福建省宁德市福鼎市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份福建省宁德市福鼎市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题：每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂．
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．为了估计抛掷同一枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率，小明做了大量重复试验．经过统计得到凸面向上的次数为450次，凸面向下的次数为550次，由此可估计抛掷这枚啤酒瓶盖落地后凸面向上的概率约为（ ）
A．0.45B．0.50C．0.55D．0.75
3．已知，则下列比例式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（ ）

A．B．C．D．
5．下列各组图形中一定是相似图形的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个矩形
C．两个直角三角形D．两个等腰三角形
6．下列各组图形中的两个三角形均满足，这两个三角形不是位似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
7．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根
C．有两个不相等的实数根D．没有实数根
8．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠CB．∠APB=∠ABC
C．D．
9．在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示以线段为边作正方形，取的中点，连接，延长至，使得，以为边作正方形，则点即是线段的黄金分割点．若记正方形的面积为，矩形的面积为，则与的比值是（ ）

A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，，E，G分别是边的五等分点，F，H分别是边的三等分点，若四边形的面积为1，则矩形的面积是（ ）
A．B．C．D．
第 Ⅱ 卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11．如图，两条公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离为 ．

12．两个相似三角形面积比为，则对应高的比为 ．
13．如图，，，则EF的值为 ．

14．一个不透明的箱子里装有三个完全相同的小球，分别标有数字1、2、3，随机摸出一个，记下数字后不放回，再从中随机摸出一个，则两次摸出的小球数字和为奇数的概率为 ．
15．已知a，b是方程的两根，则的值为 ．
16．如图，在矩形中，，，M为对角线上一点（不与B、D重合），连接，过点M作交边于点N，连接．若，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．
17．解方程：
18．如图，已知四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：BE＝DF．
19．小丽同学准备测量学校教学楼的高度．如图，她在与教学楼底部A同一个水平的地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离为24米，然后在射线上调整自己与镜子的距离，直到刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B，此时她与镜子的距离为3米，若小丽的眼睛距离地面高度为米，请你帮小丽利用这些数据求出教学楼的高度．
20．政法系统在全国各地深入推进“全民反诈”，组织了各类反诈骗宣传活动，打击诈骗分子．已知某校南、北两个校区各有三名学生宣传员，南校区宣传员中有一名女生和两名男生，北校区宣传员中有两名女生和一名男生．现在学校准备从南、北校区各随机抽取一名学生作为反诈知识宣传负责人．
(1)从北校区随机抽取一人是女生的概率是 ；
(2)求从南、北校区各随机抽取一名宣传负责人恰好是一男一女的概率．（请用画树状图或列表的方法）
21．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，在正方形中，点F是上的一点，将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，则四边形 “直等补”四边形；（填“是”或“不是”）
(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，过点B作于点E，过点C作于点F．试探究线段，和的数量关系，并说明理由；
22．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某商店以每件8元的价格购进亚运会吉祥物挂坠，以每件14元的价格出售．据统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该吉祥物挂坠4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该吉祥物挂坠每降价元，月销售量就会增加20件．则该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达1920元?
23．下面是某数学兴趣小组用尺规作图“作一条线段的三等分点”的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
如图1：①分别以点A，B为圆心，大于的长为半径在两侧画弧，四段弧分别交于点C，点D；
②连接，作射线；
③以D为圆心，的长为半径画弧，交射线于点E；
④连接，交于点F，点F即为的三等分点（即）．
任务：
(1)求证：四边形是菱形；
(2)请你证明点F为的三等分点；
(3)尺规作图：如图2，请利用尺规再设计一种方法，作线段的三等分点．（保留作图痕迹）
24．已知关于x的方程有两个实数根，其中．
(1)若，求的值；
(2)一次函数的图像上有两点，若，求m的值；
(3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为和，求该直角三角形的面积．
25．在中，，，，如图1，将绕点A顺时针旋转某个角度得到，其中D是点B的对应点，E是点C的对应点，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，当点D在线段上时，求线段的长；
(3)连接，，在旋转过程中，是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．根据定义分析可得本题答案.
【详解】A、是一元一次方程，故不符合题意；
B、是一元二次方程，故符合题意；
C、是二元二次方程，故不符合题意；
D、是分式方程，故不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查概率的意义、等可能事件的概率，根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可．
【详解】解：∵抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次．经过统计得“凸面向上”的次数约为4520次，
∴抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为，
故选：A．
3．C
【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴四个选项中，只有C选项符合题意，
故选C．
4．B
【分析】根据矩形的判定方法进行解答即可．
【详解】解：A．∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，故A不符合题意；
B．由可以判定平行四边形为矩形，故B符合题意；
C．由可以判定平行四边形为菱形，故C不符合题意；
D．由可以判定平行四边形为菱形，故D不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．
5．A
【分析】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
【详解】解：A、两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；
C、两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意；
D、两个等腰三角形，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意．
故选：A．
6．B
【分析】根据位似图形的概念和性质，对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行，对各选项逐一分析，即可得出答案．
【详解】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、C、D三个图形中的两个图形都是位似图形；
B中的两个图形不符合位似图形的概念，对应边不平行，故不是位似图形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似变换，注意位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程的一般式求出，即可判断．
【详解】解：∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
8．D
【详解】解：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
9．D
【分析】根据是的黄金分割点求出，求出，，再得出答案即可．
【详解】解：是的黄金分割点，
，
，，
，即，
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割，能熟记黄金分割的性质是解此题的关键．
10．C
【分析】本题考查了矩形的性质．设，，根据四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，列式计算求得，据此求解即可．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴设，，
由题意得，，，
∴，
整理得，即，
∴矩形的面积是，
故选：C．
11．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，解答即可．
【详解】解：是公路的中点，
，
，
，
，两点间的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质是解题的关键．
12．
【分析】此题考查了相似三角形的性质，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方与相似三角形对应高的比等于相似比是解此题的关键；
由两个相似三角形面积之比为，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得答案；
【详解】两个相似三角形面积之比为，
故它们的相似比为，
故它们对应高之比为，
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
，
，
故答案为：6．
14．
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出小球的数字和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：画树状图如图：
由树状图知，共有种等可能结果，两次摸出的小球数字和为奇数有4种，
则两次摸出的小球数字和为奇数的概率，
故答案为：．
15．7
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 熟记， 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
先由根与系数的关系得出再由是方程的根满足方程关系式得出， 再根据 ， 代入计算即可．
【详解】∵a，b是方程的两根，
，
即，
；
故答案为：7．
16．##
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质，过点作于，延长交于，则，根据矩形的性质，可证，从而得出，，，，再根据可得，进而可得，即可求解，熟练掌握相关判定及性质，适当添加辅助线解决问题是解题的关键．
【详解】解：过点作于，延长交于，则，如图：
四边形为矩形，
，，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即：，
解得：，
，
，
，
故答案为：．
17．，．
【分析】根据方程特点，先将方程变形为，则利用配方法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，即，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．
18．见解析
【分析】由菱形的性质可得AB=AD，∠B=∠D，由“AAS”可证△ABE≌△ADF，可得BE=DF．
【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△ABE≌△ADF是解题的关键．
19．教学大楼的高度是米
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据，，得出，进而得出，即可求解．
【详解】解：∵由题意得，，，
∴，
∴，即，
解得：，
答：教学大楼的高度是米．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了列表法与树状图，解题的关键在于用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，根据：概率=所求情况数与总情况数之比计算是基础；
（1）根据概率公式计算即可；
（2）列表格计算即可；
【详解】（1）解：从北校区随机抽取一人是女生的概率；
（2）解：列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，其中抽取的两位反诈知识宣传负责人恰好是一男一女的有5种结果，所以抽取的两位反诈知识宣传负责人恰好是一男一女的概率为．
21．(1)是
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．
（1）由旋转可得，，又在正方形中，，从而，因此满足，，，故四边形是“直等补”四边形；
（2）由四边形是“直等补”四边形，，，可得，，从而，又，，证得四边形是矩形，有，，利用“”证明，从而， 进而证得．
【详解】（1）∵将绕B点旋转，使与重合，此时点F的对应点E在的延长线上，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是
（2）∵四边形是“直等补”四边形，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
(2)应将每件的售价定为12元，
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列式是解题关键．
（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为a，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案；
（2）设每件吉祥物挂坠降价x元，根据题意列一元二次方程求解，即可得到答案；
【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为a，
由题意得，，
解得：，（舍），
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设每件吉祥物挂坠降价x元，则每件的销售利润为元，
由题意得，，
整理得：，
解得：，（舍），
元，
答：应将每件的售价定为12元．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握三角形和四边形的相关知识并能灵活运用是解题的关键；
（1）根据作法得出再根据菱形的判定方法即可得出结论；
（2）先证明，再通过证明即可得到结论；
（3）根据题意运用尺规作图即可；
【详解】（1）证明：由作图可得，
∴四边形是菱形；
（2）由（1）得
，
．
由作图可知：，
∴，
．
∴，
，
，
∴，
，即，
（3）如图，任意作一条射线，截取，连接，
分别作，即可得出线段的三等分点、，
∴点N点G是所求作的．
24．(1)
(2)
(3)该直角三角形的面积为30或24
【分析】该题主要考查了一元二次方程的根判别式“”，根与系数关系“”，一次函数的性质，直角三角形的性质，勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”等知识点，解题的关键是分类谈论思想的运用；
（1）将代入方程得出方程，再根据根与系数关系得到，将转化即可求解；
（2）根据点在函数图像上，得出，再根据根与系数关系得到，根据即可求解；
（3）根据直角三角形两直角边为整数，得出，令(为正整数)，得出，又，然后分三种情况取值即可解答；
【详解】（1）当时，方程为，
，
，
即；
（2）将代入可得，
又，
故，
，
即，，
，
，
，
；
（3）∵直角三角形两直角边为整数，
为平方数，
不妨令(为正整数)，
，
，
，
当①∴，
解得（不合题意舍去）；
当②，
解得，
∴方程，
，则斜边为13，
即；
当③，
解得，
∴方程，
，则斜边为10，
即，
综上所述：该直角三角形的面积为30或24．
25．(1)见解析
(2)
(3)是定值，定值为50
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，，进而得出，，即可求证；
（2）法一：过点A作于F，根据勾股定理求出，
用等面积法得出，则，再根据勾股定理得出，再根据三线合一得出， 最后根据，即可求解； 法二：过点A作于F，通过证明，得出，则； 最后根据三线合一，即可得出；
（3）设和相交于点G，和相交于点H，通过证明，得出 即可解答．
【详解】（1）证明：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，，
即，，
∴；
（2）解：法一：如图，过点A作于F，
∵，，，
∴，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，即
∴；
法二：如图，过点A作于F，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴即
∴；
∵，
∴．
（3）解：如图，设和相交于点G，和相交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴
∴是定值，定值为50．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例，等腰三角形三线合一，旋转前后对应边和对应角相等，直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
男
男
女
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
女
（男，女）
（男，女）
（女，女）
男
（男，男）
（男，男）
（女，男）