2023-2024学年广西贵港市平南县八年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年广西贵港市平南县八年级（上）期中数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列各式中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的三条线段首尾相接能围成三角形的是（ ）
A．3，9，12B．3，4，8C．5，6，10D．4，4，9
3．某种病毒的直径为0.00006米，0.00006用科学记数法表示为（ ）
A．0.6×10﹣6B．6×10﹣6C．6×10﹣5D．6×10﹣4
4．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3B．0C．3D．±3
5．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．
C．20230＝2023D．（a2b）3＝a6b3
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
B．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形
C．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
D．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线
7．如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
8．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝9，BC＝6，AC＝13，则△ABD的周长为（ ）
A．28B．22C．19D．15
10．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70°B．40°C．140°D．40°或140°
11．照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝+（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
12．如图所示，∠AOB是一钢架，且∠AOB＝15°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（ ）根．
A．4B．5C．8D．无数
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．若分式有意义，则实数x的取值范围是 ．
14．计算：（﹣2x﹣2y）﹣1÷（x2y﹣1）2＝ ．
15．如图，P是等边三角形ABC内的一点，PA＝2，现将△PAB绕点A逆时针旋转得△P1AC，且AB与AC重合，则PP1的长为 ．
16．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是 ．
17．若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ．
18．如图，△ABC是等边三角形，AD＝4，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．先化简，再求值：，其中a＝1．
20．解分式方程：．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）尺规作图：过点A作直线CD的垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法）
22．今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个．
（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？
23．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，连接AC，EF，已知BE＝CD，BF＝CA，∠ACD＝∠B．
（1）求证：∠D＝∠BEF；
（2）若EF∥AC，∠D＝70°，求∠BAC的度数．
24．阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”．
（2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值．
25．探究与证明
【问题情景】数学探究课上，老师带来了一张三角形纸片，如图1，其中AB＝AC＝5，BC＝6，然后沿着底边上的中线AD剪开，得到△ADB与△EFC纸片，其中点A与点E对应、点D与点F对应，然后让同学们利用△ADB与△EFC纸片摆出自己喜欢的图形，并提出数学问题．数学科代表小明很快用△ADB与△EFC纸片摆出如图2的图形，点B与点C重合，延长EF交AD于点G，请求出BF的长．
【数学思考】（1）请你直接写出小明所摆图形中BF的长为 ；
【深入探究】（2）善于思考的小红，在小明摆出的图形里，将△CFE绕点B逆时针方向旋转，使点F落在△ABD内部，并提出问题：如图3，当∠ABF＝∠BAD时，过点A作AM⊥BF交BF的延长线于点M，BM与AD交于点N，试猜想线段AM和BF的数量关系，并加以证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若BM＝4，请求出点F到直线BE的距离．
26．如图，∠MOP＝90°，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合），且AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，它们相交于点E．
（1）如图1，当∠ABO＝70°时，求∠AEB的度数；
（2）点A，B在运动过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的度数；
（3）如图2，作△ABO的两外角∠OAH和∠AON的平分线交于点F，延长AE，FO交于点G，在△AFG中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时∠ABO的度数．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题都给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．下列各式中，属于分式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
解：A．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B．分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
C．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
D．分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查了分式的定义，解题的关键是熟记定义并正确判断．
2．下列长度的三条线段首尾相接能围成三角形的是（ ）
A．3，9，12B．3，4，8C．5，6，10D．4，4，9
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
解：A、3+9＝12，长度是3、9、12的三条线段不能围成三角形，故A不符合题意；
B、3+4＜8，长度是3、4、8的三条线段不能围成三角形，故B不符合题意；
C、5+6＞10，长度是5、6、10的三条线段能围成三角形，故C符合题意；
D、4+4＜9，长度是4、4、9的三条线段不能围成三角形，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
3．某种病毒的直径为0.00006米，0.00006用科学记数法表示为（ ）
A．0.6×10﹣6B．6×10﹣6C．6×10﹣5D．6×10﹣4
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.00006用科学记数法表示为6×10﹣5，
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．若分式的值为0，则x的值是（ ）
A．﹣3B．0C．3D．±3
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可．
解：由题意得：x＝0且x+3≠0，
解得：x＝0，
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
5．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a2＝a3B．
C．20230＝2023D．（a2b）3＝a6b3
【分析】利用同底数幂的除法的法则，负整数指数幂的法则，零指数幂，积的乘方对各项进行运算即可．
解：A、a6÷a2＝a4，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、20230＝1，故C不符合题意；
D、（a2b）3＝a6b3，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，积的乘方，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
B．三个角对应相等的两个三角形是全等三角形
C．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心
D．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线
【分析】利用垂直平分线的定义、全等三角形的判定方法、三角形的重心的定义及等腰三角形的对称性分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，正确，是真命题，符合题意；
B、三个角对应相等的两个三角形是相似三角形但不一定是全等三角形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7．如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且，则阴影部分的面积为（ ）
A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．8cm2
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×12＝6（cm2），
∴S△BCE＝S△ABC＝×12＝6（cm2），
∵点F是CE的中点，
∴S阴影＝S△BEF＝S△BCE＝×6＝3（cm2）．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底同高的三角形的面积相等．
8．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用分式的加法的法则，乘法的法则，分简的法则对各项进行运算即可．
解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
9．如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若AB＝9，BC＝6，AC＝13，则△ABD的周长为（ ）
A．28B．22C．19D．15
【分析】由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，则可得BD＝CD，进而可得△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC，即可得出答案．
解：由尺规作图可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+AD+CD＝AB+AC＝22．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
10．已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的顶角等于（ ）
A．20°或70°B．40°C．140°D．40°或140°
【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
解：如图1，三角形是锐角三角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠A＝90°﹣50°＝40°；
如图2，三角形是钝角时，∵∠ACD＝50°，
∴顶角∠BAC＝50°+90°＝140°，
综上所述，顶角等于40°或140°．
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
11．照相机成像应用了一个重要原理，用公式＝+（v≠f）表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用分式的基本性质，把等式＝+（v≠f）恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
解：＝+（v≠f），
＝+，
，
，
u＝．
故选：C．
【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．
12．如图所示，∠AOB是一钢架，且∠AOB＝15°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH，…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管（ ）根．
A．4B．5C．8D．无数
【分析】先分别求出第一个等腰△EOF的底角∠O＝15°，第二个等腰△FEG的底角为30°，第三个等腰△GFH的底角为45°，第四个等腰△HGT的底角为60°，第五个等腰△THK的底角为75°，而第六个等腰的底角应该是90°，由此可判定不存在第六个等腰三角形，据此可得出最多所需的钢管数．
解：如图所示：
依题意得：第一个等腰△EOF的底角∠O＝15°，
第二个等腰△FEG的底角∠FEG＝15°+15°＝30°，
第三个等腰△GFH的底角∠GFH＝30°+15°＝45°，
第四个等腰△HGT的底角∠HGT＝45°+15°＝60°，
第五个等腰△THK的底角∠THK＝60°+15°＝75°，
此时∠KTB＝75°+15°＝90°，
因此不存在第六个等腰三角形，
∴最多只能作出五个等腰三角形，
∴最多只能添加这样的钢管5根．
故选：B．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质分别求出每一个等腰三角形底角的度数，理解等腰三角形的底角是锐角是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.）
13．若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠﹣1 ．
【分析】根据分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解：根据题意，得
x+1≠0，
解得x≠﹣1；
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
（1）分式无意义⇔分母为零；
（2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
14．计算：（﹣2x﹣2y）﹣1÷（x2y﹣1）2＝ ﹣ ．
【分析】先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式除以单项式即可．
解：原式＝﹣x2y﹣1÷x4y﹣2
＝﹣x﹣2y
＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，负整数指数幂和整式的除法，熟练掌握运算法则是关键．
15．如图，P是等边三角形ABC内的一点，PA＝2，现将△PAB绕点A逆时针旋转得△P1AC，且AB与AC重合，则PP1的长为 2 ．
【分析】先利用等边三角形的性质得到∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得到∠PAP1＝∠BAC＝60°，AP＝AP1，于是可判断△APP1为等边三角形，然后根据等边三角形的性质求解．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵△PAB绕点A逆时针旋转得△P1AC，且AB与AC重合，
∴∠PAP1＝∠BAC＝60°，AP＝AP1，
∴△APP1为等边三角形，
∴PP1＝AP＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．
16．如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是 三角形的稳定性 ．
【分析】将其固定，显然是运用了三角形的稳定性．
解：一扇窗户打开后，用窗钩BC可将其固定，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点评】注意能够运用数学知识解释生活中的现象，考查三角形的稳定性．
17．若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为 ﹣1 ．
【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
解：方程两边都乘（x﹣3），得
2﹣x﹣m＝2（x﹣3）
∵原方程增根为x＝3，
∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，
解得m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18．如图，△ABC是等边三角形，AD＝4，N是AB的中点，AD是BC边上的中线，M是AD上的一个动点，连接BM，MN，则BM+MN的最小值是 4 ．
【分析】连接CM，CN，由等腰三角形的性质可知：AD是BC的垂直平分线，得BM＝CM，则BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，利用勾股定理求出CN的长即可．
解：连接CM，CN，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BM＝CM，
∴BM+MN＝CM+MN，即当点C、M、N三点共线时，BM+MN最小值为CN的长，
∵AD＝4，
∴＝sin∠ABD，
∴AB＝＝，
∵点N是AB的中点，
∴CN⊥AB，AN＝AB＝，
∴CN＝＝＝4，
∴BM+MN最小值为：4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，两点之间，线段最短等知识，将BM+MN最小值转化为CN的长是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．先化简，再求值：，其中a＝1．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．
解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
当a＝1时，原式＝＝﹣1．
【点评】本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．解分式方程：．
【分析】将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可．
解：去分母得：2x﹣1＝3（x+1），
去括号得：2x﹣1＝3x+3，
移项、合并同类项得：x＝﹣4．
检验：当x＝﹣4时，（2x﹣1）（x+1）≠0，
∴分式方程的解为x＝﹣4．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．
21．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD．
（1）求证：△ABC≌△CDA；
（2）尺规作图：过点A作直线CD的垂线，垂足为E．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】（1）由SSS可证△ABC≌△CDA；
（2）由过一点作已知直线的垂线的方法过A作AE⊥CD即可．
【解答】（1）证明：在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）；
（2）解：如图：
直线AE即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，涉及全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂直平分线的尺规作图方法．
22．今年杭州亚运会期间，某商店用3000元购进一批亚运会吉祥物，很快售完，第二次购进时，每个吉祥物的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10个．
（1）求第一次购进的每个吉祥物的进价为多少元？
（2）若两次购进的吉祥物售价均为96元，且全部售出，则该商店两次购进吉祥物的总利润为多少元？
【分析】（1）设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总利润＝总售价﹣总成本，列出算式，即可求解．
解：（1）设第一次每个的进价为x元，则第二次进价为（1+20%）x，
根据题意得：，
解得：x＝50，
经检验：x＝50是方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的每个吉祥物的进价为50元；
（2）96×（）﹣3000×2＝4560（元），
答：该商店两次购进吉祥物的总利润为4560元．
【点评】本题主要考查分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
23．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，连接AC，EF，已知BE＝CD，BF＝CA，∠ACD＝∠B．
（1）求证：∠D＝∠BEF；
（2）若EF∥AC，∠D＝70°，求∠BAC的度数．
【分析】（1）根据题意利用SAS证明△CDA≌△BEF，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据平行线的性质得出∠BAC＝∠BEF，由（1）得∠D＝∠BEF，等量代换即可得解．
【解答】（1）证明：在△CDA和△BEF中，
，
∴△CDA≌△BEF（SAS），
∴∠D＝∠BEF．
（2）解：∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠BEF，
由（1）知，∠D＝∠BEF，
∴∠BAC＝∠D，
∵∠D＝70°，
∴∠BAC＝70°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键．
24．阅读理解题．
我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”．如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2．
（1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出C关于D的“雅中值”．
（2）已知分式，，M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，x为整数，且M的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值．
【分析】（1）根据定义即判断．
（2）根据定义，计算出E的代数式，然后分析P，即可找到所有的x的值，即可求值．
解：（1）C不是D的“雅中式”，理由如下，
C﹣D＝﹣
＝
＝﹣1，
∴C不是D的“雅中式”；
（2）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，
∴M﹣N＝1，
∴﹣＝1，
E﹣3x﹣x2＝9﹣x2，
∴E＝3x+9，
∴M＝＝．
∵M的值也为整数，且分式有意义，
故3﹣x＝±1或3﹣x＝±3，
∴x的值为：0，2，4，6．
【点评】本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
25．探究与证明
【问题情景】数学探究课上，老师带来了一张三角形纸片，如图1，其中AB＝AC＝5，BC＝6，然后沿着底边上的中线AD剪开，得到△ADB与△EFC纸片，其中点A与点E对应、点D与点F对应，然后让同学们利用△ADB与△EFC纸片摆出自己喜欢的图形，并提出数学问题．数学科代表小明很快用△ADB与△EFC纸片摆出如图2的图形，点B与点C重合，延长EF交AD于点G，请求出BF的长．
【数学思考】（1）请你直接写出小明所摆图形中BF的长为 3 ；
【深入探究】（2）善于思考的小红，在小明摆出的图形里，将△CFE绕点B逆时针方向旋转，使点F落在△ABD内部，并提出问题：如图3，当∠ABF＝∠BAD时，过点A作AM⊥BF交BF的延长线于点M，BM与AD交于点N，试猜想线段AM和BF的数量关系，并加以证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若BM＝4，请求出点F到直线BE的距离．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性求出CF的长，然后根据图2摆放的位置即可求出BF的长；
（2）根据已知条件用AAS判定△ABD≌△BAM后推出AM＝BD，即可推出AM和BF的数量关系；
（3）根据已知条件先求出Rt△BEF三边的长，然后根据等面积法即可求出点F到直线BE的距离．
解：（1）∵△ABC中AB＝AC＝5，BC＝6，AD是底边上的中线，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，BD＝CD＝3，
∴∠EFB＝90°，BF＝CD＝BD＝3，
故答案为：3；
（2）AM＝BF．
证明过程如下：
∵AM⊥BF，交BF的延长线于点M，
∴∠AMB＝∠ADB＝90°，
又∵∠ABF＝∠BAD，AB＝BA，
∴△ABD≌△BAM（AAS），
∴AM＝BD，
又∵BF＝BD，
∴AM＝BF；
（3）∵BM＝4，△ABD≌△BAM，
∴AD＝BM＝4，
∴EF＝AD＝4，
又∵BF＝3，BE＝5，∠EFB＝90°，
∴点F到直线BE的距离为．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及三角形面积公式，深入理解题意是解决问题的关键．
26．如图，∠MOP＝90°，点A在射线OP上运动（点A不与点O重合），点B在射线OM上运动（点B不与点O重合），且AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，它们相交于点E．
（1）如图1，当∠ABO＝70°时，求∠AEB的度数；
（2）点A，B在运动过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？如果发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AEB的度数；
（3）如图2，作△ABO的两外角∠OAH和∠AON的平分线交于点F，延长AE，FO交于点G，在△AFG中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，请直接写出此时∠ABO的度数．
【分析】（1）先求出∠BAO＝20°，再根据角平分线的定义得∠EAB＝10°，∠EBA＝35°，进而由三角形的内角和定理可求出∠AEB的度数；
（2）先由角平分线的定义得∠BAO＝2∠EAB，∠ABO＝2∠EBA，再由三角形的内角和定理∠BAO+∠ABO＝90°，进而得∠EAB+∠EBA＝45°，据此可得∠AEB＝的度数；
（3）设∠BAG＝α，则∠BAO＝2∠BAG＝2α，由∠BAO为锐角得0°＜α＜45°，进而得∠ABO＝90°﹣2α，然后分别表示出∠OAF＝90°﹣α，∠G＝45°﹣α，∠F＝45°+α，由此得∠OAF＞∠G，∠F＞∠G，然后分四种情况进行讨论：①当∠OAF＝2∠G时，②当∠OAF＝2∠F时，③当∠F＝2∠OAF时，④当∠F＝2∠G时，根据每一种情况求出α，即可得∠ABO的度数．
解：（1）∵∠ABO＝70°，∠MOP＝90°，
∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠MOP＝20°，
∵AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
∴∠EAB＝∠BAO＝10°，∠EBA＝∠ABO＝35°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝135°；
（2）∠AEB的大小不发生变化．
∵AE，BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，
∴∠BAO＝2∠EAB，∠ABO＝2∠EBA，
∵∠MOP＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣∠MOP＝90°，
∴2∠EAB+2∠EBA＝90°，
∵∠EAB+∠EBA＝45°，
∴∠AEB＝180°﹣（∠EAB+∠EBA）＝180°﹣45°＝135°；
（3）设∠BAG＝α，
∵AE平分∠BAO，
∴∠BAG＝∠OAG＝α，∠BAO＝2∠BAG＝2α，
∵∠BAO为锐角，
∴0°＜2α＜90°，即0°＜α＜45°，
∵∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠BAO＝90°﹣2α，
∵AF平分∠OAH，
∴∠OAH＝2∠OAF，
∵∠BAO+∠OAH＝180°，
∴2α+2∠OAF＝180°，
∴∠OAF＝90°﹣α，
∵∠MOP＝90°，
∴∠AON＝180°﹣∠MOP＝90°，
∵FO平分∠AON，
∴∠AOF＝∠AON＝45°，
∵∠AOF＝∠OAG+∠G，
∴∠G＝∠AOF﹣∠OAG＝45°﹣α，
∴∠F＝180°﹣（∠OAF+∠AOF）＝180°﹣（90°﹣α+45°）＝45°+α，
在△AFG中，∠OAF＝90°﹣α，∠G＝45°﹣α，∠F＝45°+α，
∴∠OAF＞∠G，∠F＞∠G，
∵在△AFG中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍，
∴有以下四种情况：
①当∠OAF＝2∠G时，则90°﹣α＝2（45°﹣α），解得α＝0°，不合题意舍去；
②当∠OAF＝2∠F时，则90°﹣α＝2（45°+α），解得α＝0°，不合题意舍去；
③当∠F＝2∠OAF时，则45°+α＝2（90°﹣α），解得α＝45°，不合题意舍去；
④当∠F＝2∠G时，45°+α＝2（45°﹣α），解得α＝15°，
此时∠ABO＝90°﹣2α＝60°．
综上所述：在△AFG中，存在一个内角的度数等于另外一个内角度数的2倍时，∠ABO＝60°．
【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图，理解三角形的内角和等于180°，以及角平分线的定义是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．