辽宁省沈阳市皇姑区第四十三中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份辽宁省沈阳市皇姑区第四十三中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的．每小题2分，共20分）
1．下列三角函数的值是的是（ ）
A． B． C． D．
2．要制作一个“爱我中华”的展板，如图所示，用板制作的“中”字的俯视图是（ ）

A． B． C． D．
3．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，若，，这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
5．如图，为中边上一点，则添加下列条件不能判定的是（ ）

A．B．
C．D．
6．如图，直线交于点O，．若，，．则的值为（ ）．
A．B．C．D．
7．如图，与是位似图形，点是位似中心，若，且的周长为1，则的周长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）米．

A．B．C．D．
9．抛物线过点，则一元二次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（每题3分，共18分）
11．已知，那么的值为 ．
12．已知点是线段的黄金分割点且线段，则线段 ．
13．在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.4左右，则袋子中红球的大约有 个．
14．如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是 ．
15．将一对直角三角板如图放置，点在同一直线上，，点B在上，，若，则的长度是 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，，点E为BC边上一点，点F为AC延长线上一点，连接AE，EF，若，，，则平行四边形的面积为 ．
三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分）
17．（1）计算：
（2）解方程：．
18．某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如下图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
学生平均每天阅读时长情况扇形统计图

根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了______名学生，统计表中______．
(2)求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数．
(3)若全校共有名学生，请估计平均每天阅读时长为“”的学生人数，
(4)该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片，，，标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
19．如图，在中，，D为中点，，，交于点F，连接．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，，直接写出矩形对角线的长．
四、（每小题8分，共16分）
20．某电子器件厂生产一种电脑显卡，2021年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2022年，2023年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2023年该电脑显卡的出厂价调整为162元/件．
(1)这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率．
(2)2023年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了尽快减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出2个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？
21．小丽家饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小丽在通电开机后即外出散步，请你预测小丽散步70分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少℃？
五、（本题10分）
22．如图是某学校食堂的楼梯部分的示意图，上楼楼梯是由两段互相平行并且与地面成角的楼梯和一段水平天台构成，已知楼梯顶部B到地面的垂直高度为9.6米，与地面垂直的平台立柱的高度为6米，整个楼梯的水平跨度为16米．
(1)求楼梯的长度；
(2)求水平天台的长度（结果保留整数）．（参考数据：，，）
六、（本题10分）
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点D．
(1)求点D的坐标；
(2)将沿x轴向左平移，平移后点B的对应点为点E．点O的对应点为点F，点C的对应点为点G，当点F到达点A时，停止平移，设平移的距离为t
①如图2，当点G在直线上时，求的面积；
②当与四边形重合部分的面积为2时，请直接写出t的值．
七、（本题12分）
24．问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：
将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，其中．将和按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合（标记为点B）．当时，延长交于点G．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由；
(2)深入探究：老师将图2中的绕点B逆时针方向旋转，使点E落在内部；
①“善思小组”提出问题：如图3，当时，过点A作交的延长线于点M，与交于点N．试猜想线段和的数量关系，并加以证明．
②“智慧小组”提出问题：如图4，当时，过点A作于点H，若，求的长．
八、（本题12分）
25．如图，已知直线与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线经过点A，B．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为线段上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线于点M．设点P的横坐标为t．
①时，求点N的坐标．
②点C是直线上方抛物线上一点，当时，直接写出t的值．
③若点Q在平面内，当以Q，A，M，N为顶点的四边形是菱形时，直接写出点Q的纵坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值解答．
【详解】解：，，， ，
观察四个选项，选项A符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．C
【分析】从上往下看，得到俯视图即可．
【详解】解：由题意，俯视图为：

故选C．
【点睛】本题考查三视图．熟练掌握俯视图是从上往下看得到的，是解题的关键，注意存在看不见的线，用虚线表示．
3．B
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
4．B
【分析】根据特殊角的三角函数值求解．
【详解】解：在中，
，，
，，
，
故为直角三角形．
故选：B．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
5．D
【分析】利用相似三角形的判定逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、，，故A能判定，不符合题意；
B、，，故B能判定，不符合题意；
C、，，，，故C能判定，不符合题意；
D、，但不一定等于，D不能判定，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解此题的关键．
6．A
【分析】由线段的和差可得，再根据平行线等分线段定理可得即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴
∵，
∴．
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握两条直线被一组平行线（不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例是解答本题的关键．
7．C
【分析】本题考查了位似图形的性质；
根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴与的位似比是，
∵的周长为1，
∴的周长为3，
故选：C．
8．D
【分析】根据正弦的定义进行解答即可．
【详解】解：，
，
故选：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
9．A
【分析】由抛物线解析式知对称轴，与x轴交于点，设另一交点为，可求得．于是的解是．
【详解】解：抛物线的对称轴为，与x轴交于点，设另一交点为，
∴，得．
于是的解是；
故选：A
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的联系；理解函数与方程的联系是解题的关键．
10．B
【分析】①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
【详解】解：①∵函数图象开口向下
∴
又函数的对称轴在y轴右侧，
∴
∴
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴
即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．
11．3
【分析】利用比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12．
【分析】由黄金分割的定义求出的长，再由即可求解．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键．
13．8
【分析】根据红球的频率稳定在0.4左右，可知摸出红球的概率，由概率公式即可求得红球个数．
【详解】解：∵红球的频率稳定在0.4左右，
∴摸出红球的概率为0.4，
由概率公式得红球个数为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了用频率估计概率，概率公式等知识，属于基础题．关键掌握用频率估计概率．
14．
【分析】根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，画图如下，
竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，
设树的高为，
∵，在同一条直线上，
∴四边形是矩形，则，
∴，
∴，
∴，即，解得，，
∴树的高度为．
【点睛】本题主要考查投影的性质，相似三角形的性质，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的性质等知识是解题的关键．
15．##
【分析】过点B作于点M，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案．
【详解】解：过点B作于点M，
在中，，
，
，
，
，
在中，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的性质及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意利用所学的三角函数的关系进行解答．
16．
【分析】由得，过A作于H，过E作于G，设，则，由，，可证，进而得，即可解出x的值，在中，根据勾股定理可求得，最后根据平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
设，则，
，
，
和都是等腰三角形，
，
过A作于H，过E作于G，
则，
，
，
，
，即，
解得（舍去），
，
∴在中，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、平行四边形的面积公式、解分式方程等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质．
17．（1）12；（2），
【分析】本题考查实数的运算及解一元二次方程，熟练掌握运算法则及解方程的方法是解题的关键．
（1）利用特殊锐角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂，绝对值的性质计算各题即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原方程移项得，
因式分解得：，
解得：．
18．(1)100，30
(2)
(3)名
(4)
【分析】（1）将组的人数除以其百分比即可求出抽取的人数；将抽取的人数乘以组的百分比即可求出的值；
（2）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可求出扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数；
（3）将组的人数除以抽取的人数，再乘以即可估计平均每天阅读时长为“”的学生人数；
（4）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的结果，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
【详解】（1）解：∵组的人数为，占比为，且，
∴本次调查共抽取了名学生；
∵组占比，，
∴，
故答案为：，．
（2）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”有名，
且，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“”所对应的圆心角度数为．
（3）解：∵样本中平均每天阅读时长为“”的学生人数为人，
且（名），
∴估计平均每天阅读时长为“”的学生人数为名．
（4）解：《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片，，，标记，画树状图如下：

一共有种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即和《西游记》即有种可能的情况，
∴．
【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，用列表法和画树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取有用信息，掌握用列表法和画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
19．(1)证明过程见详解；
(2)3．
【分析】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
（1）由，得，而，则四边形是平行四边形，由，得，可证明，则四边形是矩形；
（2）由矩形的性质证明，因为，所以是等边三角形，则，所以，则矩形对角线的长为3．
【详解】（1）证明：∵D为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
，
，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵四边形是矩形，交于点F，
，且，
，
，，
是等边三角形，
，
，
∴矩形对角线的长为3．
20．(1)平均下降率为
(2)单价应降低15元
【分析】（1）设平均下降率为，依题意得：，求解即可；
（2）设单价应降低元，根据每个的销售利润×每天可售出数量得总利润列方程求解．
【详解】（1）解：设平均下降率为，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：平均下降率为；
（2）设单价应降低元，
则每个的销售利润为元，每天可售出个，
依题意得：，
解得：，，
∵为了减少库存，∴，
答：单价应降低15元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，正确理解增长率问题及销售问题的关系列得方程是解题的关键．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）利用待定系数法求反比例函数解析式，再将代入解析式，即可得的值；
（3）由题可知，饮水机的水温呈周期性变化，利用周期进行计算．
【详解】（1）解：当时，设．
将点，代入上式，
得，解得．
（2）解：当时，设，
将点代入上式，
得，解得，
，
将点代入，
得，解得．
（3）解：由题可知，开机分钟与开机分钟时饮水机的水温相等，
当时，．
小丽散步分钟回到家时，饮水机内的温度约为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求反比例函数解析式，根据自变量求函数值，解决本题的关键是熟练掌握待定系数法的应用．
22．(1)10
(2)3
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
（1）过点D作于F，根据正弦的定义求出；
（2）延长交于G，根据正切的定义分别求出，计算即可．
【详解】（1）
解：如图，过点D作于F，
则米，
在中，，米，
,
（米），
答：楼梯的长度约为10米；
（2）解；如图，延长交于G，
则米，（米），
在中，，
则（米），
在中，米，
则（米），
（米），
所以水平天台的长度约为3米，
故答案为：3．
23．(1)
(2)①；② 1或
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，已知一次函数求点的坐标及已知解析式及点在直线上求点的坐标等知识，考查了平移的相关知识，及不规则图形的面积问题．
（1）解方程，即可求D的坐标；
（2）①先求出O，B，C各点的坐标，然后根据点的平移t设G，F，E三点的坐标，根据点G在直线上求出G点坐标，利用面积公式可求出的面积；
②首先计算的面积，判断当点G在直线上时，E点的位置，及点F达到点A是，G点的位置．进而判断何时与四边形重合部分的面积为2，然后求解．
【详解】（1）解：∵直线与直线交于点D，
由，得
；
∴点D的坐标为；
（2）当时，，；
当时，，；
解得，；
点，），；
由平移的距离为t知，点，点，点；
①当点G在直线上时，得，解得；
∴点G坐标为；
，
；
②
当点G在直线上时，
，
O，E重合，完全在四边形内，
此时；即重合部分面积为；
此时，，
当时，与y轴交于M，
此时与四边形重合部分的为四边形，面积为2．
即，
；
，
，
；
即；
当时，与交于N，与交于Q，
此时与四边形重合部分的为四边形，面积为2
此时；
设直线解析式：；
把代入得，解得；
直线解析式：；
解方程得
；
∴点N坐标为；
把代入，得，，
，
解得或（舍去），
或．
24．(1)见解析
(2)①，证明见解析②的长为
【分析】（1）先证明四边形是矩形，再由可得，从而得四边形是正方形；
（2）①由已知可得，再由等积方法，再结合已知即可证明结论；②设的交点为M，过M作于G，则易得，点G是的中点；利用三角函数知识可求得的长，进而求得的长，利用相似三角形的性质即可求得结果．
【详解】（1）解：四边形为正方形．理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴矩形为正方形；
（2）①，理由如下：
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
由（1）得，
∴；
②解：如图：设的交点为M，过M作于G，
∵，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴点G是的中点；
由勾股定理得，
∴；
∵，
∴，即；
∴；
∵，
，
，
∴，
∴，
∴，即的长为．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识点，适当添加的辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
25．(1)抛物线的解析式为；
(2)①N；②点C的坐标为或；③点Q的纵坐标为：2或或
【分析】（1）利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，根据建立方程求出t的值即可得出结论；
②由①可得出，，由相似三角形的性质即可得出关于t的方程，解之即可得出x的值，进而可得出点C的坐标；
③若以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形，分，，，三种情况分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为；
当时，，
解得：，
∴点B的坐标为．
将A，B代入，得：，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为；
（2）解：①设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，
∴，，
∵，
∴，
解得或（舍），
∴N；
②当时，如图1．
设点P的坐标为，则点N的坐标为，点C的坐标为，点M的坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴或，
∴当时，点C的坐标为或；
③∵A，N，M，
∴，
，
，
若以Q、A、M、N为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形，需要分以下三种情况：
当时，，
解得（舍）或（舍）或，
∴A，N，M，
由菱形的性质可知，点Q的坐标为；
当时，，
解得（舍）或（舍）或，
此时，
由菱形的性质可知，Q，即Q；
当时，，
解得（舍）或，
此时，
由菱形的性质可知，Q，即Q；
综上，点Q的纵坐标为：2或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图像与性质，坐标系内两点间距离，解方程，菱形的性质．其中第（3）题对菱形存在性的讨论，将菱形的存在性转化为等腰三角形的存在性是解题关键．
平均每天阅读时长x/min
人数