－1＋27，
a8＝－1，a9＝－1＋29，
a10＝－1，a11＝－1＋211，
a12＝－1，a13＝－1＋213＝8191，
可以看出：偶数项为常数列，可看作是以1为公比的等比数列，
奇数项不是等差数列，
S10＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10
＝1＋(－1)＋(－1＋23)＋(－1)＋(－1＋25)＋(－1)＋(－1＋27)＋(－1)＋(－1＋29)＋(－1)
＝1＋9×(－1)＋(23＋25＋27＋29)
＝－8＋eq \f(23（1－44）,1－4)＝672，故选BC.
答案：BC
2．解析：对A，a2＝a1＋2＝4，a3＝2a2＝8，a4＝a3＋4＝12，则a5＝2a4＝24，故A正确；
对B，由题意，b1＝a2＝4，
当n≥2时，bn＝a2n＝a2n－1＋(eq \r(2))2n＝2a2n－2＋2n＝2bn－1＋2n，
所以eq \f(bn,2n)－eq \f(bn－1,2n－1)＝1，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(bn,2n)))是以1为公差，eq \f(b1,2)＝2为首项的等差数列．
则eq \f(bn,2n)＝2＋(n－1)＝n＋1，则bn＝(n＋1)·2n，故B错误；
对C，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，即Tn＝2×21＋3×22＋4×23＋…＋(n＋1)×2n，
所以2Tn＝2×22＋3×23＋…＋n×2n＋(n＋1)×2n＋1，
两式相减得－Tn＝4＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1
＝4＋eq \f(4（1－2n－1）,1－2)－(n＋1)×2n＋1＝－n×2n＋1，
所以Tn＝n·2n＋1，故C正确；
对D，S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝[a2－(eq \r(2))2]＋[a4－(eq \r(2))4]＋…＋[a2n－(eq \r(2))2n]＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝2(a2＋a4＋…＋a2n)－(2＋22＋…＋2n)＝2(b1＋b2＋…＋bn)－eq \f(2（1－2n）,1－2)
＝2Tn＋2－2n＋1＝2n×2n＋1＋2－2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2，故D正确．故选ACD.
答案：ACD
3．解析：由题可知，当n为奇数时，an＋1－an＝1，
当n为偶数时，an＋1－an＝2，
所以an＋2－an＝3，
即{an}隔项成等差数列，其中奇数项以a1＝1为首项，以3为公差；偶数项以a2＝2为首项，以3为公差，
所以S2n＝S奇＋S偶＝na1＋eq \f(n（n－1）,2)d＋na2＋eq \f(n（n－1）,2)d
＝n＋eq \f(n（n－1）,2)×3＋2n＋eq \f(n（n－1）,2)×3＝3n2.
答案：3n2
4．解析：当a1＝3时，a2＝10，a3＝5，a4＝16，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝1，a9＝4，…，
则数列{an}从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7.
因为S5＝42，所以m>5，由7k≤90－42<7(k＋1)，k∈Z，得k＝6，
所以S25＝S5＋6×7＋4＋2＝90，所以m＝25.
答案：25
5．解析：由a3＝a2＋a1＝3，a4＝a3－a2，a5＝a4＋a3，a6＝a5－a4，a7＝a6＋a5，a8＝a7－a6，a9＝a8＋a7，a10＝a9－a8，…，a20＝a19－a18，
所以a3＋a4＝a2＋a1＋a3－a2，即a4＝a1，同理得a6＝a3，…，a20＝a17；
a3＋a4＋a5＝a2＋a1＋a3－a2＋a3＋a4，即a5＝a3＋a1，同理得a7＝a5＋a3，…，a17＝a15＋a13；
综上，a20＝a17＝a15＋a13＝2a13＋a11＝…＝21a3＋13a1＝76.
答案：76
6．解析：由递推公式an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2an，n＝2k－1,an＋1，n＝2k)))，得a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝6，a5＝7，a6＝14 ,
即a2k＝2a2k－1，a2k＋1＝a2k＋1＝2a2k－1＋1，∴a2k＋1＋1＝2(a2k－1＋1)，(k∈N*),
数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a2k－1＋1))是首项为1＋1＝2，公比q＝2的等比数列，∴a2k－1＋1＝2k，(k∈N*) ,
S2n＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a2n－1＋a2n＝3a1＋3a3＋…＋3a2n－1
＝3[(a1＋1)＋(a3＋1)＋(a5＋1)＋…＋(a2n－1＋1)－n]
＝3×2×eq \f(1－2n,1－2)－3n＝3·2n＋1－3n－6.
答案：3·2n＋1－3n－6
7．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，
因为a3＝10，a5－2a2＝6.则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝10,（a1＋4d）－2（a1＋d）＝6)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a1＝2,d＝4)))，
所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2.
(2)由(1)可得bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2n－1，n为奇数,2n－3，n为偶数)))，
则T2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)
＝(1＋22＋…＋22n－2)＋[1＋5＋…＋(4n－3)]
＝eq \f(1－4n,1－4)＋eq \f(n（4n－2）,2)＝2n2－n＋eq \f(4n－1,3)，
所以T2n＝2n2－n＋eq \f(4n－1,3).
8．解析：(1)当n＝1时，可得a1＝1，
当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝n，
a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝n－1(n≥2)，
上述两式作差可得an＝eq \f(1,2n－1)(n≥2)，
因为a1＝1满足an＝eq \f(1,2n－1)，所以{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2n－1).
(2)cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(1,19an)，n＝2k－1,an·an＋2，n＝2k)))，k∈N*，
所以c1＋c3＋…＋c19＝eq \f(1＋5＋9＋…＋37,19)＝eq \f(（1＋37）×10,2×19)＝10，
c2＋c4＋…＋c20＝eq \f(1,3×7)＋eq \f(1,7×11)＋…＋eq \f(1,39×43)
＝eq \f(1,4)(eq \f(1,3)－eq \f(1,7)＋eq \f(1,7)－eq \f(1,11)＋…＋eq \f(1,39)－eq \f(1,43))＝eq \f(1,4)(eq \f(1,3)－eq \f(1,43))＝eq \f(10,129).
所以数列{cn}的前20项和为eq \f(1300,129).
9．解析：(1)由题意，bn＋1＝an＋1bn－anbn，a1＝3，a2＝5，令n＝1得2b1＝b2，又数列{bn}为等比数列，所以bn＋1＝2bn，即数列{bn}为公比为2的等比数列．
所以由bn＋1＝an＋1bn－anbn可得2bn＝an＋1bn－anbn即an＋1－an＝2，数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
数列{an}的通项公式：an＝3＋2(n－1)＝2n＋1(n∈N*).
由b2，2a4，b5成等差数列，得：b2＋b5＝4a4，2b1＋16b1＝36，b1＝2，有bn＝2n.
(2)由(1)知cn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(2n＋1，（n为奇数）,2n，（n为偶数）)))，数列{cn}的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列．
T2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(b2＋b4＋b6＋…＋b2n)＝3n＋eq \f(n（n－1）,2)·4＋eq \f(4（1－4n）,1－4)
＝2n2＋n＋eq \f(4,3)(4n－1).
10．解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为bn＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an－6，n为奇数,2an，n为偶数))，
所以b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6.
因为S4＝32，T3＝16，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4a1＋6d＝32,（a1－6）＋（2a1＋2d）＋（a1＋2d－6）＝16))，
整理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a1＋3d＝16,a1＋d＝7))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝5,d＝2))，
所以{an}的通项公式为an＝2n＋3.
(2)证明：由(1)知an＝2n＋3，
所以Sn＝eq \f(n[5＋（2n＋3）],2)＝n2＋4n.
当n为奇数时，
Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－7)＋(4n＋2)]＋2n－3＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－7)＋(2n－3)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋2)]＝eq \f(\f(n＋1,2)（－1＋2n－3）,2)＋eq \f(\f(n－1,2)（14＋4n＋2）,2)＝eq \f(3n2＋5n－10,2).
当n>5时，Tn－Sn＝eq \f(3n2＋5n－10,2)－(n2＋4n)＝eq \f(n2－3n－10,2)＝eq \f(（n－5）（n＋2）,2)>0，
所以Tn>Sn.
当n为偶数时，Tn＝(－1＋14)＋(3＋22)＋(7＋30)＋…＋[(2n－5)＋(4n＋6)]＝[－1＋3＋7＋…＋(2n－5)]＋[14＋22＋30＋…＋(4n＋6)]＝eq \f(\f(n,2)（－1＋2n－5）,2)＋eq \f(\f(n,2)（14＋4n＋6）,2)＝eq \f(3n2＋7n,2).
当n>5时，Tn－Sn＝eq \f(3n2＋7n,2)－(n2＋4n)＝eq \f(n2－n,2)＝eq \f(n（n－1）,2)>0，
所以Tn>Sn.
综上可知，当n>5时，Tn>Sn.