福建省莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份福建省莆田市荔城区黄石镇沙堤初级中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．剪纸是中国的传统文化之一，剪纸图案中一般蕴含着对称美，下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．购买1张彩票，中奖
B．同旁内角互补
C．打开电视，正在播放《动物世界》
D．3个人分成两组，一定有2个人分在一组
3．如图，在⊙O，点A、B、C在⊙O上，若∠OAB＝54°，则∠C( )
A．54°B．27°C．36°D．46°
4．方程的两个根为x1，x2，则等于（ ）
A．1B．-1C．3D．-3
5．抛物线的图象与坐标轴交点的个数是（ ）
A．没有交点B．只有一个交点
C．有且只有两个交点D．有且只有三个交点
6．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为( )
A．B．
C．D．
7．如图，半径为2的是正六边形的外接圆，则边心距的长度为（ ）

A．1B．C．D．2
8．今年我市小春粮油再获丰收，全市产量预计由前年的万吨提升到万吨，设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，连接，若，则的大小为（ ）

A．B．C．D．
10．二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则下列结论：①；②；③；④；⑤（m为实数）．正确的有（ ）个
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．已知一元二次方程有一个根为1，则的值为 ．
12．已知点与点关于原点对称，则的值是 ．
13．如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，与x轴的一个交点是，那么二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标是 ．

14．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝26°，则∠CAB＝ ．
15．一个圆锥的母线长为，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面半径r为 ．
16．如图，点是轴正半轴上一点，直线平行于轴，分别交抛物线与于两点，过点作轴的平行线交的图像于点，直线，交的图像于点，则 ．
三、解答题
17．解方程：
18．如图，已知，以为直径的半⊙交于，交于，，，求的度数．
19．如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为60m2，求道路的宽是多少米？
20．为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校准备开展“趣味运动会”比赛活动，比赛项目有：“两人三足”“春种秋收”、“穿越火线”“摸石过河”（分别用字母，，，依次表示这四个运动项目），将，，，这四个字母分别写在4张完全相同的不透明卡片的正面上，把这4张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．小艺和小文参加趣味比赛项目，比赛时小艺先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小文从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上内容进行趣味运动项目比赛．
(1)小文参加“穿越火线”的概率是___________；
(2)请用列表法或画树状图法求小艺和小文参加的比赛项目不相同的概率．
21．已知关于x的一元二次方程
(1)求证：该方程总有两个实数根．
(2)若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
22．如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点．

(1)求证：是的切线；
(2)当，且时，求的半径．
23．某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．关于销售单价、日销售量的几组对应值如下表：
（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价－成本单价））
(1)求y关于x的函数解析式及m的值．
(2)该产品的成本单价是80元，当日销售利润达到1875元时，为了让利给顾客，减少库存，求产品销售单价应定为多少元？
24．如图，在中，，点P为内一点，连接，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为_______；
②若M为的中点，连接，依题意补全图形，用等式表示与的数量关系，并证明．
25．如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（-1，0）、B（4，5）两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段EF的最大值；
(3)抛物线与x轴的另一个交点为点C，在抛物线上，x轴上方是否存在一个动点P，使得S△ACP=S△ABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断．
【详解】解：A．即是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．D
【分析】本题考查了事件的分类，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念逐一判断即可求解，熟练掌握随机事件的定义是解题的关键．
【详解】解：A、购买1张彩票，中奖是随机事件，故不符合题意；
B、同旁内角互补是随机事件，故不符合题意；
C、打开电视，正在播放《动物世界》是随机事件，故不符合题意；
D、3个人分成两组，一定有2个人分在一组是必然事件，故符合题意；
故选D．
3．C
【分析】先利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOB的度数，然后利用圆周角解答即可.
【详解】解：∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝54°，
∴∠AOB＝180°﹣54°﹣54°＝72°，
∴∠ACB＝∠AOB＝36°．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理和圆周角定理,其中发现并正确利用圆周角定理是解题的关键.
4．A
【分析】根据根与系数关系直接而计算即可．
【详解】解：∵的两个根为x1，x2，
∴=．
故选：A
【点睛】本题主要考查根与系数关系，牢记公式是解题的关键．
5．B
【详解】试题分析：令，转化为一元二次方程，根据根的判别式来判断方程是否有根，即可判断图象与x轴的交点个数，再令，即可判断图象与y轴的交点情况，从而得到结果．
令，得，
，
∴方程无解，即抛物线的图象与x轴没有交点，
令，则，即抛物线的图象与y轴的交点坐标为（0，-1），
综上，抛物线的图象与坐标轴交点的个数是一个，
故选B.
考点：本题考查的是抛物线与x轴的交点
点评：解答本题的关键是熟练掌握当二次函数与x轴有两个交点时，b2-4ac＞0，与x轴有一个交点时，b2-4ac=0，与x轴没有交点时，b2-4ac＜0．
6．D
【分析】根据函数图象平移规律，可得答案．
【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为，即，
故选：D．
【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．B
【分析】如图所示，连接，求出，进而证明是等边三角形，得到，求出，即可利用勾股定理求出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
由题意得，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选B．

【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质与判断，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
8．B
【分析】本题可根据题意列出去年的粮油产量，去年的粮油产量为：45（1+x），则今年的粮油产量为：45（1+x）（1+x），令其等于50即可．
【详解】依题意得：去年的粮油产量为：45(1+x)
则今年的粮油产量为：45(1+x)(1+x)=；
故选:B.
【点睛】考查由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键.
9．D
【分析】依题意，由旋转性质知道，，旋转角为，即，那么，设，结合，得，再根据三角形内角和，即可作答．
【详解】解：∵将钝角绕点A按逆时针方向旋转，得到，
∴，，旋转角为，
即，
∴，
设，
∵，
∴，
即，
在中，，
那么，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转性质，三角形内角和，等边对等角等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
10．D
【分析】根据二次函数的图象的开口方向判断a的正负性，与y轴的交点位置判断c的正负性，根据对称轴的位置判断b的正负性，从而可判断①；观察函数图象，取和时，判断对应的函数值正负性，即可判断②，③；根据对称轴得出，代入②中即可判断④；根据函数在时，取得最小值，得出，即可判断⑤．
【详解】解：由图象可知：，，
由对称轴可知：，
∴，
∴，
故①正确；
由图象知：当时，，
即，
故②正确；
由图象知：当时，，
即，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，即，
故④正确；
函数在时，取得最小值，（m为一切实数），
即（m为一切实数），
故（m为一切实数），
故⑤正确；
故正确的有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练运用二次函数图象与性质，本题属于中等题型．
11．2
【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义，把把代入方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可．
【详解】解：一元二次方程有一个根为1，
把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
12．1
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出的值，进而得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
13．
【分析】根据抛物线是轴对称图形的对称性可求解．
【详解】解：设二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标为（x，0）
根据题意得，
解得，
∴二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标（-1，0）
故答案为（-1，0）．
【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点，运用对答性求解是解答本题的关键．
14．32°##32度
【分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO=90°，则利用互余计算出∠POC=64°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算即可求解．
【详解】解：连接OC，如图
因为PC为切线，
∴ OC⊥PC，
∴∠PCO = 90°
∴∠POC= 90°-∠P= 90°- 26°= 64°
OA= OC，
∴∠A=∠OCA，
而∠POC=∠A +∠OCA，
∠A=°=32°
故答案为：32°
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，一般要连接过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
15．3
【分析】根据圆锥的展开图是扇形，母线长为扇形的半径，底面周长是扇形的弧长，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：根据题意，底面周长为，
由得，
故答案为：3．
【点睛】本题考查圆锥的展开图、扇形的弧长公式，熟记弧长公式是解答的关键．
16．##
【分析】设再分别求解 从而可得答案.
【详解】解：设



轴，

，
则



故答案为：
【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，坐标与图形，熟练的应用函数图象上点的坐标满足函数的解析式建立方程是解本题的关键.
17．
【分析】根据配方法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴
即
∴
解得：
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．
【分析】先证明为的中位线，则证明再求解证明再利用三角形的内角和定理及平角的定义，从而可得答案.
【详解】解： ，
为的中位线，










【点睛】本题考查的是圆的基本性质，三角形中位线的定义与性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，熟练的运用以上知识解题是关键.
19．2m．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的部分是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
【详解】解：设道路的宽应为x米，剩余部分拼成一个长方形，长和宽分别为（12﹣x）米、（8﹣x）米，
由题意得，（12﹣x）（8﹣x）＝60．
解得x＝2或x＝18（舍去）．
答：道路的宽应设计为2m．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
20．(1)
(2)，见解析
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有16种等可能性结果，再找出两人参加的比赛项目不相同的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）小文参加“穿越火线”的概率是，
故答案为：
（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：
共有16种等可能出现的结果，其中两人参加的比赛项目不相同的有12种，
两人参加的比赛项目不相同的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出事件的概率．
21．(1)证明见解析
(2)0或6
【分析】（1）由，可知，，，根据，证明即可；
（2）由，可得，，由该方程两个实数根的差为3，可得，即，，计算求解即可．
【详解】（1）证明：，
，，，
∴，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，，
∵该方程两个实数根的差为3，
∴，
∵，
∴，
解得或，
∴m的值为0或6．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到与平行，利用两直线平行同位角相等得到，都为直角，可得出垂直于，即可得到与圆相切；
（2）由于，设，用表示，、、、，在中，根据勾股定理得：，由此建立方程模型即可求解．
【详解】（1）证明：连接，

，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
（2）解：，
设，
则，
，
，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
半径为3．
【点睛】此题考查了切线的判定，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
23．(1)，
(2)95元
【分析】（1）根据表格中的数据，可知y与x是一次函数关系，从而可以求得y与x的函数关系式，并求得m的值；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式可以得到相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：设y关于x的函数解析式为，
将，代入，得，解得，
即y关于x的函数解析式为．
当时，，即；
（2）解：依题意，得，
解得，．
∵要让利给顾客，减少库存，
∴产品销售单价应定为95元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程在实际问题中的应用，其中一元二次方程的求解，选用因式分解法相对简单些．
24．(1)
(2)
【分析】（1）利用 证明 , 即可得出答案;
（2） ①由三角形内角和定理知 ，再利用角度之间的转化和等量代换可得 ，即可解答；
② 延长 到 ，使 ，连接 、， 得出四边形 为平行四边形，则 且 ， 再利用 证明 ，得 ，即可解答；
【详解】（1），
证明： ∵，
∴，
∵将线段绕点C顺时针旋转 得到 ，
（2）①当 时，
则 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
又 ∵，
∴；
故答案为；
②，理由如下：
延长 到 ，使 ，连接 、，

∵ 为 的中点，
∴，
∴四边形 为平行四边形，
∴ 且 ，
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质， 全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键
25．(1)y=x2-2x-3
(2)
(3)点P的坐标为（1-，2）或（1+，2）或（1-，-2）或（1+，-2）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先设出点F的坐标，然后表示出点E的坐标，再表示出EF的长度，根据二次函数的性质即可确定EF的最大值；
（3）先求出点C的坐标，然后求出三角形ABC的面积，设出点P的坐标，用含点P的坐标的式子表示出三角形ACP的面积，列出关于方程，即可求出点P的坐标．
【详解】（1）把A（-1，0）、B（4，5）代入y=x2+bx+c，得：
解得：
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）设F（x，x2-2x-3）（-1＜x＜4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，代入点A（-1，0）、B（4，5），得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
∵EF∥y轴，
∴E（x，x+1），
∴EF=x+1-（x2-2x-3）=-x2+3x+4=
当时，EF取得最大值为；
（3）存在，
取y=0，则x2-2x-3=0，
解得x=-1或x=3，
∴C（3，0），
∴
∴
设P（m，m2-2m-3），
则
解得m=1-或m=1+或m=1-或m=1+，
当m=1-或m=1+时，y=2，
当m=1-或m=1+时，y=-2，
∴点P的坐标为（1-，2）或（1+，2）或（1-，-2）或（1+，-2）．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，会根据解析式确定抛物线和坐标轴的交点，对于动点问题，一般是先设出动点的坐标，再列出关于动点坐标的方程，然后解方程．
销售单价x/元
85
95
105
115
日销售量y/个
175
125
75
m
小艺
小文