浙江省宁波市鄞州区兴宁中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省宁波市鄞州区兴宁中学2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）
A．B．C．D．
2．已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B1＝40°，则∠C1的度数为（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则sinB等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大D．图象与轴有唯一交点
5．如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点A，镜子O，树底B三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为1.6米，米，米，则树高为（ ）米
A．4B．5C．6D．7
6．如图，是半圆O的直径，C是的中点，过点C作，交半圆于点D，则弧与弧的长度的比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：5
7．如图，一只松鼠先经过第一道门（A，B或C），再经过第二道门（D或E）出去，则松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC=5，∠BAC=∠D．则AB的长为（ ）
A．B．C．D．
9．已知抛物线经过点，，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，直径，弦，点D在的延长线上，线段交于点E，过点E作分别交，于点F，G．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线经过点，则 ．
12．已知线段a=3，b=12，则a，b的比例中项线段长等于 ．
13．如图，中，，．若的面积为3，则的面积为 ．

14．二次函数的图象过点，则方程的解为 ．
15．如图，在中，于点D，E，F分别为，的中点，G为边上一点， ，连结．若，，，则的长为 ．
16．如图（1）所示，E为矩形的边上一点，动点P，Q同时从点B出发，点Р沿折线运动到点C时停止，点Q沿运动到点C时停止，它们运动的速度都是1m/s．设P，Q同时出发t秒时，的面积为．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则 ﹔当 时，．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
17．计算：．
18．在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
(1)上表中的_________，_________；
(2)“摸到白球”的概率的估计值是_______(精确到)；
(3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球．
19．如图，已知D，E分别是的边AC，AB上的点，，，，．
(1)求证：．
(2)求BC的长．
20．某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河流的点B处的俯角，点C处的俯角，线段的长为无人机距地面的高度，点D、B、C在同一条水平直线上，，米．
(1)求无人机的飞行高度．
(2)求河流的宽度．
（参考数据：，，）
21．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C均在格点上．请按要求在网格中画图，所画图形的顶点均需在格点上．
(1)在图1中以线段AB为边画一个，使其与相似，但不全等．
(2)在图2中画一个，使其与相似，且面积为8．
22．如图,内接于,平分交于点,过点作交的延长线于点．
(1)求证:;
(2)若,的半径为,求的长;
(3)在（2）的条件下,求的长．
23．在平面直角坐标系内，二次函数 （a为常数）．
(1)若函数的图象经过点，求函数的表达式．
(2)若的图象与一次函数的图象有两个交点，横坐标分别为，2，请直接写出当时x的取值范围．
(3)已知在函数的图象上，当时，求证：．
24．[基础巩固]（1）如图1，正方形和正方形，其中，，三点共线，延长交于，连接．
（1）求证：；
（2）不难证明：，因此的值为______；
[尝试应用]（2）在（1）的条件下，如图1，若，，求正方形的边长；
[拓展提高]（3）如图2，正方形和正方形，是中点，连接，恰在上，连接，，若，求的最小值．
参考答案与解析
1．C
【分析】取判断函数值的情况，即可得到结论．
【详解】解：A．当时，，故选项不符合题意；
B．当时，无意义，故选项不符合题意；
C．当时，，故选项符合题意；
D．当时，，故选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了函数值，熟练掌握求函数值的方法是解题的关键．
2．C
【分析】直接利用相似三角形的性质得出对应角相等进而得出答案．
【详解】解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴∠A1＝∠A＝60°，∠B＝∠B1＝40°，
则∠C1＝180°﹣60°﹣40°＝80°．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键．
3．D
【分析】根据锐角三角函数的正弦值进行求解即可．
【详解】解：由题意知
故选D．
【点睛】本题考查了正弦．解题的关键在于明确直角三角形中角的正弦值等于对边与斜边的比值．
4．C
【分析】先利用配方法得到，可根据二次函数的性质可对、、进行判断；通过解方程可对进行判断．
【详解】解：，
抛物线的开口向下，顶点坐标为，抛物线的对称轴为直线，当 时，随的增大而增大，
令，则，解方程解得 ，，
△，
抛物线与轴有两个交点．
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数的顶点式的知识点，熟悉相关性质是解题的关键．
5．A
【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，
，
，
，
又，
，
，
米，米，米
，
米．
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例
列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
6．A
【分析】连接，利用直角三角形的性质和弧长计算公式即可求解．
【详解】连接，
∵是半圆O的直径，C是的中点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴ 弧与弧的长度的比为：
故选：A
【点睛】本题考查弧长计算，解题的关键是掌握直角三角形的性质和弧长计算公式．
7．A
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的只有1种结果，
所以松鼠走出笼子的路线是“先经过A门，再经过E门”的概率为，
故选：A．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为:概率所求情况数与总情况数之比．
8．C
【分析】根据圆周角定理得出∠D=∠B，得出△ABC是等腰直角三角形，进而解答即可．
【详解】∵AC=AC，
∴∠D=∠B，
∵∠BAC=∠D，
∴∠B=∠BAC，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB是直径，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC=5，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B．
9．D
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质进行讨论即可判断．
【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线，
且，
当时，，
则，
，
当时，，
则，
，
综上，下列不等式一定成立的是D，
故选：D．
10．A
【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形．
连接和，可求得和，，，进而根据，求得和，的长，根据可求得，进而得出结果．
【详解】连接，，
∵是的直径，
∴，，
∵，，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故选：A
11．
【分析】点代入，可得关于的方程，即可求解．
【详解】点代入得：
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标符合二次函数的解析式．
12．6
【详解】设，的比例中项线段为，
则，
∴，
∵为线段，
∴．
故答案为6.
13．12
【分析】根据的相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可根据此求得的面积．
【详解】解： ∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∴．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形的面积之比，理解并学会用相似比的求面积比是解题的关键．
14．，
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，先求抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点为，然后根据抛物线与轴的交点问题得到方程的解．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴为直线，
而二次函数的图象与轴的一个交点为，
二次函数的图象与轴的另一个交点为，
方程的解为，．
故答案为：，．
15．3
【分析】先根据三角形中位线定理得出，，再利用直角三角形斜边上的中线的性质，得到，进一步推得，从而判定，得出四边形是平行四边形，因此，然后设，利用三角函数的定义得到，，最后列出方程即可求解答案．
【详解】E，F分别为，的中点，
是的中位线，
，，
，F为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
即，
，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，平行四边形的判定与性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线的性质，灵活运用三角函数进行计算是解答本题得关键．
16． ##0.8
【分析】此题是二次函数综合题，三角函数，主要考查动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的性质．先根据图（1）和（2）的信息，得，结合三角函数以及相似三角形的性质，列式计算，即可作答．解题的关键是读懂图象信息求出相应的线段，学会转化的思想，把问题转化为方程的思想解决，属于中考常考题型．
【详解】解：由图象可知，∵，速度为，且曲线为抛物线的一部分
∴，
∵，图（2）成了一次函数，说明点Q已经停止运动，即点Q与点C重合
∴
∵为矩形
∴
即
故，
∴，
则
∵，且是直角三角形，
所以一定就是直角三角形，
当点P在上时，因为速度都一样，则，且小于
当点P在上时，因为速度都一样，
此时，即不可能垂直
所以只有在上，点Q与点C重合，且满足
∴
∴
则
故答案为：，
17．
【分析】将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考查了特殊三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．(1)0.58，118
(2)0.6
(3)10个
【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可；
（2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6；
（3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数．
【详解】（1），，
故答案为：0.58，118；
（2）由表格的数据可得，
“摸到白球的”的概率的估计值是0.6．
故答案为：0.6；
（3）(个)，
答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似来证明即可解答；
（2）利用相似三角形的对应边成比例进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：，，
.
（2），
，
，
.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．(1)无人机的飞行高度为75米
(2)河流的宽度为75米
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟记俯角的含义是解本题的关键；
（1）在中，有，再代入数据进行计算即可得到答案；
（2）在中，有，先求解，从而可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：，
∴．．
在中．，
∵，米，
∴（米），
答：无人机的飞行高度为75米
（2）在中，，
∴（米），
∴（米），
答：河流的宽度为75米．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由图可知，AC=2，根据网格特点画AD⊥AB，且AD=即可；
（2）画出直角边分别为2，4的直角三角形EFG即可．
【详解】（1）解：如图，△ABD即为所求；
（2）如图，△EFG即为所求．
【点睛】本题考查作图-相似变换，三角形的面积，全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用角平分线的性质,圆周角定理和垂直的定义与平行线的性质解答即可;
（2）利用平行线性质和直角三角形的边角关系定理及勾股定理解答即可;
（3）利用圆周角定理“在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等”,再利用直角三角形三边关系即可求出本题．
【详解】（1）解:证明:∵为的直径,
∴,
∵平分,
∴,
∵,
∴,
∴．
（2）解:∵,,
∴,
又∵,
∴,
∵的半径为,
∴,
∴,
∴．
（3）解:连接,作于,
∵
∴,,
∴,
∴,
∴．
【点睛】本题考查了角平分线性质,圆周角定理,垂直的定义,平行线性质,勾股定理等知识．熟记并活学活用圆周角定理､利用勾股定理正确计算出结果是解出本题的关键．
23．(1)或
(2)或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象的性质．
（1）运用待定系数法，把点代入二次函数中，求出a的值，即可得到函数的解析式；
（2）结合函数图象即可解答；
（3）由题意可得当时的函数值小于当时的函数值，列出不等式即可得出结论．
【详解】（1）∵函数的图象经过点，
∴，
解得：或1，
∴函数的表达式为或；
（2）根据题意作出草图如下，
由函数图象可知，当时x的取值范围是：或；
（3）∵，
∴，
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口方向向上，
∴和时的函数值相同，
∴由图象可知当时的函数值小于当时的函数值，
即：，
∵，
∴，
∴．
24．[基础巩固]（1）证明见解析；（2）；[尝试应用] ；[拓展提高]
【分析】[基础巩固]（1）由，可得，证明即可．
（2）由，可得．
[尝试应用]（2）由题意得，由勾股定理得，由，可得，求得，则，根据，计算求解即可．
[拓展提高]（3）如图，连接，延长交于，作于，证明，则，即为定值，点为射线上的动点，当时，最小，设，则，由，即，解得，，则，，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】[基础巩固]（1）①证明：四边形和是正方形，
∴，
∵，
∴，
又，
∴．
（2）解：∵，
∴，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：．
[尝试应用]（2）解：∵，，
∴，
四边形是正方形，
∴，
在中，，
∵，
∴，即，解得，
∴，
四边形是正方形，
是等腰直角三角形，
∴，
∴．
正方形的边长为：．
[拓展提高]（3）解：如图，连接，延长交于，作于，
同理（2）可证，，，
∴，
∴，
∴，即为定值，
∴点为射线上的动点，
当时，最小，
设，则，
∴，即，
解得，，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质，正方形的性质是解题的关键．
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
b
295
480
601
摸到白球的频率
a
0.64
0.59
0.59
0.60
0.601