安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高三上册数学第一次教学质量检测试卷

这是一份安徽省合肥市重点中学2023-2024学年高三上册数学第一次教学质量检测试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数f(x)=2x+3+lg2(2−x)，则f(x)的定义域为（ ）
A．(−3，2)B．[−3，2)C．(−3，2]D．[−3，2]
2．已知等比数列{an}满足a1+a3=10，a4+a6=80，则数列{an}前8项的和为（ ）
A．254B．256C．510D．512
3．将y=sin(x−π4)图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到y=g(x)的图象，再将y=g(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到y=φ(x)的图象﹐则y=φ(x)的解析式为（ ）
A．y=sin(3x−π12)B．y=sin(3x+π4)
C．y=sin(13x−π12)D．y=sin(13x−7π36)
4．已知函数f(x)=(13)2x2−ax在区间(2，+∞)上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞，8]B．(−∞，8)C．[8，+∞)D．(8，+∞)
5．已知函数f(x)=x(x−3)(x−32)(x−33)(x−34)(x−35)，则f′(0)=（ ）
A．315B．314C．−314D．−315
6．函数f(x)=x3+sin3x的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一个数列{an}：1，1，2，3，5，8…，其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，即a1=a2=1，an+2=an+1+an，这样的数列称为“斐波那契数列”.若am=2(a3+a6+a9+⋯+a174)+1，则m=（ ）
A．175B．176C．177D．178
8．已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)，其中ω>0，0<φ<π，且f(x)≤f(π3)恒成立，若f(x)在区间(0，π2)上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．(92，152)B．(92，152]C．(92，9)D．(92，9]
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列代数式的值为14的是（ ）
A．cs275∘−sin275∘B．tan15∘1+tan215∘
C．cs36∘cs72∘D．2cs20∘cs40∘cs80∘
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，当且仅当n=12时Sn取得最大值，则满足Sk>0的最大的正整数k可能为（ ）
A．22B．23C．24D．25
11．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=−f(x+32)，且f(x−34)为奇函数，当x∈[−34，0]时，f(x)=83x2+ax−2，则（ ）
A．f(x)是周期为3的周期函数
B．f(1)=1
C．当x∈[32，94]时，f(x)=−83x2+223x−2
D．i=12024f(i)=2
12．三角函数表最早可以追溯到古希腊天文学家托勒密的著作《天文学大成》中记录的“弦表”，可以用来查询非特殊角的三角函数近似值，为天文学中很多复杂的运算提供了便利，有趣的是，很多涉及三角函数值大小比较的问题却不一定要求出准确的三角函数值，就比如下面几个选项，其中正确的是（ ）
A．tan12>12B．cs12>78
C．sin1>2sin12D．(sin12)sin12>23
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．lg23⋅lg34+lg48+5lg52= .
14．已知sinα=2m−3m+2，csα=−m+1m+2，且α为第二象限角，则sin(α+2024π)+cs(α+2023π)cs(α+2021π2)= .
15．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，且f(x)>f′(x)，若f(0)=0，则不等式f(2x2−5x−7)>0的解集为 .
16．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn=(an+3)(an−1)，数列{bn}满足bn=(−1)n+1n+1anan+1，若b1+b2+⋯+bn<λ−53λ2对任意n∈N∗恒成立，则λ的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知函数f(x)=sinxcsx−3cs2x+32.
（1）求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数f(x)在区间[−π6，π4]上的值域.
18．在等差数列{an}中，a4=7，a3+2a8=35，数列{bn}的前n项和为Sn，且3bn−2Sn=1.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
19．已知函数f(x)=a⋅3x+13x−1是定义域为R的偶函数.
（1）求a的值；
（2）若g(x)=9x+9−x+mf(x)+m2−1，求函数g(x)的最小值.
20．在数1和3之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积记作Tn，令an=lg3Tn.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=(n+1)⋅2n−1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.
21．已知函数f(x)=x2+lnx.
（1）求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
（2）证明：f(x)22．已知函数f(x)=a(ex−x)−e−x−x(a∈R)．
（1）若a=e，求函数f(x)的单调区间；
（2）当00，求t的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】函数的定义域及其求法；对数的概念与表示
【解析】【解答】解：根据题意可得x+3＞02−x＞0，即-3＜x＜2，所以f(x)的定义域为(−3，2).
故答案为：A.
【分析】根据函数解析式有意义得到不等式组，求解即可得到函数定义域.
2．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：根据题意，设公比为q，因为a1+a3=10，a4+a6=80，所以q3=a4+a6a1+a3=8，即q=2，又因为a1+a3=a1+a1q2=5a1=10，即a1=2，所以前8项的和S8=a11−q81−q=510.
故答案为：C.
【分析】根据题意设公比q，根据q3=a4+a6a1+a3=8先求解q，再求解a1，进而计算前8项和即可.
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：根据题意，将y=sin(x−π4)图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到y=g(x)=sin13x−π4，再将y=g(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到y=φ(x)=sin13x+π6−π4=sin13x−7π36.
故答案为：D.
【分析】根据三角函数图象变换求解即可.
4．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：设2x2−ax=t，则y=13t是减函数，又因为f（x）在(2，+∞)上单调递减，所以t=2x2−ax在(2，+∞)上单调递增，所以a4≤2，a≤8，所以a的取值范围是(−∞，8].
故答案为：A.
【分析】利用指数函数和复合函数的单调性可得t=2x2−ax在(2，+∞)上单调递增，利用二次函数的单调性即可求解a的取值范围.
5．【答案】D
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：设g(x)=(x−3)(x−32)(x−33)(x−34)(x−35)，则f（x）=xg（x），f'（x）=g（x）+xg'（x），当x=0时，f'（0）=g（0）+0=(0−3)(0−32)(0−33)(0−34)(0−35)=−315.
故答案为：D.
【分析】根据题意，利用导数运算法则求解即可.
6．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数f（x）的定义域为R，f（-x）=（-x）3+sin（-3x）=-（x3+sin3x）=-f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，当0＜x＜π3时，x3＞0，sin3x＞0，所以f（x）＞0，当x≥π3时，x3＞（π3）3＞1，且sin3x≥-1，所以f（x）＞0，故当x＞0时，f（x）＞0，综上，B选项符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据f（-x）=-f（x）可得f（x）为奇函数，分0＜x＜π3，x≥π3两段讨论函数值的符号，即可得到函数f（x）的大致图象.
7．【答案】B
【知识点】数列的前n项和
【解析】【解答】解：根据题意，a3=a2+a1，a4+a3+a2，即a1=a3-a2，a2=a4-a3，以此类推可得：an=an+2-an+1，则Sn=a1+a2+……+an=an+2-1，即Sn+1=an+2，又因为an+2=an+1+an，则a3=a1+a2，a6=a4+a5，……，a174=a172+a173，则am=2（a3+a6+a9+……+a174）+1=a1+a2+a3+……+a174+1=S174+1，则m=176.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得Sn+1=an+2，则am=S174+1即可求解.
8．【答案】A
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：根据题意可得f（π3）=2，所以π3ω+φ=2kπ+π2，k∈Z，所以φ=2kπ+π2−π3ω，k∈Z，当x∈（0，π2）时，φ<ωx+φ<π2ω+φ，又因为φ∈0，π，所以f（0）=sinφ＞0，因为f（x）在（0，π2）上恰有3个零点，所以0<φ<π3π<πω2+φ≤4π，k∈Z，解得6k−32<ω<6k+3215−12k<ω≤21−12k，k∈Z，假设ω不存在，则6k−32≥21−12k或6k+32≤15−12k，解得k≤34或k≥54，因为ω存在，所以34故答案为：A.
【分析】根据题意f（π3）=2可得φ=2kπ+π2−π3ω，k∈Z，结合题意可得出关于ω的不等式，结合k的取值，即可求解ω的取值范围.
9．【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换
【解析】【解答】解： A、cs275∘−sin275∘=cs150°=−cs30°=−32，A错误；
B、tan15∘1+tan215∘=sin15∘cs15∘1+sin215∘cs215∘=sin15∘·cs15∘cs215∘+sin215∘=12·2·sin15∘·cs15∘=12sin30°=14，B正确；
C、cs36∘cs72∘=4sin36°cs36°cs72°4sin36°=2sin72°cs72°4sin36°=sin144°4sin36°=sin180°−36°4sin36°=sin36°4sin36°=14，C正确；
D、2cs20∘cs40∘cs80∘=8sin20°cs20°cs40°cs80°4sin20°=4sin40°cs40°cs80°4sin20°=2sin80°cs80°4sin20°=sin160°4sin20°=14，D正确；
故答案为：BCD.
【分析】根据三角恒等变换转化为特殊角求解即可.
10．【答案】B,C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得a1>0，公差d<0，且a12>0，a13<0，所以S23=23×(a1+a23)2=23a12>0，
S24=24×(a1+a24)2=12(a1+a24)=12(a12+a13)，S25=25×(a1+a25)2=25a13＜0，故n≥25时，Sn<0，当a12+a13>0时，S24>0，则满足Sk>0的最大正整数k为24，当a12+a13≤0时，S24≤0，则满足Sk>0的最大正整数k为23，故满足Sk>0的最大正整数k可能为23和24.
故答案为：BC.
【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式即可求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解： A、因为f(x)=-f(x+32)，所以f(x+32)=-f(x+32+32)=-f(x+3)，所以f(x)=f(x+3)，所以f(x)是周期为3的周期函数，A正确；
B、f(x-34)为奇函数，所以f(x)的图象关于点（−34，0）对称，所以f(−34)=83×−342+a×−34−2=0，解得a=−23，所以当x∈[−34，0]时，f(x)=83x2−23x−2，所以f(1)=-f(−12)=1，B正确；
C、当x∈[32，94]时，f(x)=f(x-3)=-f(32-x)=−83×32−x2−23×32−x−2=−83x2+223x−3，C错误；
D、因为f(2)=f(-1)=-f(−12)=1，f(3)=f(0)=-2，所以f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0，所以i=12024fi=674[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=2，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】根据函数的奇偶性、对称性、周期性求解即可.
12．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解： A、令u(x)=tanx-x，x∈[0，π2)，所以u'(x)=1cs2x−1=sin2xcs2x≥0，所以u(x)在[0，π2)上单调递增，所以u(12)>u(0)=0，即tan12>12，A正确；
B、令h(x)=csx+12x2−1，x∈[0，π2)，所以h'(x)=sinx+x，令g(x)=h'(x)，所以g'(x)=1-csx≥0，所以g(x)在（-∞，+∞）上单调递增，即h'(x)在（-∞，+∞）上单调递增，所以当x∈[0，π2)时，h'(x)≥h'(0)=0，所以h(x)在[0，π2)上单调递增，所以h（12）>h(0)=0，即cs12>78， B正确；
C、令p(x)=sin2x-2sinx，x∈[0，π2)，所以p'(x)=2cs2x-2csx=2(2cs2x-csx-1)=2(csx-1) (2 csx+1)≤0，所以p(x)在[0，π2)上单调递减，所以p(12)D、令f(x)=xlnx，所以f'(x)=lnx+1，令f'(x)>0，解得x>1e，令f'(x)<0，解得0 -0.4，令φ(x)=lnx-2x−1x+1，x>0，所以φ'=1x−4x+12=x−12xx+12≥0，所以φ(x)在（0，+∞）上单调递增，因为φ(1)=ln1-2×1−11+1=0，所以φ(23)<φ(1)=0，即ln23＜223−133+1=-0.4，所以（sin12)ln(sin12)＞ln23，所以(sin12)sin12>23，D正确；
故答案为：ABD.
【分析】通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求解，A选项：令u(x)=tanx-x，x∈[0，π2)，u(x)在[0，π2)上单调递增，所以u(12)>u(0)=0，即tan12>12；B选项：令h(x)=csx+12x2−1，x∈[0，π2)，h(x)在[0，π2)上单调递增，所以h（12）>h(0)=0，即cs12>78；C选项：令p(x)=sin2x-2sinx，x∈[0，π2)，p(x)在[0，π2)上单调递减，所以p(12) -0.4，令φ(x)=lnx-2x−1x+1，x>0，φ(x)在（0，+∞）上单调递增，φ(23)<φ(1)=0，即ln23＜223−133+1=-0.4，所以（sin12)ln(sin12)＞ln23，所以(sin12)sin12>23.
13．【答案】112
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：原式=2lg23·lg32+lg28lg24+2=2+32+2=112.
故答案为： 112 .
【分析】根据题意结合对数的运算性质求解即可.
14．【答案】−73
【知识点】同角三角函数间的基本关系；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：根据题意，2m−3m+22+−m+1m+22=1，即2m2-7m+3=0，解得m=3或m=12，当m=12时，sinα=2m−3m+2=2×12−312+2<0，错误，所以m=3，sinα=2×3−33+2=35，csα=−3+13+2=−45，所以sin(α+2024π)+cs(α+2023π)cs(α+2021π2)=sinα−csα−sinα=35−−45−35=−73.
故答案为： −73 .
【分析】根据题意利用同角三角函数基本关系式可得2m2-7m+3=0，解得m，利用诱导公式化简即可求解.
15．【答案】(−1，72)
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：根据题意，令gx=fxex，则g（0）=0，g'x=f'x−fxex，因为f（x）＞f'（x），所以g'（x）＜0，g（x）在R上单调递减，又因为f(2x2−5x−7)>0，所以g(2x2−5x−7)>g0，所以2x2−5x−7<0，解得−1故答案为： (−1，72) .
【分析】根据题意，令gx=fxex，利用导数得到g（x）在R上单调递减，将f(2x2−5x−7)>0转化为g(2x2−5x−7)>g0，得到2x2−5x−7<0，求解即可.
16．【答案】(15，25)
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：根据题意，当n=1时，4a1=（a1+3）（a1-1），即a12-2a1-3=0，解得a=3（负值舍去），当n≥2时，由4Sn=(an+3)(an−1)①，4Sn−1=(an−1+3)(an−1−1)②，①-②整理得：（an+an-1）（an-an-1-2）=0，因为an＞0，所以an-an-1=2（n≥2），所以数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列，an=3+2（n-1）=2n+1，所以bn=−1n+1n+1anan+1=−1n+1n+12n+12n+3=−1n+1·1412n+1+12n+3，
当n为奇数时，b1+b2+……+bn=1413+15−15−17+17+19−……−12n−1−12n+1+12n+1+12n+3=1413+12n+3=112+142n+3≤112+120=215，
当n为偶数时，b1+b2+……+bn=1413+15−15−17+17+19−……+12n−1+12n+1−12n+1−12n+3=1413−12n+3=112−142n+3<112，
所以对任意n∈N∗，b1+b2+⋯+bn≤215，由b1+b2+⋯+bn<λ−53λ2对任意n∈N∗恒成立，得215<λ−53λ2，整理得：25λ2-15λ+2＜0，解得15<λ<25.
故答案为： (15，25) .
【分析】根据题意，由已知数列递推式可得数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列，可得其通项公式，代入bn=(−1)n+1n+1anan+1，利用裂项相消法，分类求得b1+b2+b3+……+bn的最大值，求解λ的取值范围.
17．【答案】（1）解：因为f(x)=sinxcsx−3cs2x+32=12sin2x−3(1+cs2x)2+32
=12sin2x−32cs2x=sin(2x−π3)，
所以，函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，
由2kπ+π2≤2x−π3≤2kπ+3π2(k∈Z)可得kπ+5π12≤x≤kπ+11π12(k∈Z)，
所以，函数f(x)的单调递减区间为[kπ+5π12，kπ+11π12](k∈Z).
（2）解：当−π6≤x≤π4时，−2π3≤2x−π3≤π6，则−1≤sin(2x−π3)≤12，
因此，函数f(x)在区间[−π6，π4]上的值域为[−1，12].
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【分析】(1)根据三角恒等变换化简函数f(x)的解析式为f(x)=sin(2x-π3)，利用正弦型函数的周期公式可求出函数f(x)的最小正周期，利用正弦型函数的单调性求解函数∫(x)的单调递减区间即可；
(2) 由−π6≤x≤π4求出2x-π3的取值范围，利用正弦型函数的基本性质求解函数f(x)在区间[−π6，π4]上的值域即可.
18．【答案】（1）解：设等差数列{an}的公差为d，
则a3+2a8=a4−d+2(a4+4d)=3a4+7d=21+7d=35，解得d=2，
所以，an=a4+(n−4)d=7+2(n−4)=2n−1，
数列{bn}的前n项和为Sn，且3bn−2Sn=1，
当n=1时，则有3b1−2S1=b1=1，
当n≥2时，由3bn−2Sn=1可得3bn−1−2Sn−1=1，
上述两个等式作差可得3bn−3bn−1−2bn=0，即bn=3bn−1，
所以，数列{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，则bn=1×3n−1=3n−1.
（2）解：因为cn=anbn=2n−13n−1，则Tn=130+331+532+⋯+2n−13n−1，①
可得13Tn=13+332+⋯+2n−33n−1+2n−13n，②
①−②得23Tn=1+(23+232+⋯+23n−1)−2n−13n=1+23(1−13n−1)1−13−2n−13n
=2−2(n+1)3n，
故Tn=3−n+13n−1.
【知识点】数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意，设等差数列{an}的公差为d，根据已知条件求解d，结合等差数列的通项公式求解{an}的通项公式；令n=1，可求得b1的值，当n≥2时，由3bn−2Sn=1可得3bn−1−2Sn−1=1，上述两个等式作差可推导出数列{bn}为等比数列，确定该数列的首项和公比，求解数列{bn}的通项公式即可；
(2)利用错位相消法求解Tn即可.
19．【答案】（1）解：f(x)=a⋅3x+13x−1=a⋅3x+3⋅3−x
则f(−x)=a⋅3−x+3⋅3x，
因为f(x)是定义域为R的偶函数，
则a⋅3−x+3⋅3x=a⋅3x+3⋅3−x，
即(3−a)(3x−3−x)=0对任意x∈R恒成立，则a=3；
（2）解：由（1）知，f(x)=3(3x+3−x)
则g(x)=32x+3−2x+3m(3x+3−x)+m2−1
=(3x+3−x)2+3m(2x+2−x)+m2−3，
令t=3x+3−x，由基本不等式可得t≥2，当且仅当x=0时等号成立，
则原函数化为：ℎ(t)=t2+3mt+m2−3，t∈[2，+∞)，
①当−3m2≤2即m≥−43时，
ℎ(t)=t2+3mt+m2−3在[2，+∞)上单调递增，
则ℎ(t)min=ℎ(2)=m2+6m+1，即g(x)min=m2+6m+1，；
②当−3m2>2，即m<−43时，
ℎ(t)=t2+3mt+m2−3在(2，−3m2)单调递减，在(−3m2，+∞)单调递增，
则ℎ(t)min=ℎ(−32m)=(−3m2)2+3m×(−3m2)+m2−3=−54m2−3；
即g(x)min=−54m2−3，
综上所述，g(x)min=−54m2−3，m<−43m2+6m+1，m≥−43.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；奇函数与偶函数的性质；基本不等式
【解析】【分析】(1)根据偶函数的定义f（-x）=f（x）建立方程求解即可；
(2)利用换元法，将g（x）转化为一元二次函数，利用对称轴讨论求解即可.
20．【答案】（1）解：在数1和3之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
设插入的这n个数分别为c1、c2、⋯、cn，
由等比数列的性质可得c1cn=c2cn−1=⋯=cnc1=1×3=3，
所以，Tn=1⋅c1c2⋯cn⋅3Tn=3⋅cncn−1⋯c1⋅1，所以，Tn2=(1⋅3)⋅(c1cn)⋅(c2cn−1)⋅⋯⋅(cnc1)⋅(1⋅3)=3n+2，
易知Tn>0，所以，Tn=3n+22，则an=lg3Tn=lg33n+22=n+22.
（2）解：bn=(n+1)⋅2n−1anan+1=(n+1)⋅2n−1(n+2)(n+3)4=(n+1)⋅2n+1(n+2)(n+3)=[2(n+2)−(n+3)]⋅2n+1(n+2)(n+3)
=−2n+1n+2+2n+2n+3，
所以，Sn=(−223+234)+(−234+245)+⋯+(−2n+1n+2+2n+2n+3)=2n+2n+3−43.
【知识点】对数的性质与运算法则；等比数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】(1)根据题意，结合等比数列的通项公式及对数运算性质求解即可；
(2)由（1）可知，bn=(n+1)⋅2n−1anan+1=−2n+1n+2+2n+2n+3，利用裂项相消法求解即可.
21．【答案】（1）解：因为f(x)=x2+lnx，该函数的定义域为(0，+∞)，f′(x)=2x+1x，
所以，f(1)=1，f′(1)=3，
所以，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y−1=3(x−1)，即3x−y−2=0.
（2）证明：要证f(x)lnx+2，
先证明ex>x+1，令g(x)=ex−x−1，其中x>0，则g′(x)=ex−1>0，
所以，函数g(x)在(0，+∞)上为增函数，则g(x)>g(0)=0，即ex>x+1，
接下来证明lnx≤x−1，令ℎ(x)=x−lnx−1，其中x>0，则ℎ′(x)=1−1x=x−1x.
由ℎ′(x)<0可得00可得x>1，
所以，函数ℎ(x)的减区间为(0，1)，增区间为(1，+∞)，
所以，ℎ(x)≥ℎ(1)=0，即lnx≤x−1，
所以，ex>x+1=(x−1)+2≥lnx+2，即ex>lnx+2，故原不等式得证
【知识点】利用导数研究函数的单调性；直线的点斜式方程
【解析】【分析】(1)求解f(1)、f'(1)的值，利用点斜式求解切线方程即可；
(2)证明出ex>x+1、lnx≤x-1，利用不等式的基本性质可得出ex>lnx+2，即可得证.
22．【答案】（1）解：当a=e时，则f(x)=ex+1−(e+1)x−e−x，f′(x)=ex+1+e−x−(e+1)，
令f′(x)=0，则ex+1+e−x−(e+1)=0，
设ex=t>0，
则et+1t−(e+1)=0，
et2−(e+1)t+1=(et−1)(t−1)=0，t1=1e，t2=1，
所以当t∈(0，1e)和(1，+∞)时，即x∈(−∞，−1)和(0，+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当t∈(1e，1)时，即x∈(−1，0)，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述，单调增区间为(−∞，−1)和(0，+∞)，单调减区间为(−1，0)．
（2）解：f′(x)=a(ex−1)+e−x−1，
令f′(x)=0，得a(ex−1)+e−x−1=(a−e−x)(ex−1)=0，
x1=−lna，x2=0，
当x∈(−∞，0)和(−lna，+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(0，−lna)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
所以f(x)的极大值点为x1=0，极小值点为x2=−lna，
所以f(x1)=f(0)=a−1，f(x2)=f(−lna)=1−a+(a+1)lna，
因为0所以f(x2)因为f(x1)+tf(x2)>0，
所以f(x1)>−tf(x2)，令−t=m，
则a−1>m[1−a+(a+1)lna]对于0所以m>0，
所以(a+1)lna<(1+1m)(a−1)，
即lna<(1+1m)⋅a−1a+1，
设g(x)=lnx−(1+1m)⋅x−1x+1，x∈(0，1)，
g′(x)=x2−2xm+1x(x+1)2，
令x2−2xm+1=0，则Δ=4m2−4，
①当m≥1时，Δ≤0，
所以g′(x)≥0，g(x)在(0，1)单调递增，
所以g(a)②当00，
设x2−2xm+1=0的两根为x3，x4，且x3则x3+x4>0，x3⋅x4=1，故0所以当x∈(x3，x4)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以当a∈(0，1)时，g(a)>g(1)=0，即lna>(1+1m)⋅a−1a+1，不合题意，
综上所述，m≥1，即−t≥1，
所以t∈(−∞，−1]．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)求解函数的导数，利用导数研究函数的单调性，即可得到函数f（x）的单调区间；
(2)求解函数的极值点，将问题转化为lna<(1+1m)⋅a−1a+1，设g(x)=lnx−(1+1m)⋅x−1x+1，利用函数的单调性确定t的范围即可.