吉林省长春市二道区第五十三中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市二道区第五十三中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（ ）
A． B． C．D．
3．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天一定下雪B．抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯D．直角三角形的两个锐角互余
4．如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，点A的坐标为(1，0)，则E点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）

A． B．
C． D．
7．如图是一架人字梯，已知，两梯脚之间的距离米，AC与地面BC的夹角为，则人字梯AC长为（ ）
A．米B．米C．米D．米
8．如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数（）的图象上，点B在反比例函数（）的图象上，则k的值是（ ）
A．﹣2B．﹣C．﹣1D．2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
9．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根，则m的值为 ．
10．一只蚂蚁在如图所示的方格地板上随机爬行，每个小方格形状大小完全相同，当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为 ．
11．若是整数，则正整数n的最小值为 ．
12．如图，河坝横断面迎水坡的坡比是(坡比是坡面的铅直高度与水平宽度之比)，坝高米，则坡面的长度是 米．
13．如图，在平面直角坐标系中，顶点、分别在第一象限和轴正半轴上，点为边上一点，过点作交于点．若、两点纵坐标分别为、，且，则点的纵坐标为 ．
14．如图所示，在中，，是斜边上的中线，分别为的中点，若，则 ．
三、解答题
15．（1）解方程：．
（2）计算：．
16．小慧用因式分解法解一元二次方程时，她的做法如下：
方程两边同时除以，得，第一步
系数化为，得第二步
(1)小慧的解法是不正确的，她从第______步开始出现了错误．
(2)请用小慧的方法完成这个题的解题过程．
17．2023年第19届亚运会的吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”．如图，现有三张正面印有这三种吉祥物的不透明的卡片，依次记为A、B、C，这三张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，小亮从中随机抽取一张，记下图案后背面向上放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的概率．
18．实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简．
19．以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
(1)在图①中，点为的边的中点，在边上找一点，连接，使的面积为面积的．
(2)在图②中，的面积为______．
(3)在图②中，在的边上找一点，连接，使的面积为．
20．长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图①是大桥的实物图，图②是大桥的示意图．假设你站在桥上点处测得拉索与水平桥面的夹角是，点处距离大桥立柱底端的距离为米，已知大桥立柱上点距立柱顶端点的距离为米，求大桥立柱的高．（结果精确到米）参考数据：，，

21．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存商场决定采取适当的降价措施经调查发现，每件商品降价1元，商场平均每天可多售出2件，设每件商品降价x元，据此规律，请回答：
(1)商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）
(2)在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？
(3)商场能否平均每天盈利2300元？如能，请求出每件商品降价多少元，若不能，请说明理由．
22．如图，在矩形中，E为边上一点，将点C沿翻折恰好落到边上的点F处．

(1)求证：；
(2)若，，则______．
23．【命题】在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【证明】如图，在中，，．求证：．
方法一：如图，作斜边上的中线，则．
，
．
是______三角形．
．
方法二：如图，作点关于的对称点，连接．
，，
．
是等边三角形．
______．
．
(1)阅读上面两种不完整的证明方法后，请补全证明过程．
(2)【应用】如图，在中，，，且点是边上一点．
①若，点到边的距离为______．
②若，求点到边的距离．
(3)【延伸】如图，在中，，，点是边上一点，连接．若，直接写出的最小值．
24．如图，在中，，，，动点P从点A出发，沿以每秒5个单位长度的速度向终点C匀速运动，设点P的运动时间为t秒（），过点P作的垂线交于点M．
（1）________．
（2）求的长，（用含有t的代数式表示）
（3）若将点P绕点M逆时针旋转于点N．
①求的长（用含t的代数式表示）
②在点P运动的同时，作点B关于点N的对称点Q，连结．当为等腰三角形时，直接写出t的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
【详解】解：A. = ，故不是最简二次根式；
B. ，是最简二次根式；
C. = ，故不是最简二次根式；
D. ，故不是最简二次根式
故选B.
【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
2．B
【分析】根据表中的对应值得到当时，；当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．
【详解】解：由表中数据得当时，；
当时，；
所以方程的解为．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．D
【分析】根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】解：A.明天一定下雪，是随机事件，故A不符合题意；
B.抛掷一枚普通硬币，得到正面朝上，是随机事件，故B不符合题意；
C．经过有信号灯的路口，遇见绿灯，是随机事件，故C不符合题意；
D．直角三角形的两个锐角互余，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的定义，掌握定义是解题的关键．
4．C
【分析】在直角三角形BCD中,由BC=CD=2,利用锐角三角函数定义即可求出tanB的值.
【详解】
在Rt中, ,BC=CD=2,
.
故选：C
【点睛】此题考查了锐角三角函数定义,熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.
5．C
【分析】由题意可得OA：OD=1：，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【详解】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，
∴OA：OD=1：，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA=1，
∴OD=，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE=OD=．
∴E点的坐标为：（，）．
故选：C．
【点睛】此题考查了位似变换的性质与正方形的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
6．D
【分析】根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，故A不符合题意；
B、∵，
∴，故B不符合题意；
C、由图形可知，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
7．C
【分析】根据等腰三角形的性质，过点A作得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据等腰三角形的性质构造直角三角形是解题的关键．
8．A
【分析】作轴，轴于点C，D可得，根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：作轴，轴于点C，D，
∴
又
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数与图形的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的性质．
9．-1
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有两个相等的实数根可知△=0，求出m的取值即可．
【详解】解：由已知得△=0，即4+4m=0，解得m=-1．
故答案为-1.
【点睛】本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
10．
【详解】分析：首先确定阴影的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出蚂蚁停在阴影部分的概率．
详解：∵正方形被等分成9份，其中阴影方格占4份，
∴当蚂蚁停下时，停在地板中阴影部分的概率为，
故答案为．
点睛：此题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
11．7
【分析】根据题意可得是完全平方数，即可求解．
【详解】解∶∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴，
即正整数n的最小值为7．
故答案为：7
【点睛】主要考查了算术平方根，解题的关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．
12．
【分析】根据坡度和坡角的关系求出，根据含角的直角三角形的性质计算，得到答案．
【详解】解：迎水坡的坡比是，
，
，
米．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度和坡角的关系是解题的关键．
13．
【分析】由点在轴上，且可得轴，所以，由，得，由，得，则，所以点的纵坐标为．
【详解】解：点在轴上，且，
轴，
、两点纵坐标分别为、，
，
，
，
轴，
，
，
，
点的纵坐标为，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明∽是解题的关键．
14．4
【分析】根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形的性质求出．
【详解】解：∵分别为的中点，
∴，
∵，是斜边上的中线，
∴，
故答案为4．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．（1）；（2）
【分析】题目主要考查解一元二次方程及特殊角的三角函数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）利用公式法解方程即可；
（2）先将特殊角的三角函数之代入，然后计算加减法即可．
【详解】解：（1）
，
，
∴，
∴；
（2）
．
16．(1)一
(2)，
【分析】（1）当时，0不能做除数，不能将方程两边同时除以，可知小慧解法第一步出现错误．
（2）先移项变成，再因式分解为，可得答案．
【详解】（1）解： 可以为，而0不能做除数，所以方程两边除以不符合方程的同解原理；
小慧的解法是不正确的，她从第一步开始出现了错误；
故答案为：一
（2）解：正确解法为：先移项，然后利用因式分解法解方程；
，
，
，
或，
所以，
【点睛】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
17．
【分析】画出树状图，共有9个等可能的结果，小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的结果是1个，再根据概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：
共有9个等可能的结果，小亮两次抽到的卡片图案上都是莲莲的结果是1个，
∴．
【点睛】此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．
【分析】首先判断出a＜0，b＞0，a-b＜0，再化简即可；
【详解】解：由数轴知，，且．
∴．
．
【点睛】本题主要考查绝对值的定义，算术平方根的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
19．(1)见解析
(2)4
(3)见解析
【分析】（1）作出的中点，连接即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）取格点，，连接交于点，连接即可．
【详解】（1）解：如图①中，点即为所求；
；
（2）解：的面积．
故答案为：．
（3）解：如图②中，点即为所求．
．
【点睛】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
20．大桥立柱的高约为米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题．在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后再根据，进行计算即可解答．
【详解】解：在中，，米，
∴（米），
∵米，
∴（米），
∴大桥立柱的高约为米．
21．(1)2x；
(2)20
(3)不能，理由见详解
【分析】（1）每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50-x）元；
（2）根据（1）得，单件利润乘以销售量等于利润，得：，解方程选取较大值即可；
（3）先根据题意建立方程，判断方程的实数根的情况即可得到答案．
【详解】（1）解：当每件商品降价x元，
由题意得商场日销售量增加2x件，
每件商品盈利为元，
故答案为：2x，；
（2）根据题意得商场的日盈利等于，
当时，
得，
∴，
∴，
∵为了尽快减少库存，
∴每件商品应降价20；
（3）由题意得当商场每天盈利2300时，得，
∴，
∵，
∴方程没有实数根，
∴商场每天盈利不能达到2300元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立方程，再解一元二次方程并根据题目要求对方程的解进行取舍．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据矩形的性质的，根据翻折的性质得出，根据同角的余角互余得出，即可证明；
（2）可设，，则，根据翻折可得，，由相似三角形的性质可得，代入数据求解即可．
【详解】（1）解：在矩形中，，
根据翻折可得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
可设，，
∵，
∴，
根据翻折可得，，
∵，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
23．(1)证明过程见解析，等边，
(2)①，②
(3)，3
【分析】（1）方法一：如图，根据直角三角形的性质即可得到结论；方法二：如图，根据直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）①过作于，根据“命题”中所给结论可得，；②根据勾股定理求出的长度，过作于，根据“命题”中所给结论可得；
（3）作点关于直线的对称点，过作于，交于，则可得其最小值为，即可求解．
【详解】（1）解：如图，在中，求证：．
方法一：如图，作斜边上的中线，则．
，
．
是等边三角形．
．
方法二：如图，作点关于的对称点，连接．
，
．
是等边三角形．
．
，
故答案为：等边，；
（2）解：①如图，在中，，
，
过作于，

，
，
，
故点到边的距离为，
故答案为：；
②如图①，在中，，
，
，
过作于，

，
，
，
，
，
故点到边的距离为；
（3）解：如图，作点关于直线的对称点，过作于，交于，

则的最小值为，
，
，
，
，
，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查了对“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的理解，解题的关键是正确理解题意，作出辅助线求解．
24．（1）8；（2）PM=3t；（3）①当时，BN =10-7t；当时，BN= 7t-10；②t=或
【分析】（1）利用勾股定理求出答案；
（2）证明△AMP∽△ACB，即可求出答案；
（3）①利用勾股定理求出AM，结合旋转的性质求出BN的长；
②根据等腰三角形两边相等分三种情况，构建线段的方程解答．
【详解】解：（1）在中，，，，
∴,
故答案为：8；
（2）由题意得AP=5t，
∵PM⊥，
∴，
∵∠A=∠A，
∴△AMP∽△ACB，
∴，
∴，
∴PM=3t；
（3）①∵点P绕点M逆时针旋转于点N，，
∴点N在射线AB上，
∵，AP=5t，PM=3t，
∴，
∴AN=AM+MN=AM+MP=4t+3t=7t，
∴当时，BN=AB-AN=10-7t；
当时，BN=AN-AB=7t-10；
②能，分三种情况：
当AQ=PQ时，
∵PQ=，，
又∵，，
∴ ，
解得t=0（舍去）或t=；
当AP=AQ时，
∵，，AQ+BQ=AB=10，
∴，
解得；
当AP=PQ时，
∵，，AB+BQ=AQ，
∴，
解得，
∵，
∴舍去；
综上，当为等腰三角形时， t=或．
【点睛】此题考查勾股定理，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的定义，旋转的性质，解题中注意分类思想解决问题的运用，正确掌握各知识点并综合运用解决问题是解题的关键．
x
……
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
……
……
12
6
2
0
0
2
6
12
……