天津市五区重点校联考2023-2024学年高一上学期期中考试 数学 Word版含解析

这是一份天津市五区重点校联考2023-2024学年高一上学期期中考试 数学 Word版含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题学校：宝坻一中 芦台一中
一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 设命题，则否定为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知条件是有理数，条件是有理数，则是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 如图所示函数图象的表达式可以是（ ）
A. B.
C. D.
5. 对于实数下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
6. 若命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知函数的图象关于直线对称，当且时，恒成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8. 若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
9. 定义在R上的奇函数，对任意都有，若，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
10. 已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值为_________．
11. 函数定义域为_________．
12. 已知，，且，则的最小值为_________．
13. 是定义在上的奇函数，且当时，．则时，_________；不等式的解集是_________．
14. 设函数定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为_________．
三、解答题（本题共5小题，共59分）
15. 设全集是，集合或，.
（1）若，求；
（2）已知，求实数的取值范围.
16. 已知函数，．
（1）求的值域；
（2）求的表达式；
（3）解不等式．
17. 设
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
18. 2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在中国杭州举行.亚运会吉祥物：宸宸、琮琮和莲莲“江南忆组合”深受人们喜爱．某厂家经过市场调查，可知生产“江南忆组合”小玩具需投入的年固定成本为6万元，每生产万套该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足12万套时，，在年产量不小于12万套时，．每套产品售价为10元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
（1）写出年利润(万元)关于年产量(万套)的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本）
（2）年产量为多少万套时，年利润最大？最大年利润是多少？
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数在上单调性；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
2023～2024学年度第一学期期中重点校联考
高一数学
出题学校：宝坻一中 芦台一中
一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分）
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算，，得到，再计算交集得到答案.
【详解】，，，
.
故选：B.
2. 设命题，则的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.
【详解】命题，则的否定为：.
故选：D.
3. 已知条件是有理数，条件是有理数，则是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】若是有理数，则一定是有理数，若是有理数，则不一定是有理数，得到答案.
【详解】若是有理数，则一定是有理数；
若是有理数，则不一定是有理数，比如取；
故是q的必要不充分条件.
故选：B
4. 如图所示函数图象的表达式可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数图像来判断函数所具有的特征性质，从而逐项判断可求解.
【详解】由题意得：根据图像可得：函数为偶函数，
在区间上单调递减，在区间上单调递增；
对于A项：为偶函数，且，
当时，易得：在区间上单调递增，
当时，易得：在区间上单调递减，
故A项正确.
对于B项：为偶函数，且，
当时，易得：在区间上单调递减，故B项错误.
对于C项：为偶函数，且
当时，易得，，，
故C项错误；
对于D项：为偶函数，且，
当x>0时，易得，，故D项错误.
故选：A.
5. 对于实数下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】
分析】根据不等式性质确定C正确，举反例得到ABD错误，得到答案.
【详解】对选项A：取，，满足，，错误；
对选项B：当时，，错误；
对选项C：若，则，正确；
对选项D：取，，满足，
此时，，，错误；
故选：C.
6. 若命题“”为假命题，则取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得命题“”为真命题，根据二次函数的性质只需即可.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，
因为函数在上单调递减，
所以只需，解得，
即的取值范围为.
故选：A
7. 已知函数的图象关于直线对称，当且时，恒成立，设，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，可得函数在上单调递减，再结合函数对称性比较大小即得.
【详解】由当且时，恒成立，
得函数在上单调递减，又函数的图象关于直线对称，
则，，而，因此，
所以.
故选：D
8. 若函数是上的增函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据各段单调递增且在断点处左侧的函数值不超过右侧的函数值得到不等式组.
【详解】因为函数是上的增函数，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：B
9. 定义在R上的奇函数，对任意都有，若，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造，确在上单调递减，为奇函数，得到，解得答案.
【详解】，，则，
设，故，在上单调递减，
为奇函数，则，为奇函数，
在上单调递减，，，
，即，故，
故选：C.
二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分）
10. 已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与幂函数的单调性，列出方程组求解即可.
【详解】由题意得，，
解得.
故答案为：.
11. 函数的定义域为_________．
【答案】
【解析】
【分析】求具体函数定义域时，由偶次根式要求根号下的式子非负求解即可.
【详解】因为中，，解得：，即，
所以函数的定义域为.
故答案为：
12. 已知，，且，则的最小值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意可得代入，结合不等式求解即可.
【详解】由可得：，
所以，
当且仅当即.
故答案为：.
13. 是定义在上的奇函数，且当时，．则时，_________；不等式的解集是_________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设，计算，在根据奇函数性质，即可求出解析式；再利用奇函数的单调性解不等式.
【详解】当时，，
所以，因为是奇函数，
所以，所以，
所以时，；
由可得：，
当时，在上单调递增，
因为是奇函数，所以在上单调递增，
所以，所以.
故答案为：；.
14. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为_________．
【答案】##4.5
【解析】
【分析】根据函数，且时，，作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】解：因为函数，且时，，
所以，
当时，，
则，
，
当时，，
，
，
作出函数的图象如图所示：
由图象知：当时，，此时，
所以令，解得或，
所以对任意，都有时，的最大值为，
故答案为：
三、解答题（本题共5小题，共59分）
15. 设全集是，集合或，.
（1）若，求；
（2）已知，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的并交补运算求解即可，可参考数轴解决问题；
（2）由，根据集合未知，需讨论集合是否为，可根据数轴解决问题.
【小问1详解】
解：因为或，所以，
若，则，所以.
【小问2详解】
解：因为，由于，
所以当时，则有，即；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
16. 已知函数，．
（1）求的值域；
（2）求的表达式；
（3）解不等式．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别计算和时的值域，综合得到答案.
（2）考虑和两种情况，代入计算得到答案.
（3）考虑和两种情况，代入计算解不等式得到答案.
【小问1详解】
当时，单调递增，所以，
当时，单调递减，所以，
综上所述：，即的值域为；
【小问2详解】
当时，，则，
当时，，则．
综上所述：；
【小问3详解】
当时， ，解得 ，则，
当时， ，解得 ，则
综上所述：不等式的解集为.
17. 设
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
（2）化简不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【小问1详解】
由题意可得对一切实数成立，
即对一切实数成立，
当时，不满足题意；
当时，得， 解得，
所以实数的取值范围为
【小问2详解】
由题意可得，
即，
当时，不等式可化为，解集为，
当时，，即，即
解集为，
当时，，即，即，
①当，解集为，
②当，解集为，
③当，解集为.
综上所述：
当时，
当时，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为，
当，不等式的解集为.
18. 2023年9月23日至10月8日第19届亚运会在中国杭州举行.亚运会吉祥物：宸宸、琮琮和莲莲的“江南忆组合”深受人们喜爱．某厂家经过市场调查，可知生产“江南忆组合”小玩具需投入的年固定成本为6万元，每生产万套该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足12万套时，，在年产量不小于12万套时，．每套产品售价为10元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
（1）写出年利润(万元)关于年产量(万套)的函数解析式．（注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本）
（2）年产量为多少万套时，年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）
（2）当年产量为10万套时，年利润最大，最大年利润为13万元．
【解析】
【分析】（1）分和两种情况，分别求出的解析式；
（2）当时利用二次函数的性质求出最大值，当时利用基本不等式计算可得.
【小问1详解】
∵每套产品售价为10元，∴万套产品的销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，．
∴
【小问2详解】
当时，，
当时，取得最大值．
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值13．
∴当年产量为10万套时，年利润最大，最大年利润为13万元．
19. 已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数在上的单调性；
（3）若对于任意的，恒成立，求实数m的取值范围.
【答案】19.
20. 证明见解析 21.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得；
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增；
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
由于奇函数在处有定义，所以，
，所以，
经检验，此时满足为奇函数，所以.
因为，
所以.
【小问2详解】
由（1）知.
任取、且，
所以，
因为，则，，
所以，则，
所以，函数在上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知在的最大值为
所以对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以，
解得，
所以的取值范围为.