新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题21圆锥曲线中与直线斜率有关的证明（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题21圆锥曲线中与直线斜率有关的证明（附解析），共6页。试卷主要包含了设椭圆C，[2023·北京卷]已知椭圆E，点F是抛物线Γ等内容，欢迎下载使用。

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；
(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.
解：
2．[2023·湖北荆门模拟]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：x＝1，l与x轴交于点H，l与双曲线C的一条渐近线交于点T，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设过点H与x轴不重合的直线交双曲线C于A，B两点，直线AF2，BF2分别交l于点M，N，求证：|HM|＝|HN|.
解：
3．[2023·北京卷]已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(5),3)，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|＝4.
(1)求E的方程；
(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y＝－2交于点N.求证：MN∥CD.
解：
4．点F是抛物线Γ：y2＝2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线Γ相交于A，B两点，|AB|＝4，抛物线Γ的准线与x轴交于点K.
(1)求抛物线Γ的方程；
(2)设C，D是抛物线Γ上异于A，B两点的两个不同的点，直线AC，BD相交于点E，直线AD，BC相交于点G，证明：E，G，K三点共线．
解：
微专题21 圆锥曲线中与直线斜率有关的证明
1．解析：(1)由已知得F(1，0)，直线l的方程为x＝1.
l的方程与C的方程联立可得A(1，eq \f(\r(2),2))或A(1，－eq \f(\r(2),2)).
∴直线AM的方程为y＝－eq \f(\r(2),2)x＋eq \r(2)或y＝eq \f(\r(2),2)x－eq \r(2).
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°.
当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，∴∠OMA＝∠OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得
kMA＋kMB＝eq \f(2kx1x2－3k（x1＋x2）＋4k,（x1－2）（x2－2）).
将y＝k(x－1)代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0.
∴x1＋x2＝eq \f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq \f(2k2－2,2k2＋1).
则2kx1x2－3k(x1＋x2)＋4k＝eq \f(4k3－4k－12k3＋8k3＋4k,2k2＋1)＝0.
从而kMA＋kMB＝0，故MA、MB的倾斜角互补，
∴∠OMA＝∠OMB.
综上，∠OMA＝∠OMB.
2．解析：(1)设双曲线C的焦距为2c，
其中c2＝a2＋b2，则F1(－c，0)，F2(c，0)，H(1，0)，
所以HF1＝(－c－1，0)，HF2＝(c－1，0)，
由HF1＋3HF2＝0，有－c－1＋3(c－1)＝0，得c＝2，
所以F1(－2，0)，F2(2，0).
因为双曲线C的渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，有T(1，eq \f(b,a))，
所以TF1＝(－3，－eq \f(b,a))，TF2＝(1，－eq \f(b,a))，
由TF1·TF2＝－2，有－3＋eq \f(b2,a2)＝－2，即－3＋eq \f(4－a2,a2)＝－2，
得a2＝2，
所以b2＝c2－a2＝2，
所以C的方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)证明：设AB的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－2＝0，
所以1－k2≠0，Δ＝4k4－4(1－k2)(－k2－2)>0，
x1＋x2＝eq \f(2k2,k2－1)，x1·x2＝eq \f(k2＋2,k2－1)，
所以kAF2＋kBF2＝eq \f(y1,x1－2)＋eq \f(y2,x2－2)＝eq \f(k（x1－1）,x1－2)＋eq \f(k（x2－1）,x2－2)＝k·eq \f(2x1x2－3（x1＋x2）＋4,（x1－2）（x2－2）)
＝eq \f(k,（x1－2）（x2－2）)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2×\f(k2＋2,k2－1)－3×\f(2k2,k2－1)＋4))＝0，
所以kBF2＝－kAF2，即∠MF2H＝∠NF2H，即HF2平分∠MF2N，
因为MN⊥HF2，所以点H为MN的中点，
所以|HM|＝|HN|.
3．解析：(1)依题意，得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),3)，则c＝eq \f(\r(5),3)a，
又A，C分别为椭圆上下顶点，|AC|＝4，所以2b＝4，即b＝2，
所以a2－c2＝b2＝4，即a2－eq \f(5,9)a2＝eq \f(4,9)a2＝4，则a2＝9，
所以椭圆E的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1.
(2)证明：因为椭圆E的方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，所以A(0，2)，C(0，－2)，B(－3，0)，D(3，0)，
因为P为第一象限E上的动点，设P(m，n)(0易得kBC＝eq \f(0＋2,－3－0)＝－eq \f(2,3)，则直线BC的方程为y＝－eq \f(2,3)x－2，
kPD＝eq \f(n－0,m－3)＝eq \f(n,m－3)，则直线PD的方程为y＝eq \f(n,m－3)(x－3)，
联立，解得，
即Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3（3n－2m＋6）,3n＋2m－6)，\f(－12n,3n＋2m－6)))，
而kPA＝eq \f(n－2,m－0)＝eq \f(n－2,m)，则直线PA的方程为y＝eq \f(n－2,m)x＋2，
令y＝－2，则－2＝eq \f(n－2,m)x＋2，解得x＝eq \f(－4m,n－2)，即Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－4m,n－2)，－2))，
又eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)＝1，则m2＝9－eq \f(9n2,4)，8m2＝72－18n2，
所以kMN＝eq \f(\f(－12n,3n＋2m－6)＋2,\f(3（3n－2m＋6）,3n＋2m－6)－\f(－4m,n－2))
＝eq \f(（－6n＋4m－12）（n－2）,（9n－6m＋18）（n－2）＋4m（3n＋2m－6）)
＝eq \f(－6n2＋4mn－8m＋24,9n2＋8m2＋6mn－12m－36)
＝eq \f(－6n2＋4mn－8m＋24,9n2＋72－18n2＋6mn－12m－36)
＝eq \f(－6n2＋4mn－8m＋24,－9n2＋6mn－12m＋36)
＝eq \f(2（－3n2＋2mn－4m＋12）,3（－3n2＋2mn－4m＋12）)＝eq \f(2,3)，
又kCD＝eq \f(0＋2,3－0)＝eq \f(2,3)，即kMN＝kCD，
显然，MN与CD不重合，所以MN∥CD.
4．解析：(1)由题意，得F(eq \f(p,2)，0)，因为|AB|＝4，AB⊥x轴，
不妨设A(eq \f(p,2)，2)，B(eq \f(p,2)，－2)，代入抛物线，得22＝2p·eq \f(p,2)⇒p＝2(p>0)，
所以抛物线Γ的方程为y2＝4x.
(2)证明：A(1，2)，B(1，－2)，准线为x＝－1，K(－1，0)，
设C(eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)，y1)，D(eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)，y2)，y1≠±2，y2≠±2，
直线AC为y－2＝eq \f(y1－2,\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y1＋2)(x－1)①，
直线BD为y＋2＝eq \f(y2＋2,\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y2－2)(x－1)②，
联立①②，解得，即E(eq \f(y1y2－y1＋y2,y1－y2＋4)，eq \f(2（y1＋y2）,y1－y2＋4))，
直线AD为y－2＝eq \f(y2－2,\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y2＋2)(x－1)③，
直线BC为y＋2＝eq \f(y1＋2,\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)－1)(x－1)＝eq \f(4,y1－2)(x－1)④，
联立③④，解得，即G(eq \f(y1y2－y2＋y1,y2－y1＋4)，eq \f(2（y1＋y2）,y2－y1＋4))，
直线EK的斜率kEK＝eq \f(\f(2（y1＋y2）,y1－y2＋4),\f(y1y2－y1＋y2,y1－y2＋4)－（－1）)＝eq \f(2（y1＋y2）,y1y2＋4)，
直线GK的斜率kGK＝eq \f(\f(2（y1＋y2）,y2－y1＋4),\f(y1y2－y2＋y1,y2－y1＋4)－（－1）)＝eq \f(2（y1＋y2）,y1y2＋4)，
则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E，G，K三点共线．