新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题2与平面向量数量积有关的最值问题（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题2与平面向量数量积有关的最值问题（附解析），共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．[2023·山东济南历城模拟]已知向量a＝(x＋1，1)，b＝(1，eq \f(2,x))，若x>0，则a·b的最小值为( )
A．2eq \r(2)B．1＋2eq \r(2)C．2＋2eq \r(2)D．2eq \r(2)－1
2．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝5，|a＋b|＝6，则|ta＋b|(t∈R)的最小值为( )
A．eq \f(24,5)B．4C．eq \f(16,5)D．eq \f(12,5)
3．如图所示，在正方形ABCD中，已知|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，若点N为正方形内(含边界)任意一点，则eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最大值是( )
A．2B．3C．4D．5
4．[2023·湖北武汉模拟]如图，已知AOB是半径为2，圆心角为eq \f(π,2)的扇形，点E，F分别在OA，OB上，且OA＝3OE，OB＝3OF，点P是圆弧eq \x\t(AB)上的动点(包括端点)，则eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的最小值为( )
A．4－eq \f(4\r(2),3)B．4＋eq \f(4\r(2),3)C．eq \f(8,3)D．eq \f(16,3)
5．[2023·福建福州模拟]在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1－x,3)eq \(AD,\s\up6(→))，x∈[0，1]，则eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))的最小值为( )
A．－2B．－eq \f(4,3)C．－eq \f(2,3)D．－eq \f(1,2)
6．[2023·广东佛山模拟]已知A(－1，0)，B(2，0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，则eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))的最大值是( )
A．18B．9C．3D．eq \f(9,4)
7．[2023·辽宁抚顺模拟]已知双曲线C：eq \f(y2,4)－eq \f(x2,2)＝1的焦点分别是F1，F2，点P在双曲线C上，则下列结论正确的是( )
8．[2023·辽宁沈阳模拟]已知向量b，c和单位向量a满足|a－b|＝2|b|，|c－a|＋|c＋a|＝4，则b·c的最大值为( )
A．eq \f(4\r(2),3)B．eq \r(2)C．2D．eq \f(\r(5),2)
9．[2023·湖南长沙模拟]已知△ABC是单位圆O的内接三角形，若A＝eq \f(π,4)，则eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的最大值为( )
A．eq \r(2)＋1B．2eq \r(2)C．2D．1－eq \r(2)
10．[2023·浙江杭州模拟]已知点P是边长为1的正十二边形A1A2…A12边上任意一点，则A1P·A1A2的最小值为( )
A．－eq \f(\r(3)－1,2)B．－eq \f(\r(3)＋1,2)C．－eq \r(3)D．－2
二、多项选择题
11．如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为以A为圆心、AB为半径的圆弧eq \x\t(BD)(包含B，D)上的任意一点，且eq \(AP,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))，则下列结论正确的是( )
A．x＋y的最大值为eq \r(2)B．x＋y的最小值为eq \f(\r(2),2)
C．eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))的最大值为4D．eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PD,\s\up6(→))的最小值为4－4eq \r(2)
12．[2023·湖南长郡中学模拟]已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，恒过点A(1，3)的直线l与圆C交于P，Q两点．下列说法正确的是( )
A．|PQ|的最小值为2eq \r(2)
B．eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PQ,\s\up6(→))∈[6，8]
C．eq \(CP,\s\up6(→))·eq \(CQ,\s\up6(→))的最大值为－2
D．过点C作直线l的垂线，垂足为点B，则点B的运动轨迹在某个定圆上
[答题区]
三、填空题
13．[2023·云南昆明模拟]已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝1，则|a＋b|的最小值为________．
14．已知O是坐标原点，点A(－2，1)，若点M(x，y)为△BCD内一点，其中B(－2，－1)，C(0，－1)，D(－1，0)内的一个动点，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OM,\s\up6(→))的最大值为________．
15．已知平面向量a，b，c中，|a|＝eq \r(3)，|b|＝1，(c－a)·(b－a)＝0且|c－a|＝|b－a|，则|c|的最大值为________．
16．[2023·河北石家庄模拟]如图，在边长为2的正方形ABCD中．以C为圆心，1为半径的圆分别交CD，BC于点E，F.当点P在劣弧EF上运动时，eq \(BP,\s\up6(→))·eq \(DP,\s\up6(→))的最小值为________．
微专题2 与平面向量数量积有关的最值问题
1．解析：a·b＝x＋1＋eq \f(2,x)≥2eq \r(x·\f(2,x))＋1＝2eq \r(2)＋1，当且仅当x＝eq \r(2)时等号成立，
则a·b的最小值为1＋2eq \r(2).故选B.
答案：B
2．解析：由题意，
∵|a＋b|＝6，
∴a2＋b2＋2a·b＝36，
∵|a|＝|b|＝5，
∴a·b＝－7，|ta＋b|2＝t2a2＋2ta·b＋b2＝25t2＋2t×(－7)＋25＝25t2－14t＋25，
当t＝eq \f(7,25)时，|ta＋b|2取得最小值eq \f(576,25)，
∴|ta＋b|的最小值为eq \f(24,5).故选A.
答案：A
3．解析：
以A为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，设N(x，y)，(0≤x≤2，0≤y≤2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，0)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(x，y)，
eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝2x∈[0，4]，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))的最大值是4，当N在线段BC上时，都可以取到．故选C.
答案：C
4．解析：
如图，以O为原点，OA，OB所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，
则A(2，0)，B(0，2)，E(eq \f(2,3)，0)，F(0，eq \f(2,3))，设P(x，y)，x，y>0，则x2＋y2＝4，
所以eq \(PE,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))＝(eq \f(2,3)－x，－y)·(－x，eq \f(2,3)－y)＝x2－eq \f(2,3)x＋y2－eq \f(2,3)y＝4－eq \f(2,3)(x＋y)，
因为x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝4，所以(x＋y)2＝4＋2xy，又x2＋y2≥2xy，则4≥2xy，所以0