2022-2023学年广东省佛山市禅城区高三上学期开学检测数学试题及答案

这是一份2022-2023学年广东省佛山市禅城区高三上学期开学检测数学试题及答案，共21页。试卷主要包含了请考生保持答题卷的整洁等内容，欢迎下载使用。

1．答卷前，考生要务必填涂答题卷上的有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】先解出集合中的不等式，再根据补集运算即可得到答案.
【详解】因为，所以或.
故选：D.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的运算先求z，再利用复数的模长公式即得.
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：C.
3. 设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 偶函数B. 是奇函数
C. 是奇函数D. 是奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得，再根据奇偶函数的定义依次判断即可.
【详解】是奇函数，是偶函数，，
对于A，，故是奇函数，故A错误；
对于B，，故是偶函数，故B错误；
对于C，，故是奇函数，故C正确；
对于D，，故是偶函数，故D错误.
故选：C.
4. 已知中，，且，则（ ）
A. B. C. 8D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量的运算以及模长公式求解.
【详解】
因为，
所以
因为中，，
所以
.故A，C，D错误.
故选：B.
5. 己知函数，则对任意实数x，有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件直接计算，进而即得．
【详解】因为，
所以，故A正确，C错误；
，不常数，故BD错误.
故选：A．
6. 若是等差数列，且是方程的两个根，则（ ）
A. 4046B. 4044C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题可得，然后利用等差数列的性质及求和公式即得.
【详解】因为是方程的两个根，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
7. 《周髀算经》中给出弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求.
【详解】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，
故，故，即，解得或.
因为，则，故.
故选：A
8. 已知一组数据的平均数是3，方差是2，则由这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件利用方差公式求解即可
【详解】因为一组数据的平均数是3，方差是2，
所以，，
所以，，
所以的平均数为
，
所以的方差为
，
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 已知函数，则（ ）
A.
B. 在处的切线是
C. 在上单调递减
D. 当时，函数有两个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】求出函数值验证选项A，利用导数求出切线方程验证选项B，图像或特殊值法验证选项C，数形结合验证选项D
【详解】∵∴，A选项错误；
时，，，，，在处的切点坐标为(-1,0)，切线斜率为-1，切线方程为，B选项正确；
做了函数图像，如图所示：
由图像可知，在R上不是单调递减的，C选项错误；
函数有两个零点，等价于函数的图像与函数的图像有两个交点，由图像可知，直线在y轴上截距小于等于2时，与的图像有2个交点，∴当时，函数有两个零点，D选项正确.
故选：BD
10. 若，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式、对数的运算、特值法以及根据式子的几何意义进行求解判断.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时取等，故A错误；
对于B，因为，即，
可看作部分圆上的点到直线的距离不大于2，
因为圆心在直线上，半径为2，故恒成立，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，且，令，此时，
故D错误.
故选：BC.
11. 九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为，且每人选择相互独立，则（ ）
A. 三人选择社团一样的概率为
B. 三人选择社团各不相同的概率为
C. 至少有两人选择篮球社的概率为
D. 在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用互斥事件、相互独立事件概率公式计算判断A， B，C；利用条件概率公式计算判断D作答.
【详解】对于A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，
三人选择社团一样的概率为，A正确；
对于B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，
最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为，B不正确；
对于C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为，C正确；
对于D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，由选项C知，，小王选择羽毛球社的事件为B，
则事件AB是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率，
所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为，D正确.
故选：ACD
12. “提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（ ）
A. “提丢斯数列”是等比数列
B. “提丢斯数列”的第99项为
C. “提丢斯数列”的前31项和为
D. “提丢斯数列”中，不超过300的有11项
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知，利用等比数列的概念、求和公式进行求解.
【详解】对于选项A，，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A错误；
对于选项B，设“提丢斯数列”为数列，当时，，
所以，故B正确；
对于选项C，“提丢斯数列”的前31项和为，
故C正确；
对于选项D，由有：，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 首届国家最高科学技术奖得主，杂交水稻之父袁隆平院士为全世界粮食问题和农业科学发展贡献了中国力量，某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有______株．（若，，）
【答案】1359
【解析】
【分析】先根据正态分布的对称性得到株高在的概率，再求出株高在的株数.
【详解】根据题意可知，，所以，，所以，所以株高在的约有株.
故答案为：1359.
14. 已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，则___________．（写出符合条件的一个答案即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据三角函数的性质即得.
【详解】因为函数的最小正周期为，且在上单调递减，
所以.
故答案为：.
15. 已知数列满足（且），且，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用项与前项和的关系可得，然后根据等比数列的定义即得.
【详解】当时，，即，
当时，，，
∴，
∴，即
又，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴.
故答案为：.
16. 设，则a，b，c大小关系是____________．
【答案】．
【解析】
【分析】通过构造函数，利用导数来研究函数的单调性，再利用单调性比较大小.
【详解】令，则，
令，得，即在上单调递增，
，，即，
，即，
令，则，
令得，即在单调递减，
同理，在单调递增，
因为，所以，即，
所以，即.所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边角转化、和角的正弦公式进行化简求值.
（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求解.
【小问1详解】
由正弦定理可知：，
得，
因为，
得，
∵，∴，，
∴，即．
【小问2详解】
由，得，
由余弦定理可得：，
又，，
则，即，解得，
故的面积为．
18. 已知公差不为零的等差数列和等比数列，满足，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为．若表示不大于m的正整数的个数，求．
【答案】（1）
（2）26
【解析】
【分析】（1）根据已知，利用数列的性质建立方程组求解.
（2）利用错位相减法以及式子的结构特征、进行求解.
【小问1详解】
设的公差为d，的公比为，
因为，，，
所以，
整理可得：，
解得或（舍），
所以．
【小问2详解】
由（1）有： ，
则，
，
两式相减得
，
整理得，显然，且，
故为递增数列，又因为，，…
所以，当时，，
所以．
19. 已知函数．
（1）若是的极大值点，求a的值；
（2）若过点可以作曲线的三条切线，求a的取值范围．
【答案】（1）3； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的极值点，求出a值，再验证即可作答.
（2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再构造函数，借助导数探讨三次函数有3个零点作答.
【小问1详解】
，由解得或，
当时，，由得或，
由得，即在，上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极小值，不符合题意，舍去，
当时，，由得或，
由得，即函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，
所以.
【小问2详解】
设过点作曲线的切线的切点为，则切线方程为，
将点的坐标代入，整理得，令，
依题意，有三个零点，，
当时，上单调递增，则只有一个零点，
当时，由得或，由得，
即在上递增，在上递减，函数在处取极大值，在处取极小值，
而，则只有一个零点，
当时，由得或，由得，
即在上递增，在上递减，函数在处取极大值，在处取极小值，
而，要使有三个零点，当且仅当，解得，
所以a的取值范围是．
20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）若，的面积为，D为边的中点，求的长度；
（2）若E为边上一点，且，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形的面积公式、余弦定理以及向量的运算、模长公式进行求解.
（2）利用向量的运算、模长公式以及基本不等式的常数代换法求解.
【小问1详解】
因为，的面积为，
所以，
即，又，由余弦定理可得：，
即，得，
又∵D为边的中点，∴，
则
，
即，∴中线的长度为．
【小问2详解】
∵E为边上一点，，
∴，
∴，即，
∴，又，
∴，
∴，即，
∴，
当且仅当，即取等号，有最小值．
21. 2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知识擂台赛．该市A县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市赛．已知A县甲、乙、丙3位选手都参加初赛且通过初赛的概率均为，通过初赛后再通过决赛的概率依次为，，，假设他们之间通过与否互不影响．
（1）求这3人中至少有1人通过初赛的概率；
（2）设这3人中参加市赛的人数为，求的分布列；
（3）某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识擂台赛，提供了两种奖励方案：
方案1：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次奖1000元；
方案2：参加了选拔赛未进市赛的选手一律奖600元，进入了市赛的选手奖1200元．
若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择哪种方案更好．
【答案】（1）
（2）分布列见解析 （3）品牌商选择方案2更好
【解析】
【分析】（1）利用对立事件以及相互独立事件的概率公式进行求解.
（2）利用互斥事件、相互独立事件的概率公式以及离散型随机变量分布列的写法求解.
（3）利用二项分布以及离散型随机变量分布列期望计算进行比较.
【小问1详解】
3人都没通过初赛的概率为，
所以这三人中至少有1人通过初赛的概率．
【小问2详解】
依题意可能取值为0，1，2，3．
设事件A表示“甲参加市赛”，事件B表示“乙参加市赛”，事件C表示“丙多加市赛”，
则，
则，
，
，
，
所以的分布列为：
【小问3详解】
方案1：设三人中奖人数为X，所获奖金总额为Y元，则，
且，所以元，
方案2：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，
方法1：则Z的所有可能取值为1800，2400，3000，3600，
由（2）知，Z的分布列为：
则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
方法2：由（2）知，，
方案2等价于只要参加了选拔赛即奖励600元，
进入了市赛的选手再奖600元．则，
因为，所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案2更好．
22. 设．
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）先将参数的值代入函数解析式，然后求出导函数，再根据和分别得到函数的单调增区间和单调减区间.
（2）先令，然后对函数进行求导，再将参数分为和两种情况分类讨论即可.
【小问1详解】
因为，所以
由得，
因为在上递增，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
令.
则，令，则
①若时，
所以在单调递增，则，即，
所以在单调递增，则，符合题意．
②若时，，
所以存在，使，
且当时，单调递减，所以，
所以在单调递减，则，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是.
【点睛】含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.
0
1
2
3
P
Z
1800
2400
3000
3600
P