2022-2023学年河北省高三上学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年河北省高三上学期期中数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了 设全集，集合则=， 已知，命题，，则， 已知，，则等内容，欢迎下载使用。
1. 设全集，集合则= （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出集合，，进而求出，由此能求出．
【详解】解：全集，集合，
，
，
．
故选：．
2. 已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.
【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，
比如，
但在为减函数，在为增函数，
故在上的最大值为推不出在上单调递增，
故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 已知，命题，，则
A. 是假命题，
B. 是假命题，
C. 是真命题，
D. 是真命题，
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：，当，，因此是减函数，所以，，命题是真命题，是：，故选D．
考点：命题的真假，命题的否定．
4. 已知平面向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量定义结合向量的夹角公式运算求解.
【详解】在方向上的投影向量为
故选：C.
5. 已知等比数列的前项和为，且成等差数列，则数列的公比（ ）
A. 1或B. 或
C. 或2D. 1或
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差中项的性质，结合等比数列基本量之间的关系化简求解即可.
【详解】成等差数列，
或.
故选：
6. （ ）
A. 2B. －2C. 1D. －1
【答案】D
【解析】
【分析】利用切化弦，三角恒等变换，逆用两角差的正弦公式，二倍角公式，诱导公式化简求值.
【详解】
故选: D
7. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学､航天等众多领域，并取得了显著经济效益.假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量P（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系，其中P0为时该放射性同位素的含量.已知时，该放射性同位素的瞬时变化率为，则该放射性同位素含量为4.5贝克时，衰变所需时间为（ ）
A. 20天B. 30天C. 45天D. 60天
【答案】D
【解析】
【分析】根据题中条件，先求出，再令，代入解析式求解，即可得出结果.
【详解】由得，
因为时，该放射性同位素的瞬时变化率为，
即，解得，
则，
当该放射性同位素含量为贝克时，即，
所以，即，所以，解得.
故选：D
8. 已知方程在区间上恰有3个不等实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数求得过的切线的斜率，结合图形可求得的取值范围.
详解】，
直线过点，
设，
所以在点处的的切线方程为，
即，将代入得，.
，即在函数的图象上，
.
要使方程在区间上恰有3个不等实数根，
则，即的取值范围是.
故选：A
二､多选题
9. 已知，，则（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的最小值为5D. 若向量与向量的夹角为钝角，则
【答案】BC
【解析】
【分析】A：两向量平行，成数乘关系，坐标成比例；
B：两向量垂直，数量积为零；
C：当两向量同向时，它们差的模最小；
D：两向量夹角为钝角时，数量积为负且夹角不能为18°.
【详解】由，得，A不正确；
由，得，，B正确；
，当时，取得最小值5，C正确；
当时，即，得，当与反向时，，故若向量与向量的夹角为钝角，则，或，D不正确.
故选：BC.
10. 已知下图的一个数阵，该阵第行所有数的和记作，，，，，数列的前项和记作，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据数列特性结合等比数列性质得，然后根据通项公式求出和，逐项分析便可得答案.
【详解】解：由题意得：
A选项：
，故A正确；
B选项：，故B正确；
D选项：，故D错误；
C选项：，故C正确．
故选：ABC
11. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值是4；B. 恒成立；
C. 恒成立；D. 的最大值是
【答案】BCD
【解析】
【分析】由基本不等式，导数与函数单调性关系对选项逐一判断
【详解】对于A，，
当且仅当，即，即等号成立，而，故A错误，
对于B，令，，，
所以在上单调递减，故，则，故B正确，
对于C，因为，，且，所以，
当且仅当时，等号成立，则，故C正确，
对于D，因为，
令，则，
当，即时，取得最大值，故D正确，
故选：BCD
12. 已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A. 点是函数的零点
B. ，，使
C. 是的极大值点
D. 的取值范围是
【答案】BC
【解析】
【分析】求出函数导数，利用导数求出函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可判断每个选项.
【详解】当时，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，且；
当时，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，
且恒成立，画出函数图象如下：
对A，由函数图象可得0是函数的零点，故A错误；
对B，由图可得，故，，使，故B正确；
对C，由图可得是的极大值点，故C正确；
对D，方程等价于或，
由图可得有1个实数根，所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根，则由图可得或，故D错误.
故选：BC.
三､填空题
13. 已知向量满足，，，则等于_______．
【答案】
【解析】
【分析】计算出，由得，再对平方再开方计算可得答案.
【详解】因为，，，
所以，
所以，可得，
则，
所以.
故答案为：.
14. 函数的部分图象如图所示，已知分别是最高点、最低点，且满足（为坐标原点），则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由已知部分函数图象可知，即可求，再由向量垂直的坐标表示求A，最后由求，即可写出的解析式.
【详解】由图象知：，即，则，可得，
∴，的横坐标为，即，
∵，
∴，则，，得，
∴，
由五点作图法知：，得，
综上，函数的解析式为．
故答案为：
15. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】由恒成立，得恒成立，构造函数，由导数可判断函数递增，从而得，即，再构造函数，利用导数可求出其最大值，从而可得答案.
【详解】恒成立，恒成立，，
令，则，
所以在上递增，
所以由，得
即
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值，即，
所以.
即实数的取值范围为
故答案为：
16. 函数的零点个数为___________，若函数恰有两个零点，则___________.
【答案】 ①. 3 ②.
【解析】
【分析】将问题转化为函数与函数的交点个数，然后利用指数函数与二次函数的图象分析判断即可求解；由于函数在上有且只有一个零点，所以将问题转化为直线与曲线有且只有一个公共点，最后利用导数的几何意义即可求解.
【详解】解：函数的零点个数，即与两个函数图象的交点个数，
根据指数函数与二次函数的图象， 当时，单调递增，值域为，而单调递减，值域为，两个函数图象有一个交点；
当时，，，函数有两个零点；
综上，函数的零点个数为3个.
函数恰有两个零点，等价于与两个函数图象恰有两个交点.
因为指数函数图象与抛物线在上有且只有一个交点，
即函数在上有且只有一个零点，
所以问题转化为：当时，，即有且只有一个实根，
方程两边取对数，可得，从而问题等价于该方程有且只有一个实根，
即直线与曲线有且只有一个公共点，
所以直线为曲线的切线，
设切点为，由，则切线的斜率为，
又切点在切线上，则，
联立求解得，
故答案为：3；.
四、解答题
17. 将函数的图象向右平移个单位长度后，再将所得图象上各点的横坐标扩大为原来的两倍，纵坐标不变，得到函数的图象．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若，，且，，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用二倍角和辅助角公式化简得到，由三角函数平移和伸缩变换求得，进而得到最小正周期；
（Ⅱ）根据的范围可确定的范围，根据两角和差正弦公式和同角三角函数关系可求得，由二倍角正弦公式可求得结果.
【详解】（Ⅰ），
，的最小正周期；
（Ⅱ），，，，
，，
，，，
，，
，
，
.
18. 已知数列满足：，且.
（1）若数列为等比数列，公比为，求的通项公式；
（2）若数列为等差数列，，求的前项和.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出或，从而求出公比，根据题干条件得到，即是等比数列，从而求出通项公式；
（2）先求出的通项公式，再用累乘法求出的通项公式，再利用裂项相消法求和.
【小问1详解】
因为数列为等比数列，公比为，且，
所以或
所以或，
又
所以，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
故或.
【小问2详解】
依题意得公差，即，
由于
所以，
从而
又满足上式，
所以，
.
故.
19. 在中，角的对边分别为.已知.
（1）求角大小；
（2）若为线段延长线上一点，且，求.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角关系及差角正弦公式可得，结合三角形内角性质即可求的大小；
（2）设，且，在、应用正弦定理列方程求，根据同角三角函数关系、诱导公式即可求的大小.
【小问1详解】
由正弦边角关系得：，
所以
则，即，
所以（舍）或，故 .
【小问2详解】
设，且，
在中，①，
在中，②，
所以，
，
所以.
20. 随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
（1）若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
（2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据：）
【答案】（1）车流密度的取值范围是
（2）隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
【解析】
【分析】（1）根据题意得，再根据分段函数解不等式即可得答案；
（2）由题意得，再根据基本不等式求解最值即可得答案.
【小问1详解】
解：由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，解得，
所以.
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
【小问2详解】
解：由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，
.
当且仅当，即时等号成立.
所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
21. 已知函数，.
（1）求函数的极值；
（2）当x>0时，证明：
【答案】（1）极大值为，无极小值
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）首先确定定义域为求导可得，根据导数的应用，
分和时，两种情况讨即可得解；
（2）要证即证，
令，求导利用隐零点问题的解决方法求得即可.
【小问1详解】
定义域为，
则，时，，在单调递增，
时，，在单调递减，
故函数的极大值为，无极小值
【小问2详解】
证明等价证明（），
即.
令
，
令，则在上单调递增，
而，
故在上存在唯一零点，且，
时，，在上单调递减；
时，，在上单调递增，
故，又因为即，
所以，从而，
即
【点睛】本题考查了导数的应用，导函数则原函数为增函数，原函数为减函数，同时考查了极值的概念.本题的关键点如下：
（1）极值点在何处取得；
（2）隐零点问题在求最值中的运用.
22. 已知函数f(x)＝lnx﹣ax，a为常数．
（1）若函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）当a＝1时，试比较f（m）与f（）的大小；
（3）若函数f(x)有两个零点x1、x2，试证明x1x2＞e2．
【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具体见解析；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）求出原函数的导函数，由函数在x＝1时的导数值等于0求得a的值；
（2）把a＝1代入函数解析式，利用导数求出函数的单调区间，构造函数，由导数得到函数h（m）的单调性，在定义域内分m＜1，m＝1，m＞1得到h（m）的符号，从而得到f（m）与f（）的大小；
（3）由函数f(x)有两个零点x1、x2，得到lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，进一步得到，lnx1+lnx2＝a（x1+x2），把证明x1x2＞e2转化为证lnx1+lnx2＞2，结合lnx1+lnx2＝a（x1+x2）转化为证明（x1＞x2），换元后利用导数得到证明．
【详解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：，
∵函数f(x)在x＝1处的切线与x轴平行，
∴ ，即a＝1；
（2）当a＝1时，f(x)＝lnx﹣x，
∴，
当0＜x＜1时，，f(x)单调递增，
当x＞1时，，f(x)单调递减．
令，
则．
又∵h（1）＝0，
①当0＜m＜1时，h（m）＞0，即；
②当m＝1时，h（m）＝0，即；
③当m＞1时，h（m）＜0即；
（3）证明：∵函数f(x)有两个零点x1、x2，
∴lnx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，
∴lnx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），
∴，
欲证明，即证lnx1+lnx2＞2，
∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），
∴即证，
∴原命题等价于证明，
即证：（x1＞x2），
令，则t＞1，设（t＞1），
，
∴g（t）在（1，+∞）上单调递增，
又∵g(1)＝0，
∴g（t）＞g(1)＝0，
∴，即．