新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题13二项分布与超几何分布（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题13二项分布与超几何分布（附解析），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．设随机变量X，Y满足：Y＝3X－1，X～B(2，eq \f(1,3))，则D(Y)＝( )
A．4 B．5C．6 D．7
2．[2023·湖南雅礼中学模拟]若X～B(100，eq \f(1,3))，则当k＝0，1，2，…，100时( )
A．P(X＝k)≤P(X＝50) B．P(X＝k)≤P(X＝32)
C．P(X＝k)≤P(X＝33) D．P(X＝k)≤P(X＝49)
二、多项选择题
3．[2023·广东汕头模拟]一个袋子有10个大小相同的球，其中有4个红球，6个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出3个球，记取到红球的个数为X1，期望和方差分别为E(X1)，D(X1)；试验二：从中随机地无放回摸出3个球，记取到红球的个数为X2，期望和方差分别为E(X2)，D(X2).则( )
A．E(X1)＝E(X2) B．E(X1)>E(X2) C．D(X1)>D(X2) D．D(X1)三、填空题
4．[2023·江苏金陵中学模拟]设随机变量X～H(3，2，10)，则P(X＝1)＝________．
5．[2023·山东济南模拟]已知随机变量X，Y，其中X～B(6，eq \f(1,3))，Y～N(μ，σ2)，E(X)＝E(Y)，P(|Y|<2)＝0.3，则P(Y>6)＝________．
6．[2023·河北石家庄模拟]为庆祝第19届亚运会在我国杭州举行，杭州某中学举办了一次“亚运知识知多少”的知识竞赛．参赛选手从7道题(4道多选题，3道单选题)中随机抽题进行作答，若某选手先随机抽取2道题，再随机抽取1道题，则最后抽取到的题为多选题的概率为________．
四、解答题
7．在2022～2023赛季CBA联赛中，某队甲、乙两名球员在前10场比赛中投篮命中情况统计如下表(注：表中分数eq \f(n,N)，N表示投篮次数，n表示命中次数)，假设各场比赛相互独立．
根据统计表的信息：
(1)从上述比赛中等可能随机选择一场，求甲球员在该场比赛中投篮命中率大于0.5的概率；
(2)试估计甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5的概率；
(3)在接下来的3场比赛中，用X表示这3场比赛中乙球员命中率超过0.5的场次，试写出X的分布列，并求X的数学期望．
解：
8．[2023·安徽合肥模拟]地球上生命体内都存在生物钟，研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况．控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER，PER分为PERl(导致早起倾向)和PER(导致晚睡倾向).某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERl突变的Sd指标：
长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重，
(1)从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；
(2)若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值α＝0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？
附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d).
解：
9．某学校从全体师生中随机抽取30位男生、30位女生、12位教师一起参加社会实践活动．
(1)假设30位男生身高均不相同，记其身高的第80百分位数为α，从学校全体男生中随机选取3人，记X为3人中身高不超过α的人数，以频率估计概率求X的分布列及数学期望；
(2)从参加社会实践活动的72人中一次性随机选出30位，记被选出的人中恰好有k(k＝1，2，…，30)个男生的概率为P(k)，求使得P(k)取得最大值的k的值．
解：
10．[2023·山东济宁模拟]某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是eq \f(3,5)，甲、乙两名同学作答问题相互独立．记甲答对题的个数为X，乙答对题的个数为Y.
(1)求甲、乙恰好答对2个问题的概率；
(2)若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由．
解：
微专题13 二项分布与超几何分布
1．解析：因为X～B(2，eq \f(1,3))，则D(X)＝2×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))＝eq \f(4,9)，
又Y＝3X－1，所以D(Y)＝D(3X－1)＝32D(X)＝32×eq \f(4,9)＝4.故选A.
答案：A
2．解析：由题意得：
化简得：eq \f(98,3)≤k≤eq \f(101,3)，
又k为整数，可得k＝33，所以P(X＝k)≤P(X＝33).故选C.
答案：C
3．解析：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到红球的概率为eq \f(4,10)＝eq \f(2,5)，
则X1～B(3，eq \f(2,5))，故E(X1)＝3×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5)，D(X1)＝3×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(18,25)，
从中随机地无放回摸出3个球，记红球的个数为X2，则X2的可能取值是0，1，2，3；
则P(X2＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,6)，P(X2＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,2)，
P(X2＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(3,10)，P(X2＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(1,30)，
所以随机变量X2的分布列为：
数学期望E(X2)＝0×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,30)＝eq \f(6,5)；
D(X2)＝(0－eq \f(6,5))2×eq \f(1,6)＋(1－eq \f(6,5))2×eq \f(1,2)＋(2－eq \f(6,5))2×eq \f(3,10)＋(3－eq \f(6,5))2×eq \f(1,30)＝eq \f(14,25)，
故E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2).故选AC.
答案：AC
4．解析：由随机变量X服从超几何分布X～H(3，2，10)，
可知3表示选出3个，2表示有2个供选择，总数为10，
根据超几何分布公式可得P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) )＝eq \f(7,15).
答案：eq \f(7,15)
5．解析：因为X～B(6，eq \f(1,3))，所以E(X)＝6×eq \f(1,3)＝2，
因为Y～N(μ，σ2)，所以E(Y)＝μ，
又因为E(X)＝E(Y)，所以μ＝2，
因为Y～N(μ，σ2)，所以P(Y<2)＝0.5，且P(Y>6)＝P(Y<－2)，
又因为P(|Y|<2)＝0.3，所以P(Y<－2)＝0.2，所以P(Y>6)＝0.2.
答案：0.2
6．解析：设先抽取2道题中多选题的题数为X，则X的可能取值为：0，1，2，
可得：P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) )＝eq \f(1,7)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) )＝eq \f(4,7)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) )＝eq \f(2,7)，
所以最后抽取到的题为多选题的概率为P＝P(X＝0)×eq \f(4,5)＋P(X＝1)×eq \f(3,5)＋P(X＝2)×eq \f(2,5)＝eq \f(1,7)×eq \f(4,5)＋eq \f(4,7)×eq \f(3,5)＋eq \f(2,7)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,7).
答案：eq \f(4,7)
7．解析：(1)在前10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场，分别是4，5，6，7，10，
所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率大于0.5的概率是eq \f(1,2).
(2)在前10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10，
所以在随机选择的一场比赛中，乙球员的投篮命中率超过0.5的概率是eq \f(2,5).
设甲、乙两名运动员在下一场比赛中恰有一人命中率超过0.5为事件A，
甲球员命中率超过0.5且乙球员命中率不超过0.5为事件B1，
乙球员命中率超过0.5且甲球员命中率不超过0.5为事件B2，
则P(A)＝P(B1)＋P(B2)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(1,2).
(3)X的可能取值为0，1，2，3，且X～B(3，eq \f(2,5))，
P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ×(eq \f(2,5))0×(eq \f(3,5))3＝eq \f(27,125)，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×eq \f(2,5)×(eq \f(3,5))2＝eq \f(54,125)，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ×(eq \f(2,5))2×eq \f(3,5)＝eq \f(36,125)，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×(eq \f(2,5))3＝eq \f(8,125)，
X的分布列如下：
∵X～B(3，eq \f(2,5))，∴E(X)＝3×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5).
8．解析：(1)由题意得，16只实验鼠中，有7只体征状况严重．
X的可能取值有0，1，2，3,
P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(9)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(16)) )＝eq \f(3,20)，P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(9)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(16)) )＝eq \f(9,20)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(9)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(16)) )＝eq \f(27,80)，P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(16)) )＝eq \f(1,16).
所以X的分布列为
所以X的数学期望E(X)＝0×eq \f(3,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(27,80)＋3×eq \f(1,16)＝eq \f(21,16).
(2)由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表：
零假设H0：实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预没有关系．
利用列联表中的数据得，χ2＝eq \f(16×（2×3－5×6）2,8×8×7×9)＝eq \f(16,7)≈2.286<2.706＝x0.1，
根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可认为H0成立，即认为实验鼠体征状况与GRPE蛋白干预无关．
9．解析：(1)X所有可能的取值为0，1，2，3，且X～B(3，0.8).
P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ×(1－0.8)3＝0.008；
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×0.81×(1－0.8)2＝0.096；
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ×0.82×(1－0.8)1＝0.384；
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×0.83＝0.512.
故X的分布列为
所以E(X)＝3×0.8＝2.4.
(2)设事件A为“被选出的人中恰好有k位男生”，
则30个人中剩下(30－k)个人为女生或者老师，事件包含样本点的个数为C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(30)) C eq \\al(\s\up1(30－k),\s\d1(42)) ，
所以P(k)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(30)) C eq \\al(\s\up1(30－k),\s\d1(42)) ,C eq \\al(\s\up1(30),\s\d1(72)) )＝eq \f(30！42！,C eq \\al(\s\up1(30),\s\d1(72)) )·eq \f(1,k！（30－k）！（30－k）！（k＋12）！).
所以eq \f(P（k＋1）,P（k）)＝eq \f(（30－k）2,（k＋1）（k＋13）)>1，解得k所以P(12)>P(11)>P(10)…，P(12)>P(13)>P(14)>…，
故当k＝12时，P(k)最大．
10．解析：(1)设“甲、乙恰好答对2个问题的概率”为事件A，
则P(A)＝P(X＝1)·P(Y＝1)＋P(X＝2)·P(Y＝0)
＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) eq \f(3,5)·(eq \f(2,5))2＋eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )·C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) (eq \f(3,5))0·(eq \f(2,5))3
＝eq \f(3,10)×eq \f(36,125)＋eq \f(6,10)×eq \f(8,125)＝eq \f(78,625).
(2)由已知得X所有可能的取值为1，2，3，
所以P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝eq \f(3,10)，P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝eq \f(3,5)，P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ·Ceq \\al(\s\up1(0),\s\d1(2)),C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) )＝eq \f(1,10)，
所以X的分布列为
所以E(X)＝1×eq \f(3,10)＋2×eq \f(3,5)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(9,5)，
D(X)＝(1－eq \f(9,5))2×eq \f(3,10)＋(2－eq \f(9,5))2×eq \f(3,5)＋(3－eq \f(9,5))2×eq \f(1,10)＝eq \f(9,25)，
由已知得Y～B(3，eq \f(3,5))，所以E(Y)＝3×eq \f(3,5)＝eq \f(9,5)，D(Y)＝3×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＝eq \f(18,25)，
因为E(X)＝E(Y)，但是D(X)所以选择甲同学参赛．实验鼠编号
1
2
3
4
5
6
7
8
Sd指标
9.95
9.99
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
实验鼠编号
9
10
11
12
13
14
15
16
Sd指标
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
α
0.1
0.05
0.01
xα
2.706
3.841
6.635
X2
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
0
1
2
3
P
eq \f(3,20)
eq \f(9,20)
eq \f(27,80)
eq \f(1,16)
GRPE蛋白干预
非GRPE蛋白干预
合计
体征状况严重
2
5
7
体征状况不严重
6
3
9
合计
8
8
16
X
0
1
2
3
P
0.008
0.096
0.384
0.512
X
1
2
3
P
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
eq \f(1,10)