云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县第一中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份云南省昆明市禄劝彝族苗族自治县第一中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

范围：第二十一章~第二十三章
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．下列运动属于数学上的旋转的是（ ）
A．乘坐升降电梯B．地球绕太阳转动
C．钟表上的时针运动D．将等腰三角形沿着底边上的高对折
2．下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．习近乎总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（）
A．B．C．D．
4．将一元二次方程化为一般形式后，其中一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，B．1，C．，0D．，0
5．二次函数的图象的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，将绕顶点A逆时针旋转，得到，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
7．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ）

A．，B．，C．，D．，
8．若a，b是方程的两个根，则（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线过点，两点，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线C：经过平移后得到抛物线：，若抛物线C上任意一点P的坐标是，则点P在抛物线上的对应点Q的坐标一定是（ ）
A．B．C．D．
11．现将一张照片【长14英寸，宽10英寸】贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同均为a英寸，如图所示．已知矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，则下列所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．二次函数的部分图象如图所示，图象的对称轴为直线，且经过点，以下结论：①；②；③；④（m为常数）．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ．
14．将一元二次方程配方为，则k的值是 ．
15．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 .
16．如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 米．（结果保留根号）
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．用适当的方法解下列方程：
(1)；
(2)．
18．在平面直角坐标系中，已知一抛物线的顶点坐标是，且该抛物线经过原点，求此抛物线的解析式．
19．请根据图片内容，回答下列问题：
(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？
(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？
20．如图，图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A，B，C均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
(1)在图①中，画出关于点C中心对称点的图形；
(2)在图②中，将绕点C逆时针旋转90°后得到，画出．
21．已知二次函数．
(1)求证：无论m取任何实数时，该函数图象与x轴总有两个交点；
(2)如果该函数的图象与x轴交点的横坐标均为负数，求m的最大整数值．
22．抖音直播购物逐渐走进了人们的生活，某果农在抖音平台上直播销售自家果园的苹果．已知苹果的成本价为6元/千克，试销期间发现每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间满足一次函数，其中，设每天的利润为w元．
(1)求w与x的函数关系式；
(2)为保证每天利润为700元，果农想尽快销售完库存，每千克售价应为多少元？
(3)每天的最大销售利润是多少？当利润最大时当天的销售量是多少？
23．如图，在中，，，将绕顶点C逆时针旋转角得到交于点F，分别交于点G，H．
(1)求证：；
(2)当时，试判断四边形的形状，并说明理由．
24．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过点和点，与y轴正半轴交于点C，且．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)①若点，，均在该二次函数的图象上，请判断：对于任意实数m，的值是否为定值？
②当时，总有，求实数t的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，根据旋转的定义，在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转一个角度的图形变换叫做旋转，进而分别判断得出答案，正确把握定义是解题的关键．
【详解】、乘坐升降电梯属于平移，不符合题意；
、地球绕太阳转动不属于旋转，不符合题意；
、钟表上的时针运动属于旋转，符合题意；
、将等腰三角形沿着底边上的高对折属于轴对称，不符合题意；
故选：．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的一般式．熟练掌握，是解题的关键．
根据二次函数的一般式进行判断作答即可．
【详解】解：A中，当时，不是二次函数，故不符合要求；
B中，是二次函数，故符合要求；
C中，是一次函数，故不符合要求；
D中，整理得，，是一次函数，故不符合要求；
故选：B．
3．D
【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可；
本题考查的是中心对称图形概念，正确掌握相关定义是解题关键；
【详解】A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先把原方程进行化简整理可得，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
将一元二次方程化为一般形式后，其中一次项系数是，常数项是0，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查的是二次函数的图象性质，掌握的顶点坐标是 是解题的关键，根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，即可找出二次函数图象的顶点坐标．
【详解】二次函数解析式为，
二次函数图象的顶点坐标为．
故选∶A．
6．D
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理．
由旋转可知，，，根据三角内角和定理求，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∴，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
由函数图象可以得出二次函数经过这一点，就可以求出函数的解析式，当时求出的值就可以求出结论．
【详解】解：由函数图象，得二次函数经过这一点，
把代入，得
，
解得：，
，
∴，
解得：，．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程有两根， ，则，是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系求出，的值即可．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，，
∴A选项正确，B、C、D选项错误；
故选：A．
9．C
【分析】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．
依据抛物线的对称性可知：在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵抛物线抛物线，
∴关于y轴对称点的坐标为，
∵，
∴时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
故选：C．
10．B
【分析】该题考查了二次函数的平移变换，解题的关键是掌握函数平移规律以及点坐标平移规律；
根据函数平移前后解析式得出函数平移方式，从而确定函数上的点平移方式，即可求解；
【详解】解：∵抛物线C：经过平移后得到抛物线：，
∴抛物线C：向下平移2个单位长度后得到抛物线：，
∵抛物线C上任意一点P的坐标是，
∴点P在抛物线上的对应点Q的坐标一定是；
故选B．
11．D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是表示出大矩形的长与宽．根据“矩形衬纸的面积为照片面积的2倍”进行列式，即可作答．
【详解】解：依题意，矩形衬纸的面积为，
照片面积为，
所以，
故选：D．
12．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，根据二次函数的开口方向和y轴的交于y轴正半轴得到，，再由对称轴计算公式得到，则，由此可判断①②；由象与x轴的一个交点的坐标为，得到，进而推出，即可判断③；当时，函数有最大值，则，据此可判断④．
【详解】解：观察图象可知，图象开口向下且与y轴的交于y轴正半轴，
∴，，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①知，
∴，故②正确；
∵图象与x轴的一个交点的坐标为，
∴，由①知，
∴，
∴；故③正确；
当时，函数有最大值，
∴（m为常数），
∴（m为常数），故④正确：
故选A．
13．
【分析】主要考查的知识点是平面直角坐标系中对称点的规律，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
根据平面直角坐标系中两个关于原点对称的点的坐标特点即可解答．
【详解】解：平面直角坐标系中关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
关于原点对称的点坐标为，
故答案为：．
14．6
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是明确题意，会用配方法将方程变形．根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到的值．
【详解】解：，
，
，
，
一元二次方程配方为，
，
故答案为：6．
15．
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义，列出不等式组，即可得到答案.
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：且.
故答案为且.
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
16．6
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可．
【详解】建立平面直角坐标系如图：
则抛物线顶点C坐标为（0，3），
设抛物线解析式y＝ax2+3，
将A点坐标（﹣3，0）代入，可得：0＝9a+3，
解得：a＝﹣，
故抛物线解析式为y＝﹣x2+3，
当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣3时，对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线y＝﹣3与抛物线相交的两点之间的距离，
将y＝﹣3代入抛物线解析式得出：﹣3＝﹣x2+3，
解得：x＝±，
所以水面宽度为米，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键．
17．(1)，；
(2)，．
【分析】（）利用因式分解法解答即可；
（）利用公式法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和公式法是解题的关键．
【详解】（1）方程因式分解得，，
∴，，
∴，；
（2）∵，，，
∴，
∴，
∴，．
18．
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握抛物线的顶点的顶点式是银题的关键．
根据抛物线的顶点坐标是，设二次函数的解析式为，把代入，求出a值，即可得解．
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是，
∴设二次函数的解析式为，
∵该抛物线经过原点，
∴把代入，得，
解得，
∴二次函数的表达式为．
19．(1)每轮传染中，平均一个人传染了10个人
(2)第三轮将新增1210名感染者
【分析】（1）设平均一个人传染了x个人，第一轮传染了x人，第一轮传染后一共有（1+x）名感染者；第二轮传染时这（1+x）人每人又传染了x人，则第二轮传染了x（1+x）人，列出方程求解即可；
（2）根据（1）中的结果进行计算即可．
【详解】（1）解：设平均一个人传染了x个人．
则可列方程：．
解得，（舍去）．
答：每轮传染中，平均一个人传染了10个人．
（2）（名）．
答：按照这样的速度传染，第三轮将新增1210名感染者．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确地理解题意，找出题目中的等量关系列出方程求解是解题的关键．
20．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称变换等知识，解题的关键是利用旋转变换，中心对称变换正确作出图形；
（1）根据中心对称变换的性质分别作出对应点依次连接即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出对应点依次连接即可．
【详解】（1）解；如图①中，即为所求；
（2）在图②中，即为所求；
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是掌握二次函数，，是常数，图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程根之间的关系，一元二次方程根与系数的关系．
（1）由可得结论；
（2）由该函数的图象与轴交点的横坐标均为负数知当时，，即方程有2个负数根，据此知且，解之可得答案．
【详解】（1）解： ，
又无论取任何实数时
∴，即，
无论取任何实数时，该函数图象与轴总有两个交点；
（2）解：该函数的图象与轴交点的横坐标均为负数，
当时，，即方程有2个负数根，
且，
解得，
的最大整数值为．
22．(1)
(2)11元
(3)每天的最大销售利润是720元，当利润最大时当天的销售量是120千克
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用．
（1）根据题意列出二次函数求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程进行求解即可；
（3）首先将二次函数转化成顶点式，然后利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得；
（2）解：∵，
∴当时，得，
解得，，
∵，，
∴y随x增大而减小，
∵要尽快销售完库存，
∴，
∴每天利润为700元，售价为11元；
（3）解：，
∵，，
∴当时，w取最大值为720，
此时，
答：每天的最大销售利润是720元，当利润最大时当天的销售量是120千克．
23．(1)见解析
(2)菱形，理由见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，灵活运用这些性质解决问题时解题的关键．
（1）先由等腰三角形的性质得出，再借助旋转的性质得出，，，所以，从而得证；
（2）由旋转的性质可求得，由等腰三角形的性质得出，同时由（1）可知，所以，，所以四边形是平行四边形，再由即可得到答案．
【详解】（1）证明：，
，
绕顶点C逆时针旋转角得到，
，，，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
旋转角，，
，
，，
，
，
，
由（1）知，
，
，
四边形是平行四边形，又，
四边形是菱形．
24．(1)
(2)①是定值；②
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键．
（1）先根据，，可得，然后用待定系数法求解即可；
（2）①把点，，分别代入（1）所求解析式，求得、、的值，再代入计算即可得出结论；
②由，得抛物线开口向下，对称轴为直线，根据二交姝增减性得，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，由二门铃 函数最值得，当时，该二次函数有最大值4，然后分两种情况：当时，在时，取得函数的最小值；当时，在处取得函数的最小值，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点和点，与y轴正半轴交于点C，且，
∴，
∴将点，，代入，得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：①的值是定值，理由如下：
∵点，，均在该二次函数的图象上，
∴，
，
，
∴
，
∴的值是定值；
②∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，
∴当时，该二次函数有最大值4，
∵当时，总有，
∴当时，在时，取得函数的最小值，
∴，解得，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，在处取得函数的最小值，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，t的值为．