2023-2024学年河北省沧州市沧县五校联考八年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年河北省沧州市沧县五校联考八年级（上）期中数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A．0根B．1根C．2根D．3根
3．下列四个选项中，不是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．16D．20
5．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
6．如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．12cm
8．在△ABC中，AB＜AC．用尺规在BC边上找一点D，使AD+DC＝BC的是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．Q（a，﹣b+2）B．Q（﹣a，b﹣2）
C．Q（a，b+2）D．Q（﹣a，﹣b+2）
10．如图，已知AD⊥BD，BC⊥AC，AC＝BD．则△CAB≌△DBA的理由是（ ）
A．HLB．SASC．AASD．ASA
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
12．如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）
A．48cm2B．54cm2C．60cm2D．66cm2
13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
14．如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的值不可能是（ ）
A．4.8B．6C．4D．5
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝ ．
18．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝ ．
19．如图，三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在图中的B'处．∠1＝24°，∠2＝80°，则∠B＝ 度．
20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠EAD的度数；
（3）如图，若∠C＞∠B，直接写出∠EAD、∠B、∠C的关系．
22．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
24．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．
25．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
26．（1）如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AB＝4AE．
（2）如图②所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的长．
27．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
参考答案
一、选择题。（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）
1．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的区别，逐一判断即可．
解：∵A中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
∴选项A不正确；
∵B中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，
∴选项B正确；
∵C中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴选项C不正确；
∵D中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
∴选项D不正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ）
A．0根B．1根C．2根D．3根
【分析】根据三角形的稳定性进行解答即可．
解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
3．下列四个选项中，不是全等图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据全等图形的概念判断即可．
解：A、两个图形是全等图形，不符合题意；
B、两个是全等图形，不符合题意；
C、两个图形大小不同，不是全等图形，符合题意；
D、两个图形是全等图形，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查全等图形问题，关键根据全等图形的定义判断．
4．一个多边形每一个外角都等于18°，则这个多边形的边数为（ ）
A．10B．12C．16D．20
【分析】利用多边形的外角和除以外角度数可得边数．
解：∵一个多边形的每一个外角都等于18°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷18°＝20，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．
5．下列说法正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形
B．全等三角形的周长和面积分别相等
C．全等三角形是指面积相等的两个三角形
D．所有的等边三角形都是全等三角形
【分析】依据全等三角形的性质：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
解：A、全等三角形的形状相同，但形状相同的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
B、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，则全等三角形的周长和面积一定相等，故B正确；
C、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形．故该选项错误；
D、两个等边三角形，形状相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，全等是指形状相同，大小相同，两个方面必须同时满足．
6．如图，∠A＝30°，∠C′＝60°，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B度数为（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴∠C＝∠C′＝60°，
∵∠A＝30°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为（ ）
A．2cmB．3cmC．6cmD．12cm
【分析】根据三角形的周长和中线的定义求AB与AC的差．
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC．
∴△ABD比△ACD的周长大6 cm，即AB与AC的差为6cm．
故选：C．
【点评】三角形的中线即三角形的一个顶点与对边中点所连接的线段．
8．在△ABC中，AB＜AC．用尺规在BC边上找一点D，使AD+DC＝BC的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由于AD＝BD，则点D为AB的垂直平分线与BC的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断．
解：∵BD+DC＝BC，
∴当AD＝BD时，AD+DC＝BC，
∴点D为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂直平分线的性质．
9．已知点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，则点Q的坐标是（ ）
A．Q（a，﹣b+2）B．Q（﹣a，b﹣2）
C．Q（a，b+2）D．Q（﹣a，﹣b+2）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”进行解答即可．
解：∵点P（a，b﹣2）与点Q关于x轴对称，
∴点Q的坐标为（a，﹣b+2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标特征：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
10．如图，已知AD⊥BD，BC⊥AC，AC＝BD．则△CAB≌△DBA的理由是（ ）
A．HLB．SASC．AASD．ASA
【分析】利用直角三角形的判定方法进行判断．
【解答】证明：∵AD⊥BD，BC⊥AC，
∴∠C＝∠D＝90°，
在Rt△CAB和Rt△DBA中，
，
∴Rt△CAB≌Rt△DBA（HL）．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，则∠AFC的度数（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【分析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF＝∠B，由三角形内角与外角的关系即可解答．
解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝30°，
∴∠AFC＝∠BAF+∠B＝60°．
故选：C．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
12．如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）
A．48cm2B．54cm2C．60cm2D．66cm2
【分析】过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，根据角平分线的性质可得OD＝OE＝OF＝3cm，再根据S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×OD×C△ABC即可计算结果．
解：如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，
∴OD＝OE＝OF＝3（cm），
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC
＝×AB×OF+×BC×OD+×AC×OE
＝×OD×C△ABC
＝×3×36
＝54（cm2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题关键．
13．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，又AD＝8，进而求出PE＝4．
解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
14．如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．
解：如图所示：
在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的值不可能是（ ）
A．4.8B．6C．4D．5
【分析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：AB•PC＝AC•BC，
∴PC＝4.8．
∴线段PC的值不可能是4，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．
16．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝6，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）
A．4B．6C．3D．12
【分析】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长度最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出AD＝DP＝6，即可得出选项．
解：∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠C+∠CBD＝90°，
∵∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∵∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
当DP⊥BC时，DP的长度最小，
∵AD⊥AB，
∴DP＝AD，
∵AD＝6，
∴DP的最小值是6，
故选：B．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理和垂线段最短等知识点，能知道当DP⊥BC时，DP的长度最小是解此题的关键．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．如图，在三角形ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足为D，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则AD＝ ．
【分析】由三角形面积公式得S△ABC＝BC•AD＝AB•AC，则BC•AD＝AB•AC，即可得出结论．
解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝AB•AC，
∴BC•AD＝AB•AC，
∴AD＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形面积，熟记三角形面积公式是解题的关键．
18．如图所示，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝ 70° ．
【分析】先求出BC＝DE，∠ACB＝∠FDE，证△ACB≌△FDE，推出∠E＝∠B＝30°，∠FDE＝∠ACB＝80°，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵BD＝EC，
∴BD+CD＝EC+DC，
∴BC＝DE，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠FDE，
在△ACB和△FDE中，
，
∴△ACB≌△FDE（SAS），
∴∠E＝∠B＝30°，∠FDE＝∠ACB＝80°，
∴∠F＝180°﹣∠B﹣∠FDE＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
19．如图，三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在图中的B'处．∠1＝24°，∠2＝80°，则∠B＝ 28 度．
【分析】结合图形，由三角形的外角性质可得∠2＝∠DFB+∠B，∠DFB＝∠B+∠1，由折叠可得，∠B＝∠B'，，结合已知条件∠2＝80°，∠1＝24°，，可得关于∠B的方程，求解即可．
解：如图，设BC与DB'交于点F，
∵∠2＝∠DFB+∠B，∠DFB＝∠B+∠1，由折叠可得，∠B＝∠B'，
∴∠2＝∠B+∠B'+∠1＝2∠B+∠1，
又∵∠2＝80°，∠1＝24°，
∴80°＝2∠B+24°，
∴∠B＝28°．
故答案为：28．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝9，则线段MN的长为 9 ．
【分析】由∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，然后即可求得结论．
解：∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，
∴∠MBE＝∠EBC，∠ECN＝∠ECB，
∵MN∥BC，
∴∠EBC＝∠MEB，∠NEC＝∠ECB，
∴∠MBE＝∠MEB，∠NEC＝∠ECN，
∴BM＝ME，EN＝CN，
∴MN＝ME+EN，
即MN＝BM+CN．
∵BM+CN＝9
∴MN＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查学生对等腰三角形的判定与性质和平行线性质的理解与掌握．此题关键是证明△BME，△CNE是等腰三角形．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝50°，AE是∠BAC的平分线，AD是高．
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠EAD的度数；
（3）如图，若∠C＞∠B，直接写出∠EAD、∠B、∠C的关系．
【分析】（1）由三角形的内角和可求得∠BAC＝100°，再由角平分线的定义即可求∠BAE的度数；
（2）由（1）可知∠CAE＝50°，由AD是高，得∠ADC＝90°，由三角形的内角和可求得∠CAD＝40°，即可求∠EAD的度数；
（3）结合（1）（2）进行求解即可．
解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝50°；
（2）由（1）知∠CAE＝50°，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝40°，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD＝10°；
（3）由题意得：∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝∠CAE＝∠BAC＝90°﹣∠B﹣∠C；
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝90°﹣∠C，
∴∠EAD＝∠CAE﹣∠CAD
＝90°﹣∠B﹣∠C﹣90°+∠C
＝﹣∠B+∠C，
即∠EAD＝﹣∠B+∠C．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．
22．如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，AC与BD交于点F，AB＝6，BC＝3，∠C＝55°，∠D＝25°．
（1）求AE的长度；
（2）求∠AED的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
解：（1）∵△ABC≌△DEB，
∴BE＝BC＝3，
∴AE＝AB﹣BE＝6﹣3＝3；
（2）∵△ABC≌△DEB，
∴∠A＝∠D＝25°，∠DBE＝∠C＝55°，
∴∠AED＝∠DBE+∠D＝25°+55°＝80°．
【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等分析．
24．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长．
【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分，可得|AB﹣BC|＝15﹣12＝3（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝12+15＝27cm，然后分别从AB＞BC与AB＜BC去分析求解即可求得答案．
解：如图，∵AB＝AC，BD是AC边上的中线，
即AD＝CD，
∴|（AB+AD）﹣（BC+CD）|＝|AB﹣BC|＝15﹣12＝3（cm），AB+BC+AC＝2AB+BC＝12+15＝27cm，
若AB＞BC，则AB﹣BC＝3cm，
又∵2AB+BC＝27cm，
联立方程组并求解得：AB＝10cm，BC＝7cm，
10cm、10cm、7cm三边能够组成三角形；
若AB＜BC，则BC﹣AB＝3cm，
又∵2AB+BC＝27cm，
联立方程组并求解得：AB＝8cm，BC＝11cm，
8cm、8cm、11cm三边能够组成三角形；
∴三角形的各边长为10cm、10cm、7cm或8cm、8cm、11cm．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
25．已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．
（1）如图1，当点D在BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D、E、C在同一直线上，且∠BAC＝α，∠BAE＝β时，求∠DBC的度数（用含α和β的式子表示）．
【分析】（1）证出△ABD≌△ACE即可；
（2）由（1）的结论以及四边形的内角和定理可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝α，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝90°﹣α＝∠ADE＝∠AED，
由（1）得△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠AED＝90°+α，
∴∠DBC＝360°﹣∠BCA﹣∠CAD﹣∠ADB
＝360°﹣（90°﹣α）﹣（2α﹣β）﹣（90°+α）
＝180°﹣2α+β．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，掌握全等三角形的判定和性质以及四边形的内角和为360°是正确解答的前提．
26．（1）如图①所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AB＝4AE．
（2）如图②所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE＝CD，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP＝2，求PQ的长．
【分析】（1）利用直角三角形30度角的性质证明AB＝2AD，AD＝2AE即可；
（2）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出∠BPD＝60°，可得∠PBQ＝30°解决问题；
【解答】证明：如图①中，∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
而∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∴∠BDE＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE，AB＝2AD，
∴AB＝4AE．
（2））∵AB＝AC，AE＝CD，∠BAE＝∠C＝60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAP＝∠CAD+∠BAP＝∠BAC＝60°．
在Rt△BPQ中，∵∠BPQ＝60°，
∴∠PBQ＝30°，
∵PB＝2，
∴PQ＝PB＝1．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握并能进行一些简单的计算问题．
27．（1）问题发现：由“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”联想到四边形的外角．
如图①，∠1，∠2是四边形ABCD的两个外角．
∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
由此可得∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系是 ∠1+∠2＝∠A+∠D ；
（2）知识应用：如图②，已知四边形ABCD，AE，DE分别是其外角∠NAD和∠MDA的平分线，若∠B+∠C＝230°，求∠E的度数；
（3）拓展提升：如图③，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠CDN和∠CBM是它的两个外角，且∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，求∠P的度数．
【分析】（1）根据两个等式，可以得出∠1，∠2与∠A，∠D的数量关系．
（2）根据第（1）问结论，先确定∠MDA与∠DAN的和，再根据角平分线的性质，可以确定∠EDA与∠DAE的和．这样就可以确定∠E的度数．
（3）先确定∠CDN与∠CBM之和，再确定∠CDP与∠CBP之和，进而确定∠ADC与∠ABP之和，再根根四边形内角和，就可以确定∠P的度数．
解：（1）∵四边形ABCD的内角和是360°，
∴∠A+∠D+（∠3+∠4）＝360°，
又∵∠1+∠3+∠2+∠4＝360°，
∴∠1+∠2＝∠A+∠D．
故答案为：∠1+∠2＝∠A+∠D．
（2）根据第（1）问的结论，可知：
∠MDA+∠DAN＝∠B+∠C＝230°
∵AE，DE分别是∠NAD和∠MDA的平分线，
∴2∠EDA+2∠DAE＝230°，
∴∠EDA+∠DAE＝115°．
∴∠E＝180﹣（∠EDA+∠DAE）＝65°．
（3）根据第（1）问的结论，可得：∠CDN+∠CBM＝∠ABC+∠ADC，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠CDN+∠CBM＝360°﹣（∠A﹣∠C）＝180°．
∵∠CDP＝∠CDN，∠CBP＝∠CBM，
∴∠CDP+∠CBP＝（∠CDN+∠CBM）＝45°，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
∴∠CDN+∠CBM+∠CDN+∠CBM＝180°+45°＝225°，
即∠ADP+∠ABP＝225°，
∵∠A＝90°，
∴∠P＝360°﹣（∠ADP+∠ABP）﹣∠A＝45°．
【点评】本题是一道阅读题，主要考查四边形的两个外角和的性质，先读清题目所给材料是关键，然后在此基础上进行拓展和延伸．属于考查能力的题型，新的中考改革比较侧重考查学生对数学知识的活学活用的能力．