新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题1基本不等式中“1”的妙用（附解析）

这是一份新教材2024届高考数学二轮专项分层特训卷三微专题提升练微专题1基本不等式中“1”的妙用（附解析），共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．已知x，y为正实数，且eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝2，则x＋2y的最小值是( )
A．2B．4C．8D．16
2．若正实数x，y满足x＋3y＝1，则eq \f(12,x)＋eq \f(1,y)的最小值为( )
A．12B．25C．27D．36
3．已知向量m＝(1，a)，n＝(2b－1，3)(a>0，b>0)，若m·n＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为( )
A．7B．eq \f(7,2)＋2eq \r(3)C．7＋4eq \r(3)D．4eq \r(3)
4．已知正数x，y满足x＋4y＝4，则eq \f(x＋28y＋4,xy)的最小值为( )
A．eq \f(85,2)B．24C．20D．18
5．[2023·湖北荆门模拟]已知正实数a，b满足lga＋lgb＝lg (a＋2b)，则2a＋b的最小值是( )
A．5B．9C．13D．18
6．[2023·河北石家庄模拟]已知直线2x＋3y－1＝0经过圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心，其中m>0且n∈(－1，0)，则eq \f(2,m＋2n)－eq \f(1,n)的最小值为( )
A．9B．5＋2eq \r(5)C．1D．5＋eq \r(5)
7．已知m>0，n>0，直线y＝eq \f(1,e)x＋m＋1与曲线y＝lnx－n＋2相切，则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值是( )
A．16B．12C．8D．4
8．[2023·河北邯郸模拟]已知a>0，b>0，且a＋b＝2，则eq \f(2,a＋1)＋eq \f(8,b＋1)的最小值是( )
A．2B．4C．eq \f(9,2)D．9
9．在△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB，AC于点M，N，若eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，则x＋4y的最小值是( )
A．eq \f(9,4)B．2C．eq \r(3)D．1
10．已知各项都为正数的等比数列{an}，满足a3＝2a1＋a2，若存在两项am，an，使得eq \r(aman)＝4a1，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)最小值为( )
A．2B．eq \f(3,2)C．eq \f(1,3)D．1
二、多项选择题
11．[2023·湖南长沙模拟]若a，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)B．eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)≥9C．a2＋4b2≥eq \f(5,4)D．eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥1
12．已知a>0，b>0，且2a＋b＝1，若不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥m恒成立，则m的值可以为( )
A．10B．9C．8D．7
[答题区]
三、填空题
13．[2023·山东济南模拟]已知正数x，y满足4x＋2y＝xy，则x＋2y的最小值为________．
14．[2023·辽宁辽阳模拟]若00，b>0)，
若m·n＝1，可得2b－1＋3a＝1，即eq \f(3,2)a＋b＝1，
则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝(eq \f(3,2)a＋b)(eq \f(1,a)＋eq \f(2,b))＝eq \f(3,2)＋eq \f(b,a)＋eq \f(3a,b)＋2≥eq \f(7,2)＋2eq \r(\f(b,a)·\f(3a,b))＝eq \f(7,2)＋2eq \r(3)，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(3a,b)时，即b＝eq \r(3)a＝4－2eq \r(3)时，等号成立，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为eq \f(7,2)＋2eq \r(3).故选B.
答案：B
4．解析：因为x>0，y>0，x＋4y＝4，
所以eq \f(x,4)＋y＝1，
所以eq \f(x＋28y＋4,xy)＝eq \f(x＋28y＋x＋4y,xy)＝eq \f(2x＋32y,xy)＝eq \f(2,y)＋eq \f(32,x)＝(eq \f(2,y)＋eq \f(32,x))·(eq \f(x,4)＋y)＝10＋eq \f(x,2y)＋eq \f(32y,x)≥10＋2eq \r(\f(x,2y)·\f(32y,x))＝18，
当且仅当eq \f(x,2y)＝eq \f(32y,x)⇒x＝eq \f(8,3)，y＝eq \f(1,3)时，取等号，
所以eq \f(x＋28y＋4,xy)的最小值为18.故选D.
答案：D
5．解析：由lga＋lgb＝lg (a＋2b)，可得lgab＝lg (a＋2b)，所以ab＝a＋2b，
即eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，且a>0，b>0，
则2a＋b＝(2a＋b)(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥5＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(2a,b))＝9，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)，即a＝b＝3时，等号成立，
所以2a＋b的最小值为9.故选B.
答案：B
6．解析：圆(x－m)2＋(y－n)2＝1的圆心为(m，n)，依题意，2m＋3n＝1，即m＋eq \f(3,2)n＝eq \f(1,2)，
由n∈(－1，0)，知m＋2n＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)n>0，令a＝m＋2n，b＝－eq \f(1,2)n，则a>0，b>0，a＋b＝eq \f(1,2)，
因此eq \f(2,m＋2n)－eq \f(1,n)＝eq \f(2,m＋2n)＋eq \f(\f(1,2),－\f(1,2)n)＝eq \f(2,a)＋eq \f(\f(1,2),b)＝2(a＋b)(eq \f(2,a)＋eq \f(\f(1,2),b))＝2(eq \f(5,2)＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,2b))≥2(eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,2b)))＝9，当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(a,2b)，即a＝2b＝eq \f(1,3)时取等号，
所以当m＝1，n＝－eq \f(1,3)时，eq \f(2,m＋2n)－eq \f(1,n)取得最小值9.故选A.
答案：A
7．解析：对y＝lnx－n＋2求导得y′＝eq \f(1,x)，
由y′＝eq \f(1,x)＝eq \f(1,e)得x＝e，则eq \f(1,e)·e＋m＋1＝lne－n＋2，即m＋n＝1，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝(m＋n)(eq \f(1,m)＋eq \f(1,n))＝2＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)≥2＋2＝4，
当且仅当m＝n＝eq \f(1,2)时取等号．故选D.
答案：D
8．解析：依题意，
因为a＋b＝2，所以(a＋1)＋(b＋1)＝4，则
eq \f(2,a＋1)＋eq \f(8,b＋1)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(（a＋1）＋（b＋1）))(eq \f(2,a＋1)＋eq \f(8,b＋1))
＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2（b＋1）,a＋1)＋\f(8（a＋1）,b＋1)＋10))≥eq \f(1,4)×(2×4＋10)＝eq \f(9,2)，
当且仅当a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(5,3)时，等号成立．故选C.
答案：C
9．解析：因为eq \(AM,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AN,\s\up6(→))＝yeq \(AC,\s\up6(→))，所以eq \(AH,\s\up6(→))＝mxeq \(AB,\s\up6(→))＋nyeq \(AC,\s\up6(→))，由平面向量基本定理可得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(mx＝\f(1,4),ny＝\f(1,4))))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,4x),n＝\f(1,4y))))，所以m＋n＝1⇒eq \f(1,4x)＋eq \f(1,4y)＝1，所以x＋4y＝(x＋4y)(eq \f(1,4x)＋eq \f(1,4y))＝eq \f(1,4)(1＋4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y))，而eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)≥2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝4，所以x＋4y≥eq \f(9,4)，当且仅当x＝2y＝eq \f(3,4)时取等号．故选A.
答案：A
10．解析：因为正项等比数列{an}满足a3＝2a1＋a2，设其公比为q，则an>0，q>0，
所以a1q2＝2a1＋a1q，得q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍)，
因为eq \r(aman)＝4a1，所以aman＝16a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，则(a1·2m－1)·(a1·2n－1)＝16a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，即2m＋n－2＝16＝24，故m＋n＝6，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)＝eq \f(1,6)(m＋n)(eq \f(1,m)＋eq \f(4,n))＝eq \f(1,6)(5＋eq \f(n,m)＋eq \f(4m,n))≥eq \f(1,6)(5＋2eq \r(\f(n,m)·\f(4m,n)))＝eq \f(3,2)，
当且仅当eq \f(n,m)＝eq \f(4m,n)，即n＝2m＝4时，等号成立，故eq \f(1,m)＋eq \f(4,n)的最小值为eq \f(3,2).故选B.
答案：B
11．解析：因为a，b>0，且a＋b＝1，
对于A：(eq \r(a)＋eq \r(b))2＝a＋b＋2eq \r(ab)＝1＋2eq \r(ab)≤1＋a＋b＝2，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，
所以eq \r(a)＋eq \r(b)≤eq \r(2)，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，故A正确；
对于B：eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝(eq \f(1,a)＋eq \f(4,b))(a＋b)＝1＋4＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥5＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝9，
当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(4a,b)，即a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)时取等号，故B正确；
对于C：a2＋4b2＝(1－b)2＋4b2＝5b2－2b＋1＝5(b－eq \f(1,5))2＋eq \f(4,5)≥eq \f(4,5)，当且仅当b＝eq \f(1,5)，a＝eq \f(4,5)时取等号，故C不正确；
对于D：eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)＋1＝eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)＋a＋b≥2eq \r(a·\f(b2,a))＋2eq \r(b·\f(a2,b))＝2(b＋a)＝2，所以eq \f(b2,a)＋eq \f(a2,b)≥1，当且仅当a＝b＝eq \f(1,2)时取等号，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
12．解析：由a>0，b>0，且2a＋b＝1，
可得eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))(2a＋b)＝5＋eq \f(2b,a)＋eq \f(2a,b)≥5＋2eq \r(\f(2b,a)×\f(2a,b))＝9，
当且仅当eq \f(2b,a)＝eq \f(2a,b)时，即a＝b＝eq \f(1,3)时，等号成立，
又因为不等式eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥m恒成立，所以m≤9，
结合选项，可得选项B，C，D符合题意．故选BCD.
答案：BCD
13．解析：因为4x＋2y＝xy，则eq \f(4x＋2y,xy)＝eq \f(4,y)＋eq \f(2,x)＝1，又x，y是正数，
所以x＋2y＝(x＋2y)×1＝(x＋2y)(eq \f(4,y)＋eq \f(2,x))＝10＋eq \f(4x,y)＋eq \f(4y,x)≥10＋2eq \r(\f(4x,y)·\f(4y,x))＝18，
当eq \f(4x,y)＝eq \f(4y,x)时取得等号，即x＝6且y＝6时取等号，
所以x＋2y的最小值为18.
答案：18
14．解析：因为a＋(4－a)＝4，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(8,4－a)＝eq \f(1,4)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a＋（4－a）))(eq \f(2,a)＋eq \f(8,4－a))＝eq \f(1,4)[eq \f(2（4－a）,a)＋eq \f(8a,4－a)＋10].
因为00，
所以eq \f(2（4－a）,a)＋eq \f(8a,4－a)≥8，当且仅当eq \f(2（4－a）,a)＝eq \f(8a,4－a)，即a＝eq \f(4,3)时，等号成立，
则eq \f(2,a)＋eq \f(8,4－a)≥eq \f(1,4)×(8＋10)＝eq \f(9,2).
答案：5(答案不唯一，只要不小于eq \f(9,2)即可)
15．解析：因为随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤0)＝P(ξ≥a)，
所以a＝2，则x＋2－x＝2，
因为0