福建省龙岩市第五中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份福建省龙岩市第五中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若是方程的一个根，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．80°D．100°
4．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆锥底面圆的半径为，母线长为，则圆锥侧面积等于（ ）
A．B．C．D．
6．已知的半径为5，点在外，则长度可能是（ ）
A．2.5B．4C．5D．7
7．某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （ ）
A．120（1－x）2=100B．100（1－x）2=120
C．100（1＋x）2=120D．120（1＋x）2=100
8．如图，把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上．则
A．B．C．D．
9．如图，当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读图如图所示（单位：），那么该圆的半径为（ ）

A．B．C．D．
10．已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2．
其中结论正确的有（ ）
A．①③B．③④C．④⑤D．②⑤
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
12．将抛物线y=x2向上平移2个单位，得到新抛物线的解析式为 ．
13．如果一个正多边形的中心角为36°，那么这个正多边形的边数是 ．
14．若二次函数的图像经过点，，则 （选填：﹥，﹤，=）
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=4．将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧AB上点C处，折痕交OA于点D，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，的半径为，圆心，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分86分）
17．解方程：
(1)
(2)
18．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得和互为相反数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19．已知二次函数的大致图象如图：
(1)求该二次函数与轴的交点坐标和顶点坐标；
(2)结合（1）的结论及该二次函数的图象，直接写出当时，的取值范围．
20．如图所示，是的直径，点是半圆上的一动点不与，重合，弦平分，过点作交射线于点．求证：与相切
21．如图，在中，点在边上，．将线段绕点旋转到的位置，使得，连接，与交于点．

(1)求证：
(2)若，，则的度数 ．
22．如图，在中，．
(1)请作出经过A、B两点的圆，且该圆的圆心O落在线段AC上（尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）；
(2)在（1）的条件下，已知，将线段AB绕点A逆时针旋转后与⊙O交于点E．试证明：B、C、E三点共线．
23．某商场经销一种布鞋，已知这种布鞋的成本价为每双30元．市场调查发现，这种布鞋每天的销售量y（单位：双）与销售单价x（单位：元）有如下关系：y＝－x＋60（30≤x≤60）．设这种布鞋每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数解析式；
（2）这种布鞋销售单价定价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24．如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．
（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点为抛物线上一点（不与点重合），连接．当时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在对称轴上是否存在一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，使点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟记定义是解题关键．将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】解：∵是方程的一个根，
，
解得，
故选：A．
3．D
【分析】由⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠BOC的度数．
【详解】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4．B
【分析】把常数项移到等号的右边，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出选项．
【详解】解：，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
5．C
【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积计算公式：即可求解，圆锥侧面积的计算公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥侧面积，
故选：．
6．D
【分析】根据题意可以求得OA的范围，从而进行解答．
【详解】的半径为5，点A在外
故选：D．
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OA的取值范围．
7．A
【分析】由题意知，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据题意列方程即可．
【详解】解：平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为
∴由题意列方程为：
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意并正确的列方程．
8．D
【分析】根据旋转的性质可以得到，，即可求解.
【详解】解：由题意可得：，
∵把绕着点顺时针方向旋转，得到△，点刚好落在边上，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
9．A
【分析】连接，过点O作于点D，由垂径定理可知，，设，则，在中利用勾股定理求出r的值即可．
【详解】解：连接，过点O作于点D，

∵，
∴，
设，则，
在中，
，即，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．B
【分析】本题考查二次函数图象与系数关系，需要对二次函数各项系数对图象的决定作用理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系．会用数形结合的思想是解题关键．由二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点即可判断①；由二次函数图象与轴交于不同两点，即可判断②；由，得，当时，，把替换成计算，即可判断③；根据函数的最值即可判断④；将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有四个交点，由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，即可判断⑤．
【详解】解：图象开口向下，
，
对称轴在轴的右侧，与异号，
，
与轴交于正半轴，
，
，
故①错误；
二次函数图象与轴交于不同两点，则．
．
故②错误；
，
．
又当时，．
即．
．
．
故③正确；
时函数有最大值，
当时的值大于当时的值，
即
成立，
故④正确．
将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，
故⑤错误．
综上：③④正确，
故选：B．
11．
【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可．
【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
12．y=x2+2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线y=x2向上平移2个单位得到新的抛物线的解析式是：y=x2+2，
故答案为：y=x2+2
【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
13．10
【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为，则n=360÷36=10，故这个正多边形的边数为10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称轴和开口方向，判断所给点到对称轴的距离大小即可求解．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且图象开口向上，
又，，，
∴
故答案为：
15．
【分析】根据题意和图形，可以得到△OBC是等边三角形，从而可以得到∠OBD的度数，然后即可得到OD的长，从而可以得到△BOD的面积，根据折叠的性质，△BOD的面积和△BCD的面积一样，然后即可得到阴影部分的面积就是扇形OAB的面积减去△OBD和△BCD的面积．
【详解】解：连接OC，
∵OB=BC=CO，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBD=30°，
∵∠BOD=90°，OB=OA=4，
∴OD=OB•tan30°=，
∴△BOD的面积是：，
∴△BCD的面积是，
∴阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算、折叠的性质、等边三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
16．
【分析】由中可知，要使取得最小值，则需取得最小值，连接，交于，当点位于位置时，取得最小值，据此求解即可；
【详解】连接，交于，过点作轴于点，连接，，
在中，
，
在中，，
∴，
∵，，
∴，即，
当点与点重合时，，
∴时取最小值，此时点在直线上取最小值，
∵，
∴，
∵点、点关于原点对称，
∴，即是的中点，
∴，
∴，
∴当最小时，取最小值，
∴；
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是准确判断出的位置，利用勾股定理进行求解．
17．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）移项后用因式分解法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴或，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴或，
∴，．
18．(1)
(2)不存在；理由见解析
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，第二小题中求出k值之后，要注意根据k的取值范围来进一步判断．
（1）根据一元二次方程根的判别式，结合方程有两个不实数根，，代入计算求出k的取值范围．
（2）根据根与系数的关系，，，根据题意列出等式，求出k的值，根据k的值是否在取值范围内做出判断．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得：．
（2）解：不存在．
∵，，
而和互为相反数，
∴，解得，
∵．
∴不存在实数k，使得和互为相反数．
19．(1)与x轴的交点坐标为，顶点坐标为
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
（1）令，求出x的值，即可求出与x轴的交点坐标；将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标
（2）根据与x轴的交点坐标，再根据图像即可得出x的取值范围．
【详解】（1）当时，，解得，
所以该二次函数与x轴的交点坐标为；
因为，
所以抛物线的顶点坐标为；
（2）由图象可知，当时，的取值范围是或．
20．见解析
【分析】连接OD，利用角平分线的性质及圆的半径相等的性质证得，推出，得到DE⊥OD，由此得到结论．
【详解】证明：连接OD，如图1所示：
∵OD=OA，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAF，
∴∠OAD=∠FAD，
∴，
∴，
∵DE⊥AF，
∴DE⊥OD，
又∵OD是的半径，
∴与相切．
【点睛】此题考查圆的切线的判定定理，半径相等的性质，平行线的判定及性质，熟记圆的切线的判定定理并进行推理论证是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据“边角边”证明即可求证；
（2）根据等腰三角形的性质，（1）中的全等可得，进而可求，再根据三角形的外角性质即可求解．
【详解】（1）解：由旋转可得，
∵，
∴，即，
∴在和中，
，
∴，
∴，即．
（2）解：在中，，，
∴，
由（1）中，，可知，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形的全等与判定，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识的综合运用是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）只需要作AB的垂直平分线，其与AC的交点即为圆心O，由此作图即可；
（2）先由圆周角定理求出，再由旋转的性质求出，从而得到，证明△OBC≌△OEC得到∠OCE=∠OCB=90°，则∠OCB+∠OCE=180°，即可证明B、C、E三点共线．
【详解】（1）解：如图所示，圆O即为所求；
（2）解：如图所示，连接CE，OE，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，
∴，
∴，
在△OBC和△OEC中，
，
∴△OBC≌△OEC（SAS），
∴∠OCE=∠OCB=90°，
∴∠OCB+∠OCE=180°，
∴B、C、E三点共线．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，画圆，圆周角定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定等等，熟知性格知识是解题的关键．
23．（1）w=﹣x2+90x﹣1800；（2）这种布鞋销售单价定价为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是,225元
【分析】（1）由题意根据每天的销售利润W=每天的销售量×每件产品的利润，即可列出w与x之间的函数解析式；
（2）根据题意对w与x之间的函数解析式进行配方，即可求得答案．
【详解】解：（1）w=（x﹣30）•y=（﹣x+60）（x﹣30）=﹣x2+30x+60x﹣1800=﹣x2+90x﹣1800，
w与x之间的函数解析式w=﹣x2+90x﹣1800；
（2）根据题意得：w=﹣x2+90x﹣1800=﹣（x﹣45）2+225，
∵﹣1＜0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225；
答：这种布鞋销售单价定价为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元.
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据题意得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键以及利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
24．（1）见解析；（2）12；（3）AF+BC＝DF，理由见解析
【分析】（1）由CD平分∠ACB，根据圆周角定理，可得∠ACD＝∠BCD＝∠ABD；
（2）过点E作EM⊥AD于点M，求出AD长，则AB＝AD，可求出AB,则答案得出；
（3）过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，可证明△DAF≌△DBN，则AF＝BN，DF＝CF则结论AF+BC＝DF可得出．
【详解】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠ACD＝∠ABD，
∴∠ABD＝∠BCD；
（2）解：如图1，过点E作EM⊥AD于点M，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°，
∵AE＝17，
∴ME＝AM＝17×＝，
∵DE＝13，
∴DM＝
∴AD＝AM+DM＝，
∴AB＝AD＝
∴AO＝＝12；
（3）AF+BC＝DF．理由如下：
如图2，过点D作DN⊥CB，交CB的延长线于点N，
∵四边形DACB内接于圆，
∴∠DBN＝∠DAF，
∵DF⊥AC，DN⊥CB，CD平分∠ACB，
∴∠AFD＝∠DNB＝90°，DF＝DN，
∴△DAF≌△DBN（AAS），
∴AF＝BN，CF＝CN，
∵∠FCD＝45°，
∴DF＝CF，
∴CN＝BN+BC＝AF+BC＝DF．
即AF+BC＝DF．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形，全等三角形的判定及性质，掌握圆的有关性质，学会对知识融会贯通是解题的关键.
25．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由对称轴和点A的坐标，可得到点B的坐标，进而得到函数关系式；
（2）作于D，可知D在对称轴上，求出点E的坐标，得出直线的关系式与抛物线求交点即可；
（3）分P在Q上方和下方两种情况，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵对称轴为直线，点A的坐标为，
∴，
∴；
（2）解：作于D，交于E，对称轴交x轴于一点F，连接，，如图所示：
，
∵，对称轴为，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点在的中垂线上，
∴点在抛物线的对称轴上，
∴，
∴，
∵，
在中，
，
∴（AAS），
∴，
∴，
设直线的关系式为，将点C、E的坐标代入，
得，解得，
∴直线的关系式为：，
联立，
∴，
解得：（舍），
∴；
（3）解：点P旋转后的对应点为，作对称轴于一点D，对称轴于一点E，
当P在Q上方时，如图所示：
，
此时，设，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，则，
又，
∴，
又，
∴（AAS），
∴，
∴，
∵恰好落在抛物线上，
∴，
解得：（舍），
∴点Q的纵坐标为，
∴；
当Q在P上方时，作对称轴于一点D，
则：为等腰直角三角形，
∴，
∴点Q的纵坐标为，
∴，
综上可得：存在这样一点Q，点Q的坐标为．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、等腰直角三角形的性质以及运算能力，用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，求出线段之间的关系是解答本题的关键．