广东省江门市第一实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份广东省江门市第一实验学校2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列事件为必然事件的是（ ）
A．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯B．明天一定会下雨
C．抛出的篮球会下落D．任意买一张电影票，座位号是2
3．下列方程中一定是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
4．反比例函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一、四象限D．第二、三象限
5．下列运动是属于旋转的是( )
A．滚动过程中的篮球的滚动；B．钟表的钟摆的摆动；
C．气球升空的运动；D．一个图形沿某直线对折过程
6．一个不透明的盒子中装有6个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．抛物线 与y轴的交点纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．若x=5是方程的一个根，则m的值是（ ）
A．-5B．5C．10D．-10
9．如图，点A、B、C、D在⊙O上，，点B是的中点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
10．如图为二次函数的图象，在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而减小；⑤；⑥．下列结论一定成立的是（ ）

A．①②④⑥B．①②③⑥C．②③④⑤⑥D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若方程的两根分别是，则等于 ．
12．把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线 ．
13．已知点A的坐标为，则点A关于原点对称的点的坐标为
14．在一个不透明的箱子里装有红色、蓝色、黄色的球共个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，小明通过多次摸球实验后发现摸到红色、黄色球的频率分别稳定在和，则箱子里蓝色球的个数很可能是 个．
15．如图，在菱形中，是对角线，，⊙O与边相切于点，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（一）（每小题8分，共24分）
16．选择适当的方法解下列方程
(1)
(2)
17．已知y与成反比例，且当时，．
(1)求y关于x的函数解析式；
(2)当时，求y的值．
18．“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标．
（1）如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；
（2）按照（1）中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他们的目标能否实现．
四、解答题（二）（每小题9分，共27分）
19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，BC＝1，AC＝．
（1）以点 B 为旋转中心，将△ABC 沿逆时针方向旋转 90°得到△A′BC′，请画出变换后的图形；
（2）求点 A 和点 A′之间的距离．
20．为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数是 人；
（2）图2中α是 度，并将图1条形统计图补充完整；
（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 人；
（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．
21．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，于点F，连接OF，且．
（1）求证：DF是的切线；
（2）求线段OF的长度．
五、解答题（三）（每小题12分，共24分）
22．已知抛物线经过点和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标；
(3)求的面积．
23．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴相交于点B．
(1)n的值为 ，k的值为 ；
(2)根据反比例函数的图象，当时，请直接写出自变量的取值范围．
(3)以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限，求点D的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查必然事件的判定，必然事件就是事先肯定它一定会发生的事件据此判断即可，
【详解】解：A. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，可能发生可能不发生，不是必然事件；
B. 明天一定会下雨，可能发生可能不发生，不是必然事件；
C. 抛出的篮球会下落，一定会发生，是必然事件；
D.任意买一张电影票，座位号是2，可能发生可能不发生，不是必然事件．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义“等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程”依次进行判断即可．
【详解】解：A. 不是整式方程，不是一元二次方程，故A不符合题意；
B. 是一元二次方程，故B符合题意；
C. 化简后为，最高次数是1，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D. 含有两个未知数，不是一元二次方程，故D不符合题意．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限．
【详解】解：∵，
∴反比例函数图象位于第一、三象限，
故选：A．
5．B
【详解】试题分析：根据旋转变换的概念，对选项进行分析，排除错误答案．A、滚动过程中的篮球属于滚动，不是绕着某一个固定的点转动，不属旋转；B、钟表的钟摆的摆动，符合旋转变换的定义，属于旋转；C、气球升空的运动是平移，不属于旋转；D、一个图形沿某直线对折的过程是轴对称，不属于旋转．
故选B．
考点：生活中的旋转现象．
6．D
【分析】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．本题先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：总的球数为：个，
所以从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为：，
故选：D．
7．C
【分析】令，直接求出抛物线与y轴的交点纵坐标．
【详解】解：当时，，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点，掌握y轴上点的坐标特点是解题的关键．
8．D
【分析】先把x=5代入方程得到关于m的方程，然后解此方程即可．
【详解】解：把x=5代入方程得到25-3×5+m=0，
解得：m=-10．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是了解方程解的含义.
9．A
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝∠AOC，再根据圆周角定理解答．
【详解】连接OB，
∵点B是的中点，
∴∠AOB＝∠AOC＝60°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOB＝30°，
故选：A．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
10．B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】解：①由图象可得，，
，故①正确，
②与轴的交点是，
∴方程的根是，故②正确，
③当时，，故③正确，
④∵该抛物线的对称轴是直线
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
⑤则,那么，故⑤错误，
⑥∵抛物线与x轴两个交点，
∴，故⑥正确，
正确的为. ①②③⑥
故选：B．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，，据此代数计算，即可作答．
【详解】解：∵方程的两根分别是，
∴
故答案为：
12．
【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向下平移3个单位所得直线解析式为：-3；
即：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，掌握函数图象平移的法则是解题的关键．
13．
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，利用平面内两点关于原点对称，横坐标与纵坐标都互为相反数即可求得．
【详解】解：∵点A的坐标是，
∴它关于原点对称的点的坐标是
故答案为：．
14．
【分析】利用频率估计概率，可得到摸到红色、黄色球的概率为和，则摸到蓝球的概率为，然后根据概率公式可计算出口袋中蓝色球的个数．
【详解】解：根据题意得摸到红色、黄色球的概率为和，
∴摸到蓝色球的概率为，
∵（个），
∴可估计袋中蓝色球的个数为个．
故答案为．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
15．
【分析】连接OD，先求出等边三角形OAB的面积，再求出扇形的面积，即可求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接OD，
∵AB是切线，则OD⊥AB，
在菱形中，
∴，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠A=60°，
∴OD=，
∴，
∴扇形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是正确求出等边三角形的面积和扇形的面积．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程．
（1）利用公式法求解即可；
（2）移项后运用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
即，
故该方程的解为：．
（2）解：移项得：，
即，
即或，
解得．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式．
（1）中需根据题意正确得出．
（2）中只需把值代入即可．
【详解】（1）解：∵y与成反比例，
∴设，
将时，代入得，
，解得，
∴．
（2）解：将代入得．
18．（1）20%；（2）能
【分析】（1）设亩产量的平均增长率为x，依题意列出关于x的一元二次方程，求解即可；
（2）根据（1）求出的平均增长率计算第四阶段亩产量即可．
【详解】解：（1）设亩产量的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：亩产量的平均增长率为20%．
（2）第四阶段的亩产量为（公斤），
∵，
∴他们的目标可以实现．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握2次变化的关系式是解决本题的关键．
19．（1）图形见解析（2）
【分析】（1）在BA上截取BC′=BC，延长CB到A′使BA′=BA，然后连结A′C′，则△A′BC′满足条件；
（2）先利用勾股定理计算出AB=2，再利用旋转的性质得BA=BA′，∠ABA′=90°，然后根据等腰直角三角形的性质计算AA′的长即可．
【详解】解：（1）如图，△A′BC′为所作；
（2）∵∠ABC=90°，BC=1，AC=，
∴AB==2，
∵△ABC沿逆时针方向旋转90°得到△A′BC′，
∴BA=BA′，∠ABA′=90°，
∴△ABA′为等腰直角三角形，
∴AA′=AB=．
考点：作图-旋转变换．
20．（1）40；（2）54，补图见解析；（3）330；（4）.
【分析】（1）根据由自主学习的时间是1小时的人数占30%，可求得本次调查的学生人数；
（2），由自主学习的时间是0.5小时的人数为40×35%=14；
（3）求出这40名学生自主学习时间不少于1.5小时的百分比乘以600即可；
（4）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小亮A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，
∴12÷30%=40，
故答案为40；
（2），故答案为54；
自主学习的时间是0.5小时的人数为40×35%=14；
补充图形如图：
（3）600×=330；
故答案为330；
（4）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种可能，
∴P（A）=．
21．（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接OD，先说明是等边三角形得到，说明，进而得到即可证明；
（2）根据三角形中位线的判定与性质、直角三角形的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：连接OD
∵是等边三角形
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴OD//AB
∵
∴
∴
∴DF是的切线；
（2）∵OD//AB，
∴OD为的中位线
∴
∵，
∴
∴
由勾股定理，得：
∴在中，．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的证明、三角形中位线的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
22．(1)
(2)点，点
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合．
（1）将点和点代入即可求出解析式；
（2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标；
（3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可．
【详解】（1）解：把点和点代入得
解得，
所以抛物线的解析式为：．
（2）把代入，
得，
解得，
∵点A在点B的左边，
∴点，点．
（3）解：连接，
由题意得，
23．(1)3， 12
(2)时，的取值范围为或
(3)
【分析】（1）把点代入一次函数，得到n的值为3；再把点代入反比例函数，得到k的值为12；
（2）根据反比例函数的性质即可得到当时，结合图形可求得自变量x的取值范围．
（3）根据坐标轴上点的坐标特征可得点B的坐标为，过点A作轴，垂足为E，根据勾股定理得到，根据菱形的性质可得点D的坐标；
【详解】（1）把代入，
解得，
∴，
将代入，
解得，
∴
故答案为：3， 12；
（2）令，可得，
解得，
∴当时，的取值范围为或．
（3）∵一次函数与x轴相交于点B，
∴，
解得，
∴点B的坐标为，
如图，过点A作轴，垂足为E，

，
，
，
在中，，
∵四边形是菱形，
∴，与x轴平行，
∴．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，熟练掌握知识点并能够运用数形结合的思想是解题的关键．