2023-2024学年福建省龙岩市新罗区莲东中学、龙钢学校教育组团八年级（上）期中数学试卷(含解析)

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市新罗区莲东中学、龙钢学校教育组团八年级（上）期中数学试卷(含解析)，共27页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．计算a2•a3的结果正确的是（ ）
A．a5B．a6C．6aD．5a2
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
4．如图，∠C＝∠D＝90°，AD与BC相交于点E，则下列结论正确的为（ ）
A．∠CAB＝∠DBAB．∠CAD＝∠DBCC．CB＝ADD．△DAB≌△CBA
5．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
6．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
7．有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
9．如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°
10．如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN＝BM；②EF∥AB；③CE＝EF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．①③⑤D．①②③④⑤
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是 ．
12．一个多边形的内角和等于1080°，它是 边形．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB边上的高CD的长 ．
14．若2m＝3，2n＝2，则22m+2n的值是 ．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，那么AB＝ ．若P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长的取值范围为 ．
16．如图，△ABC，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为 ．
三、解答题。
17．如图，在△ABC和△DBC中，AB＝BD，AC＝DC，∠A＝135°，求∠D的度数．
18．计算：
（1）（﹣2a）3+2a2•5a；
（2）（3xy2）2+（﹣4xy3）（﹣xy）．
19．先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（2x﹣1），其中x＝2．
20．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D，
（1）求∠B的度数；
（2）如图①，若CE⊥AD于点F，交AB于点E．求∠ECD的度数．
（3）如图②，若CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点F，求∠AFC的度数．
21．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的位置如图所示．
（1）△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移 个单位得到；
（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请画出△A2B2C2；
（3）若△ABC的内部有一点P（x，y），则P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是 ．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规在AC上作点P，连接BP，使得AP＝BP．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点P分别到AB和BC的距离相等，求∠CBP 的度数．
23．如图，在等边△ABC中，点D、E分别为AC、BC边上的点，CD＝BE．连接AE、BD相交于点F．
（1）求证：∠AFD＝60°
（2）过A作AH⊥BD于点H，当EF＝2，HD＝3，FH＝8时，求线段BF的长度．
24．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，
初步尝试
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；
理解运用
（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE平行AB，交AD的延长线于点E，求AE的长；
综合应用
（3）如图3，已知四边形ADEB，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），则△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由．
25．如图，平面直角坐标系中，A（4，0），B为OA的中点，C是y轴上的动点，连接AC，过点A作AC⊥AD，并截取AD＝AC，E是CD的中点，连接OE，BE，且E在第四象限．
（1）如图1，当点C与O重合时，求E点的坐标；
（2）如图2，当点C在y轴上运动时，∠AOE的度数是否会发生变化；若不变，请求出∠AOE的度数；若改变，请说明理由；
（3）当BE最短时，求线段OC的长．
参考答案
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．如图所示图形不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
解：A，B，C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．计算a2•a3的结果正确的是（ ）
A．a5B．a6C．6aD．5a2
【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．
解：a2•a3＝a5．
故选：A．
【点评】本题考查了同底数幂乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加．
3．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣2）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
解：点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4．如图，∠C＝∠D＝90°，AD与BC相交于点E，则下列结论正确的为（ ）
A．∠CAB＝∠DBAB．∠CAD＝∠DBCC．CB＝ADD．△DAB≌△CBA
【分析】利用三角形内角和定理，对顶角相等以及全等三角形的判定进行解答．
解：A、只有当∠CBA＝∠DAB时，等式∠CAB＝∠DBA才成立，故本选项不符合题意；
B、因为∠CEA＝∠DEB，∠C＝∠D＝90°，所以∠CAD＝∠DBC，故本选项符合题意；
C、CB与AD不一定相等，故本选项不符合题意；
D、利用一组角和一组对边对应相等，无法判定△DAB≌△CBA，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线．此仪器的原理是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
【分析】证明△ADC≌△ABC（SSS），得∠DAC＝∠BAC，即可得出结论．
解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
即AE是∠DAE的平分线，
故选：A．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
6．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
7．有A、B、C三个不在同一直线上的居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（ ）
A．△ABC的三条中线的交点处
B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处
D．△ABC三条高所在直线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得到正确选项．
解：∵线段垂直平分线的点到线段两段点的距离相等，
∴△ABC三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了线段垂直平分线的性质．
8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（ ）
A．3B．4C．6D．5
【分析】作DH⊥AC于H，如图，利用角平分线的性质得DH＝DE＝2，根据三角形的面积公式得×2×AC+×2×4＝7，于是可求出AC的值．
解：作DH⊥AC于H，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DH⊥AC，
∴DH＝DE＝2，
∵S△ABC＝S△ADC+S△ABD，
∴×2×AC+×2×4＝7，
∴AC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．这里的距离是指点到角的两边垂线段的长．
9．如图，△AOB≌△ADC，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（ ）
A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°
【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，
∴∠BAC＝∠OAD＝α，
在△ABC中，，
∵BC∥OA，
∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，
∴，
整理得，α＝2β．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，解题的关键是熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系．
10．如图，点C是线段AB上一点，△ACM、△BCN是等边三角形．AN与CM交于点B，BM与CN交于点F，AN与BM交于点D．下列结论：①AN＝BM；②EF∥AB；③CE＝EF；④CD⊥EF；⑤DC平分∠ADB．其中正确的是（ ）
A．①③④B．①②③⑤C．①③⑤D．①②③④⑤
【分析】由“SAS”可证△ACN≌△MCB，可得AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确；由“ASA”可证△ACE≌△MCF，可得CE＝CF，故③正确；可证△CEF是等边三角形，可得∠CEF＝∠CFE＝60°＝∠ACM，可证EF∥AB，故②正确；由全等三角形的性质可得∠AEC＝∠MFC，可得∠CED+∠MFC＝180°，则可证DE不一定等于DF，即CD不一定垂直平分EF，故④错误；由全等三角形的性质可得S△ACN＝S△MCB，由面积公式可证CG＝CH，由“HL”可证Rt△CDG≌Rt△CDH，可得∠CDG＝∠CDH，故⑤正确，即可求解．
解：∵△ACM、△BCN是等边三角形，
∴AC＝CM，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝∠MCB，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴AN＝BM，∠CMB＝∠CAN，故①正确，
∵∠ACM＝∠BCN＝60°，
∴∠MCN＝60°＝∠ACM，
又∵AC＝CM，∠CMB＝∠CAN，
∴△ACE≌△MCF（ASA），
∴CE＝CF，故③正确，
∵∠ECF＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠CEF＝∠CFE＝60°，
∴∠FEC＝∠ACM＝60°，
∴EF∥AB，故②正确；
∵△ACE≌△MCF，
∴∠AEC＝∠MFC，
∵∠AEC+∠CED＝180°，
∴∠CED+∠MFC＝180°，
∴∠CED不一定等于∠CFM，
∴∠DEF不一定等于∠DFE，
∴DE不一定等于DF，
又∵CE＝CF，
∴CD不一定垂直平分EF，故④错误；
如图，过点C作CG⊥AN于G，CH⊥MB于H，
∵△ACN≌△MCB，
∴S△ACN＝S△MCB，
∴AN×CG＝×BM×CH，
∴CH＝CG，
又∵CD＝CD，
∴Rt△CDG≌Rt△CDH（HL），
∴∠CDG＝∠CDH，
∴CD平分∠ADB，故⑤正确；
故选：B．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．如图，∠ACD＝120°，∠B＝20°，则∠A的度数是 100° ．
【分析】根据三角形外角的性质即可求出∠A的度数．
解：∵∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B
＝120°﹣20°
＝100°．
故答案为100°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
12．一个多边形的内角和等于1080°，它是 八 边形．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
解：设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．
故答案为：八．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则AB边上的高CD的长 ．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
解：在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
由勾股定理得：AB＝＝＝5，
∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，
∴×3×4＝×5×CD，
解得：CD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用、三角形的面积计算，根据勾股定理求出斜边AB的长是解题的关键．
14．若2m＝3，2n＝2，则22m+2n的值是 36 ．
【分析】逆用同底数幂的乘法和幂的乘方公式，再代入计算即可．
解：∵2m＝3，2n＝2，
∴22m+2n＝22m⋅22n
＝（2m）2⋅（2n）2
＝32×22
＝36，
故答案为：36．
【点评】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方公式，注意逆用公式变形后代入求值是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，那么AB＝ 6 ．若P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长的取值范围为 3≤AP≤6 ．
【分析】由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AB的长，即可解决问题．
解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴AC＝AB，AC＝3，
∴AB＝6，
∵AC≤AP≤AB，
∴AP的长的取值范围是 3≤AP≤6．
故答案为：3≤AP≤6．
【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握含30°角的直角三角形的性质．
16．如图，△ABC，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为 40°或50° ．
【分析】分AE＝AF、AF＝EF、AE＝EF三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
解：当AE＝AF时，∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），
∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，
∴∠AFD＝120°，
∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝40°，
当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，
则180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，
∴∠A＝50°．
当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意，
综上所述，∠A＝40°或50°，
故答案为：40°或50°．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
三、解答题。
17．如图，在△ABC和△DBC中，AB＝BD，AC＝DC，∠A＝135°，求∠D的度数．
【分析】由“SSS”可证△ABC≌△DBC，可得∠A＝∠D＝135°．
解：在△ABC和△DBC中，
，
∴△ABC≌△DBC（SSS），
∴∠A＝∠D＝135°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．计算：
（1）（﹣2a）3+2a2•5a；
（2）（3xy2）2+（﹣4xy3）（﹣xy）．
【分析】（1）（2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；
解：（1）（﹣2a）3+2a2⋅5a
＝﹣8a3+10a3
＝2a3；
（2）（3xy2）2+（﹣4xy3）（﹣xy）
＝9x2y4+4x2y4
＝13x2y4．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方法则、单项式乘单项式法则、合并同类项法则是解决本题的关键．
19．先化简，再求值：（x+2）（x﹣3）﹣x（2x﹣1），其中x＝2．
【分析】利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式计算法则进行计算，再合并同类项，化简后，再代入x的值可得答案．
解：原式＝x2﹣3x+2x﹣6﹣2x2+x
＝﹣x2﹣6，
当x＝2时，
原式＝﹣4﹣6＝﹣10；
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣﹣化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解答本题的关键．
20．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D，
（1）求∠B的度数；
（2）如图①，若CE⊥AD于点F，交AB于点E．求∠ECD的度数．
（3）如图②，若CE平分∠ACB交AB于点E，交AD于点F，求∠AFC的度数．
【分析】（1）在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠B+∠ACB＝120°，结合∠ACB＝2∠B，即可求出∠B的度数；
（2）由（1）可知：∠ACB＝80°，由AD平分∠BAC，利用角平分线的定义，可求出∠CAD的度数，由CE⊥AD，可得出∠AFC＝90°，利用三角形内角和定理，可求出∠ACF，再结合∠ECD＝∠ACB﹣∠ACF，即可求出结论；
（3）由CE平分∠ACB，利用角平分线的定义，可求出∠ACF的度数，再在△ACF中，利用三角形内角和定理，即可求出∠AFC的度数．
解：（1）在△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠B+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠B＝＝40°；
（2）由（1）可知：∠ACB＝2∠B＝2×40°＝80°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝×60°＝30°．
∵CE⊥AD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝90°﹣∠CAD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ECD＝∠ACB﹣∠ACF＝80°﹣60°＝20°；
（3）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠ACB＝×80°＝40°．
在△ACF中，∠CAF＝30°，∠ACF＝40°，
∴∠AFC＝180°﹣∠CAF﹣∠ACF＝180°﹣30°﹣40°＝110°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是180°”是解题的关键．
21．在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1的位置如图所示．
（1）△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移 5 个单位得到；
（2）若△A2B2C2与△A1B1C1关于y轴对称，请画出△A2B2C2；
（3）若△ABC的内部有一点P（x，y），则P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是 （﹣x，y﹣5） ．
【分析】（1）利用点A和点A1的坐标特征确定平移的距离即可；
（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）先把P点向下平移5个单位得到（x，y﹣5），然后写出点（x，y﹣5）关于y轴的对称点的坐标即可．
解：（1）如图，△A1B1C1可以看作是△ABC向下平移5个单位得到；
故答案为：5；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）P在△A2B2C2内部的对应点P2的坐标是（﹣x，y﹣5）．
故答案为：（﹣x，y﹣5）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．也考查了平移变换．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）用直尺和圆规在AC上作点P，连接BP，使得AP＝BP．（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）在（1）的条件下，若点P分别到AB和BC的距离相等，求∠CBP 的度数．
【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）根据角平分线的判定定理、线段的垂直平分线的性质定理及三角形的内角和定理求解．
解：（1）点P即为所求；
（2）由（1）得：PD垂直平分AB，
∴AP＝BP，∠PDB＝90°，
∴∠A＝∠ABP，
∵点P分别到AB和BC的距离相等，∠ACB＝90°，
∴BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∴∠A＝∠ABP＝∠CBP，
∵∠A+∠ABP+∠CBP＝90°，
∴∠CBP＝30°．
【点评】本题考查了复杂作图，掌握角平分线的判定定理、线段的垂直平分线的性质定理及三角形的内角和定理是解题的关键．
23．如图，在等边△ABC中，点D、E分别为AC、BC边上的点，CD＝BE．连接AE、BD相交于点F．
（1）求证：∠AFD＝60°
（2）过A作AH⊥BD于点H，当EF＝2，HD＝3，FH＝8时，求线段BF的长度．
【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，可证明△ABE≌△BCD（SAS），从而可得到∠BAE＝∠CBD，然后依据三角形的外角的性质可得到∠AFD＝60°，即可得出结论；
（2）由（1）得△ABE≌△BCD，由全等三角形的性质得出∠BAE＝∠CBD，AE＝BD，求出∠AFH＝∠ABC＝60°，由直角三角形性质得出HF＝AF，证出AF＝BH，得出HF＝BH，即可得出BF＝HF，由此解答即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°．
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS）．
∴∠BAE＝∠CBD．
∴∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠CBD＝∠ABC＝60°．
（2）解：由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD，AE＝BD，
∴∠AFH＝∠BAE+∠ABF＝∠CBD+∠ABF＝∠ABC＝60°，
∵AH⊥BD，
∴∠FAH＝30°，
∴HF＝AF，
∴AF＝BH，
∴HF＝BH，
∴BF＝HF，
∵FH＝8．
∴BF＝8．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，
初步尝试
（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，P为AC上一点，当AP的长为 3 时，△ABP与△CBP为偏等积三角形；
理解运用
（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝4，且线段AD的长度为正整数，过点C作CE平行AB，交AD的延长线于点E，求AE的长；
综合应用
（3）如图3，已知四边形ADEB，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），则△ACD与△BCE是偏等积三角形吗？请说明理由．
【分析】（1）连接BP，由△ABP与△CBP在AP、CP边上的高相等，可知当点P为AC中点时，△ABP与△CBP面积相等，但此时△ABP与△CBP不全等，所以，△ABP与△CBP是偏等积三角形，则AP＝CP＝3，于是得到题题的答案；
（2）先由△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、CD边上的高相等，得BD＝CD，再证明△ECD≌△ABD，得ED＝AD，EC＝AB＝2，由三角形的三边关系得4﹣2＜2AD＜4+2，则1＜AD＜3，而AD是正整数，则AD＝2；
（3）先证明∠ACD≠∠BCE，再由CA＝CB，CD＝CE，说明△ACD与△BCE不全等，作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交DC的延长线于点G，可证明△ACG≌△BCF，得AG＝BF，即可证明△ACD与△BCE面积相等，从而证明△ACD与△BCE是偏等积三角形．
解：（1）如图1连接BP，
∵△ABP与△CBP在AP、CP边上的高相等，
∴当AP＝CP＝AC＝×3＝3，△ABP与△CBP面积相等，
∵BC＝6，∠ACB＝90°
∴AB＝＝＝3，
∴BC≠AB，
∵AP＝CP，BP＝BP，BC≠AB，
∴△ABP与△CBP不全等，
∴此时△ABP与△CBP是偏等积三角形，
故答案为：3．
（2）如图2，∵△ABD与△ACD是偏等积三角形，且△ABD与△ACD在BD、C边上的高相等，
∴BD＝CD，
∵CE∥AB，
∴∠E＝∠BAD，
在△ECD和△ABD中，
，
∴△ECD≌△ABD（AAS），
∴ED＝AD，EC＝AB＝2，
∵AC﹣EC＜AE＜AC+EC，且AC＝4，AE＝2AD，
∴4﹣2＜2AD＜4+2，
∴1＜AD＜3，
∵线段AD的长度为正整数，
∴AD＝2，
∴AE＝4．
（3）△ACD与△BCE是偏等积三角形，
理由：如图3，∵∠ACB＝∠DCE＝90°
∴∠ACD+∠BCE＝180°，
∵0°＜∠BCE＜90°，
∴∠ACD＞90°，
∴∠ACD≠∠BCE，
∵CA＝CB，CD＝CE，
∴△ACD与△BCE不全等，
作BF⊥CE于点F，AG⊥DC交DC的延长线于点G，则∠G＝∠BFC＝90°，
∵∠ECG＝180°﹣∠DCE＝90°，
∴∠ACG＝∠BCF＝90°﹣∠BCG，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（AAS），
∴AG＝BF，
∴CD•AG＝CE•BF，
∴△ACD与△BCE面积相等，
∴△ACD与△BCE是偏等积三角形．
【点评】此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
25．如图，平面直角坐标系中，A（4，0），B为OA的中点，C是y轴上的动点，连接AC，过点A作AC⊥AD，并截取AD＝AC，E是CD的中点，连接OE，BE，且E在第四象限．
（1）如图1，当点C与O重合时，求E点的坐标；
（2）如图2，当点C在y轴上运动时，∠AOE的度数是否会发生变化；若不变，请求出∠AOE的度数；若改变，请说明理由；
（3）当BE最短时，求线段OC的长．
【分析】（1）连接AE，证出EO＝EA，则BE⊥OA，∠OEB＝∠OEA＝45°，求出BE＝BO＝AO＝2，可得出答案；
（2）过点E作EF⊥OE交x轴于点F，连接AE，证明△EAF≌△ECO（ASA），由全等三角形的性质得出EO＝EF，由等腰直角三角形的性质可得出答案；
（3）当BE⊥OE时，BE最短，此时OE＝BE，同（2）可证得△EAB≌△ECO，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
解：（1）连接AE，
∵AC＝AO，AC⊥AO，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵E是OD的中点，
∴AE⊥OD，∠OAE＝∠OAD＝45°＝∠AOE，
∴EO＝EA，
∵点B是OA的中点，
∴BE⊥OA，∠OEB＝∠OEA＝45°，
∴BE＝BO＝AO＝2，
∴E（2，﹣2）；
（2）∠AOE的度数不会发生变化．
过点E作EF⊥OE交x轴于点F，连接AE，
∴∠OEF＝90°，
∵AC⊥AD，AC＝AD，E为CD的中点，
∴∠AEC＝90°＝∠OEF，EC＝EA，
∴∠OEC＝∠AEF，
∵∠OCE+∠OAE＝180°，∠FAE+∠OAE＝180°，
∴∠OCE＝∠FAE，
∴△EAF≌△ECO（ASA），
∴EO＝EF，
∴∠AOE＝∠OFE＝45°；
（2）由（2）得，∠AOE＝45°，
∴点E在∠AOE的边OE上运动，
当BE⊥OE时，BE最短，此时OE＝BE，
同（2）可证得△EAB≌△ECO，
∴OC＝AB＝OA＝2．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．