2023-2024学年河南省金太阳部分学校高一上学期第四次联考数学试卷（含解析)

这是一份2023-2024学年河南省金太阳部分学校高一上学期第四次联考数学试卷（含解析)，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x>0，2x-3x+2>0”的否定是
( )
A. ∃x≤0，2x-3x+2≤0B. ∀x≤0，2x-3x+2≤0
C. ∃x>0，2x-3x+2≤0D. ∀x>0，2x-3x+2≤0
2.已知集合A={x|x=2n+1，n∈Z}，B={x|x=4n+1，n∈Z}，则
A. A∩B=AB. (∁RA)∩B=⌀
C. 3∈A∩BD. (∁RA)∪(∁RB)=∁RA
3.已知函数f(x)=x-5,x≥0,f(x2),x<0,则f(-3)+f(2)=
A. -1B. 1C. 7D. 5
4.已知a=0.90.4，b=lg0.90.8，c=0.90.3，则
A. b>c>aB. b>a>cC. a>b>cD. c>a>b
5.巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军．其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”.若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
6.今年10月份，自然资源部联合国家林业和草原局向社会公布贡嘎山等9座山峰高程数据，其中狮子王高程数据为4981.3 m，夏诺多吉高程数据为5951.3 m.已知大气压强p(单位：Pa)随高度h(单位：m)的变化满足关系式lnp0-lnp=kh，p0是海平面大气压强，k=10-4，则狮子王山峰峰顶的大气压强是夏诺多吉山峰峰顶的大气压强的
A. e0.097倍B. e100097倍C. e-0.097D. e-100097
7.若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(-2,3)，则关于x的不等式bx2+5ax+c>0的解集是
A. (2,3)B. (-∞，2)∪(3，+∞)
C. (-1,6)D. (-∞，-1)∪(6，+∞)
8.已知a>0，且a≠1，函数f(x)=lgax+3a2,x≥1,(2a-1)x+8a-2,x<1是R上的单调函数，则a的取值范围是
A. 13,12∪(1,+∞)B. 0,13∪(1,+∞)
C. 13,12∪[3,+∞)D. 0,13∪[3,+∞)
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列命题中是真命题的是
A. 所有三角形的内角和都是180°B. 所有素数都是奇数
C. 有些一元二次方程在实数范围内无解D. 存在一个实数的绝对值不是正数
10.已知函数f(x)的定义域为A，若对任意的x∈A，都存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，则称f(x)是定义在A上的“有上界函数”.下列函数是“有上界函数”的是
A. f(x)=x2-2x+3B. f(x)= 4-2x
C. f(x)=1lg2(x2+2)D. f(x)= -x2+2x+3
11.已知a>0，b>0，且a+b=3，则
A. 1a+4b的最小值是3B. ab的最大值是94
C. a2+b2的最大值是92D. 3ab+ba的最小值是2
12.已知函数f(x)=|3x+1-1|,x≤0,|lg2x|,x>0.x1，x2，x3，x4是函数g(x)=f(x)-m的4个零点，且x1A. m的取值范围是(0,2]B. 3x1+3x2=23
C. x3+4x4的最小值是4D. 3x1+3x22x3+x4的最大值是 26
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.函数f(x)=2x-1 4-x+ln(x-1)的定义域是________．
14.已知幂函数f(x)=(m2-m-5)xm是奇函数，则f(m)=________．
15.函数y=ax2的图象恒在函数y=ax-90图象的上方，则a的取值范围为________．
16.已知都不为1的正数a，b，c，m满足am=bm+cm.若b+c>a，则m的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
(1)计算：3lg32+827-13+lg25+2lg2．
(2)已知lg2(lg x)=2，求x的值．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|x2+2x-8≥0}，B={x|2a-6≤x(1)当a=3时，求A∪(∁RB)；
(2)若A∩B=⌀，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2x-1+1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求不等式|f(x)|≥2的解集．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+2-x．
(1)证明：f(x)是(0,+∞)上的增函数．
(2)若f(x1)+21-x1=f(x2)+21-x2=5，且x121.(本小题12分)
某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量y(单位：万件)与年广告宣传费用x(单位：万元)之间满足关系式y=6x+2x+1(x≥0,x∈Z)，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为2y+12万元，每件产品的生产费用为64元．已知该厂家销售的该类产品的产品单价=54×每件产品的生产费用+12×平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出．
(1)请写出该类产品的年度总利润z(单位：万元)与年广告宣传费用x(单位：万元)之间的函数关系式．(注：年度总利润=年销售总收入+年度政府的专项补贴-总成本，总成本=固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用)
(2)试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)满足f(lg2x)=x+1．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的x∈(0,+∞)，不等式bf(2x)≥[f(x)]2恒成立，求b的取值范围；
(3)已知实数m，n，k满足0k时，f(m)+f>f(k)+1恒成立，求a的最大值．( )
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定为存在量词命题解答．
【解答】
解：全称量词命题的否定，量词发生变化、结论也发生变化．
命题“∀x>0，2x-3x+2>0”的否定是∃x>0，2x-3x+2≤0，
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了交并补混合运算，是基础题．
根据集合的运算可得结论．
【解答】
解：因为A={x|x=2n+1,n∈Z}，
B={x|x=4n+1,n∈Z}，
所以∁RA={x|x=2n,n∈Z}．
因为B={x|x=4n+1,n∈Z}，
所以集合B中不包含偶数，
则(∁RA)∩B=⌀.C正确
A∩B=B，A错
3∈A但3∉B，C错，
(∁RA)∪(∁RB)=∁R(A∩B)=∁RB，D错
故选B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了分段函数求函数值，属于基础题．
根据分段函数的解析式，进行计算即可．
【解答】
解：函数f(x)=x-5,x≥0,f(x2),x<0,
所以f-3=f9=9-5=4，f2=2-5=-3，
故f-3+f2=4-3=1
故选：B．
4.【答案】A
【解析】解：因为y=0．9x是减函数，且0.4>0.3，所以0．90.4<0．90.3，即a1，lg0.90.8>，所以b>c，故b>c>a．
利用指数对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断，属于基础题．
直接用充分条件，必要条件定义判断可得．
【解答】
解：会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪
会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数设为应用，属于基础题．
由lnp0-lnp=kh，得两山气压关系．
【解答】
解：设夏诺多吉山峰峰顶的大气压强为p1，狮子王山峰峰顶的大气压强为p2，则
lnp0-lnp1=5951.3klnp0-lnp2=4981.3k，两式相减得lnp2p1=970k，即p2=e970kp1=e0.097p1．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系和根与系数的关系，属于中档题．
根据不等式ax 2+bx+c>0的解集求出b、c和a的关系，再把不等式 bx2+5ax+c>0，化简即可求出结果．
【解答】
解：根据题意，若不等式 ax2+bx+c>0的解集是(-2,3)，
则-2与3是方程ax2+bx+c=0的根，且a<0，
则有(-2)+3=-ba,(-2)×3=ca,
解得b=-a>0，c=-6a>0，
∴不等式bx2+5ax+c>0可化为-ax2+5ax-6a>0，
整理得x2-5x+6>0，
即(x-2)(x-3)>0，解得x<2或x>3，
故选B．
8.【答案】C
【解析】【分析】本题考查分段函数的单调性，属于中档题．
由题意，对a的取值分类讨论，列不等式求解即可．
【解答】 解：当f(x)在R上单调递减时，0当f(x)在R上单调递增时，a>1,2a-1>0,3a2≥2a-1+8a-2,解得a≥3.综上，a的取值范围是[13,12)∪[3，+∞).
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了命题的真假，是基础题．
根据全称量词与全称量词命题逐一判定真假即可．
【解答】
解：所有三角形的内角和都是180∘，则A是真命题；
2是素数，但2不是奇数，则B是假命题；
有些一元二次方程在实数范围内无解，例如x2-2x+3=0，则C是真命题；
0的绝对值是0，不是正数，则D是真命题．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查函数的新定义，考查复合函数、函数的定义域及值域，属于中档题．
分别求出各函数的值域即可判断．
【解答】
解：对于A，f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2≥2，不存在正数M，使得|f(x)|≤M成立，则A错误;
对于B，因为2x>0，所以f(x)= 4-2x∈[0,2).当M≥2时，|f(x)|≤M成立，则B正确;
对于C，因为x2≥0，所以lg2(x2+2)≥1，所以f(x)=1lg2(x2+2)∈(0,1]．
当M≥1时，|f(x)|≤M成立，则C正确;
对于D，因为-x2+2x+3=-(x-1)2+4，所以f(x)= -x2+2x+3∈[0,2]．
当M≥2时，|f(x)|≤M成立，则D正确．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】本题主要考查的是利用基本不等式求最值，属于中档题．
直接利用基本不等式求最值，逐项判断即可．
【解答】解：对于A，1a+4b=13a+b1a+4b=135+ba+4ab⩾135+2 ba·4ab=3，
当且仅当ba=4ab，即b=2a，即a=1，b=2时，等号成立，A正确；
对于B，由基本不等式可得ab⩽a+b22=94，
当且仅当a=b=32时，等号成立，B正确．
对于C，a2+b2=a+b2-2ab=9-2ab⩾9-2×94=92，
当且仅当a=b=32时，等号成立，C错误；
对于D，3ab+ba=a+b23ab+ba=a3b+4b3a+23⩾2 a3b·4b3a+23=2，
当且仅当a=2b=2时，等号成立，D正确．
故选ABD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查分段函数的零点问题，属于较难题．
作出f(x)的大致图象，根据条件结合图象计算判断即可．
【解答】
解：作出f(x)的大致图象，如图．
由图可知m∈(0,1)，则A错误．
因为x1，x2是|3x+1-1|=m的两根，所以1-3x1+1=3x2+1-1，
所以3x1+1+3x2+1=2，即3(3x1+3x2)=2，则3x1+3x2=23，故B正确．
因为x3，x4是|lg2x|=m的两根，所以
-lg2x3=lg2x4，所以lg2x3+lg2x4=0，即lg2(x3x4)=0，
所以x3x4=1，则x3+4x4=x3+4x3．
因为125，即x3+4x4>5，则C错误．
因为x3x4=1，所以2x3+x4=2x3+1x3≥2 2，
当且仅当2x3=1x3，即x3= 22时，等号成立．
因为3x1+3x2=23，所以3x1+3x22x3+x4≤ 26，则D正确．
13.【答案】(1,4)
【解析】【分析】
根据题意，列出不等式，即可得到结果．
本题考查了函数定义域的求法，属基础题．
【解答】
解：由题意可得4-x>0,x-1>0,
解得1即函数f(x)的定义域是(1,4)．
故答案为：(1,4)．
14.【答案】27
【解析】【分析】
本题考查幂函数的定义及函数的奇偶性，属于基础题目．
根据幂函数定义确定m的取值，再根据条件奇函数得到结果．
【解答】解：由题意可得m2-m-5=1，解得m=3或m=-2，
因为f(x)是奇函数，所以m=3，则f(x)=x3，则f(3)=33=27．
15.【答案】[0,360)
【解析】【分析】
本题考查不等式恒成立，考查二次函数的图像与性质，考查分析与计算能力，属于基础题．
由题意可得ax2-ax+90>0恒成立，利用判别式即可得．
【解答】
解：由题意可得ax2>ax-90恒成立，即ax2-ax+90>0恒成立．
当a=0时，0≥-90恒成立，符合题意．
当a≠0时，由a>0,Δ=a2-360a<0,解得0故a的取值范围为[0,360)．
故答案为：[0,360)．
16.【答案】1,+∞
【解析】【分析】
本题主要考查的是指数幂的化简，指数函数的单调性，幂函数的单调性，不等式的性质，属于难题．
易得am>bm，根据不等式的性质可得0【解答】
解：因为am=bm+cm.所以am>bm，又因为m>0，所以a>b，则0令fx=bax+cax，则f(x)在定义域内单调递减．
因为am=bm+cm.所以1=bam+cam=fm．
因为b+c>a，所以ba+ca>1，即f(1)>1=f(m)，故m>1．
17.【答案】解：(1)3lg3 2+(827)-13+lg25+2lg2
=2+(23)-13×3+lg(25×22)
=2+32+2=112．
(2)因为lg2(lgx)=2，
所以lgx=4，则x=104．
【解析】本题考查指数幂和对数的运算法则，属于基础题．
(1)根据指数幂和对数的运算法则计算即可；
(2)根据对数的运算法则计算．
18.【答案】解：解：由题意可得A={x|x≥2或x≤-4}．
(1)当a=3时，B={x|0≤x<3}，则∁RB={x|x<0或x≥3}．
故A∪(∁RB) = {x|x<0或x≥2}．
(2)当B=⌀时，2a-6≥a，解得a≥6，此时A∩B=⌀，符合题意;
当B≠⌀时，由A∩B=⌀，可得2a-6-4,解得1综上，a的取值范围为(1,2]∪[6,+∞).
【解析】【分析】本题主要考查了集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．
(1)先求出集合A，B，∁RB，再利用集合的基本运算求解；
(2讨论B=⌀和B≠⌀时，求出a的取值范围．．
19.【答案】解：(1)当x<0时，-x>0，f(-x)=2-x-1+1，
因为f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-2-x-1-1．
f(x)=2x-1+1,x>0,0,x=0,-2-x-1-1,x<0.
(2)当x>0时，f(x)=2x-1+1>0，|f(x)|≥2，即f(x)≥2，
即2x-1+1≥2，解得x≥1.
当x<0时，f(x)=-2-x-1-1<0，|f(x)|≥2，即-f(x)≥2，
即2-x-1+1≥2，解得x≤-1．
故不等式|f(x)|≥2的解集是(-∞,-1]∪[1,+∞).
【解析】本题考查了分段函数的解析式的求法和不等式的运用求解集问题，属于基础题．
(1)根据函数奇偶性的性质，分别求出x<0和x=0的表达式即可；
(2)根据f(x)是分段函数，分别求解不等式的解集．
20.【答案】解：(1)证明：设x4>x3>0，
则f(x4)-f(x3)=2x4+2-x4-(2x3+2-x3)=22x4+12x4-22x3+12x3=22x4·2x3+2x32x4⋅2x3-22x3⋅2x4+2x42x4⋅2x3=2x3+x42x4-2x3+2x3-2x42x3+x4=2x3+x4-12x4-2x32x3+x4
因为x4>x3>0，所以2x4>2x3，2x3+x4>1，
所以，即f(x4)>f(x3)，
故f(x)是(0,+∞)上的增函数．
(2)解：因为f(x1)+21-x1=f(x2)+21-x2=5，
所以x1，x2是方程2x+2-x+21-x=5的两个不同实根，
即x1，x2是方程(2x)2-5⋅2x+3=0的两个不同实根，
则2x1+2x2=5，2x1⋅2x2=3，
故4x1+4x2=(2x1+2x2)2-2⋅2x1⋅2x2=25-6=19．
【解析】本题主要考查函数的单调性，函数的零点与方程的根，属于中档题．
(1)利用函数单调性定义证明f(x)是(0,+∞)上的增函数即可；
(2)由题意x1，x2是方程2x+2-x+21-x=5的两个不同实根，由根与系数关系得2x1+2x2=5，2x1⋅2x2=3，
可得4x1+4x2的值．
21.【答案】解：(1)由题意知，当年生产量为y万件时，总成本为8+64y+x=64(6x+2x+1)+8+x(万元)，
当销售量为y万件时，年销售总收入为54×64(6x+2x+1)+12x(万元)，
由题意得z=54×64(6x+2x+1)+12x+2y+12-64(6x+2x+1)-8-x，
即z=-72x+1-12x+2012(x≥0,x∈Z)
(2)由(1)得z=-72x+1-12(x+1)+101 (x≥0,x∈Z)，
因为x>0，所以x+1>0，
则z=-72x+1-12(x+1)+101=-[72x+1+12(x+1)]+101≤-2 72x+1⋅12(x+1)+101=-2×6+101=89，
当且仅当72x+1=12(x+1)，即x=11时，等号成立．
故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元．
【解析】本题主要考查的是基本不等式的应用，难度适中；
(1)先求总成本，再求总收入，进而可得z=54×64(6x+2x+1)+12x+2y+12-64(6x+2x+1)-8-x，化解即可；
(2)利用基本不等式可得最值；
22.【答案】解：(1)令t=lg2x，则x=2t，所以f(t)=2t+1，
所以f(x)=2x+1；
(2)由题意，b(22x+1)⩾(2x+1)2，
所以b⩾(2x+1)222x+1=22x+1+2·2x22x+1=1+22x+12x，
因为2x+12x⩾2，所以0<22x+12x⩽1，所以1<1+22x+12x⩽2(当且仅当2x=12x，即x=0时取等号)，
所以b⩾2；
(3)由题意，2m+1+2n+1>2k+1+1，所以2m+2n>2k，
因为m+n>k，所以2m+2n⩾2 2m+n>2 2k⩾2k，解得k⩽2，
因为k≤a，所以a的最大值为2．
【解析】本题考查换元法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的运用，属于中档题．
(1)利用换元法，可求函数的解析式；(2)分离参数，利用基本不等式求最值，可求b的取值范围；(3)利用基本不等式，结合不等式恒成立，求出a的最大值．