北师大版（知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化）六年级上册数学讲义 第2单元 分数混合运算（学生版+教师版）

这是一份北师大版（知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化）六年级上册数学讲义 第2单元 分数混合运算（学生版+教师版），文件包含第2单元分数混合运算教师版知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化数学讲义docx、第2单元分数混合运算学生版知识讲练+易错汇总+举一反三+培优强化数学讲义docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共39页， 欢迎下载使用。
北师大版数学六年级上册第二单元 分数混合运算讲义内容:思维导图+考点分类知识讲解+易错知识点汇总+典例精讲+举一反三变式训练试题难度：选自2022-2023年最新真题，难度中等及偏上，适合所有学生 建议学习时长：1.5-2小时 适合场景：新知学习预习，复习巩固拔高！ 模块一 分数乘除混合运算 模块二 分数乘法与分数加减法的混合运算模块三 分数四则混合运算及应用 1.分数混合运算的运算顺序与整数混合运算的运算顺序相同，没有括号的，按从左到右的顺序计算;有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。2.“连续求一个数的几分之几是多少”的解题方法:依据分数乘法的意义，用这个数连续乘几分之几。3.根据“除以一个数，等于乘这个数的倒数”，可以把分数乘除混合运算或分数连除直接改写成分数连乘进行计算。4.“已知一个数比另一个数多(或少)几分之几，求这个数”的解题方法:(1)先根据分数乘法的意义，求出多(或少)的几分之几是多少，再用加(或减)法求这个数;(2)先求出另一个数占单位“1”的几分之几，再根据分数乘法的意义，用乘法计算。5.“已知总量及一部分量占总量的几分之几，求另一部分量”的解题方法:(1)总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量;(2)总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量。先找准题中不同的单位“1”，再根据已知或未知的量确定计算方法。6.“已知比一个数多(或少)几分之几的数是多少，求这个数”的解题方法:(1)先求比这个数多(或少)的数占这个数(即单位“1”)的几分之几，再根据分数乘法的意义列方程解答;(2)先求出比这个数(即单位“1”)多(或少)的几分之几是多少，再根据加减关系列方程解答。7.“已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量”的解题方法(用方程解):把总量看作单位“1”，可以根据“总量×(1-已知部分量占总量的分率)=另一部分量”列方程解答;也可以根据“总量-总量×已知部分量占总量的分率=另一部分量”列方程解答。1.连续求一个数的几分之几是多少的分数乘法问题，解题的关键是明确每一步谁是单位“１”，谁是谁的几分之几。2.在没有括号的分数乘除混合运算中，运算顺序是从左向右依次计算，不能任意改变运算顺序。3.在分数加减混合运算中，加括号或去括号时要注意括号前面的符号，如果是加号，那么括号里面不变号；如果是减号，那么括号里面的加变减，减变加。4.运用（a+b)×c=a×c+b×c进行简便计算时，括号中的每一个数都要与括号外的数相乘。5.求比一个数量多（或少）几分之几的数是多少的问题，解题的关键是找准单位“1”。6.如果题中单位“1”的量是所求问题，应该设单位“1”的量为未知数x。【典例精讲01】（2023五下·铜山期中）黄彩带是红彩带的，绿彩带是黄彩带的，（　　）最长。A．红彩带 B．绿彩带 C．黄彩带【答案】B【规范解答】解：因为＞1，＞1，所以绿彩带最长。故答案为：B。【思路点拨】黄彩带=红彩带×，绿彩带=黄彩带×=红彩带××， 因为＞1，＞1，所以绿彩带最长。【典例精讲02】．（2023六上·中宁期末）8.5千克铁钉用去，又用去千克，两次共用去千克。（　　）【答案】（1）错误【规范解答】解：8.5×+=1.9（千克），两次共用去1.9千克，原题说法错误。故答案为：错误。【思路点拨】铁钉质量×用去的分率=用去的质量，用去的质量+又用去的质量=两次共用去的质量。【典例精讲03】（2023五下·惠济期中）王家村要修一条长450米的公路，已经修了102米，还要修多少米正好修完这条路的？【答案】解：450×-102 =300-102 =198（米） 答：还要修198米正好修完这条路的。【思路点拨】用路的长度乘求出一共需要修的长度，用一共需要修的长度减去已经修的长度即可求出还要修的长度。1．（2023五下·顺德期中）学校今年植树比去年多，去年植树60棵，今年植树多少棵？列式正确的（　　）A．60÷（1+） B．60×（1+）C．60× D．60÷【答案】B【规范解答】解：今年植树的棵数：60×（1+）。故答案为：B。【思路点拨】设去年植树的棵数是单位“1”，今年比去年多，今年植树的棵数=去年植树的棵数×（1+）。2．（2023五下·期中）有两根2m长的铁丝，第一根剪去，第二根剪去m，剩下的部分相比，（　　）。A．第一根剩下的长 B．第二根剩下的长C．两根剩下一样长 D．无法比较【答案】B【规范解答】第一根剩下：2×（1-）=（m）；第二根剩下：2-=（m）。m＜m，第二根剩下的长。故答案为：B。【思路点拨】根据题意可知，把这根铁丝的总长度看作单位“1”，分别求出第一根、第二根剩下的长度，再对比即可。3.白兔的数量比灰兔多，那么灰兔的数量比白兔少。（　　）【答案】（1）错误【规范解答】解：设灰兔为1，则白兔为1+=，灰兔的数量比白兔少÷=，原题错误。故答案为：错误。【思路点拨】比较量不同，结果不会一样。4．新华小学有学生640人，五年级学生人数占全校学生总数的，五年级女生人数占本年级学生人数的，五年级有学生　 　人，五年级女生有　 　人。【答案】96；40【规范解答】640×=96（人）；96×=40（人）。故答案为：96；40。【思路点拨】此题主要考查了分数乘法的应用，找准单位“1”是关键，全校学生总数×=五年级学生人数；五年级学生人数×=五年级女生人数，据此列式解答。5．（2023五下·普宁期中）第一根电线长6.5米，用去了，还剩下　 　米；第二根电线长5.2米，用去了米，还剩下　 　米。【答案】1.3；4.45【规范解答】解：6.5×（1-）=6.5×=1.3（米）5.2-=5.2-0.75=4.45（米）故答案为：1.3；4.45。【思路点拨】求比一个数少几分之几的数是多少，方法是：这个数×（1-少的几分之几）；第二根电线长-用去的长度=还剩下的长度。6．直接写出得数【答案】【思路点拨】分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要约分；除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。7．（2023六上·金湖期末）能简算的要简算①﹣+②﹣﹣③×÷④（++）×12⑤××⑥﹣（+）【答案】解：① ﹣ + ＝ + ﹣ ＝1﹣ ＝ ② ﹣ ﹣ ＝ ﹣（ + ）＝ ﹣1＝ ③ × ÷ ＝ × × ＝ ④（ + + ）×12＝ ×12+ ×12+ ×12＝6+4+2＝12⑤ × × = ⑥ ﹣（ + ）＝ ﹣ ﹣ ＝ ﹣ ＝0【思路点拨】①同分母分数相加减，可以使运算简便；②连续减去两个数，等于减去这两个数的和，据此进行简算；③ 先把除法化为乘法，三个数一起，先约分后计算；④一个相同的数分别同几个不同的数相乘，积相加，等于这个相同的数乘另外几个不同数的和，据此简算；⑤三个数一起，先约分后计算；⑥减去两个数的和，等于分别减去这两个数，据此进行简算。8．（2023五下·榕城）植树节，学校开展植树活动。四年级学生植树72棵，是六年级植树棵数的，五年级的植树棵数是六年级的。五年级植树多少棵?【答案】解：72÷× =90× =75（棵） 答：五年级植树75棵。【思路点拨】五年级植树的棵数=六年级植树的棵数×；其中，六年级植树的棵数=四年级植树的棵数÷。9．（2023五下·榕城）家里水缸的水喝完了，爸爸装了3箱30L的山泉水，倒入水缸中。长方体水缸内部底面边长50cm，此时水深占水缸高的，水缸高多少厘米?【答案】解：30升=30000立方厘米 30000×3÷（50×50）÷ =30000×3÷2500÷ =90000÷2500÷ =36÷ =60（厘米） 答：水缸高60厘米。【思路点拨】水缸的高度=平均每箱山泉水的体积×箱数÷（长方体水缸内部底面的边长×边长）÷此时水深占水缸高的分率。10．（2023五下·期中）可可看一本180 页的故事书，第一天看了总页数的，第二天看了余下的。（1）第二天看了多少页？ （2）她第三天应从第几页开始看起？ 【答案】（1）解：180×（1－ ）× =180× × =108× =36（页） 答：第二天看了36 页。（2）解：180× +36+1=109（页） 答：她第三天应从第109 页开始看起。【思路点拨】（1）故事书的总页数×（1-）=余下的页数，余下的页数×=第二天看的页数；（2）故事书的总页数×=第一天的页数，第一天的页数+第二天的页数+1=第三天开始看的页数。【典例精讲01】一个苹果，哥哥吃了，弟弟吃了剩下的，兄弟俩吃的苹果相比（　　）。A．哥哥多 B．弟弟多 C．一样多 D．无法比较【答案】B【规范解答】（1-）×=×==＜，弟弟吃的苹果多些。故答案为：B。【思路点拨】根据题意可知，把这个苹果看作单位“1”，则哥哥吃了苹果的，弟弟吃的是剩下的，先求出剩下的部分，再用剩下的×弟弟吃的=弟弟吃的占这个苹果的分率，最后对比即可。【典例精讲02】（2023五下·期中）一根1米长的电线，用掉了，还剩下米。（　　）【答案】（1）正确【规范解答】解：1×（1-）=1×=（米）原题说法正确。故答案为：正确。【思路点拨】一根1米长的电线，用掉了，用掉了米，还剩下米。【典例精讲03】（2023五下·期末）列式计算 （1）1比一个数的3倍多，求这个数。（用方程解）（2）17个减去与的和，差是多少？【答案】（1）解：设这个数是x。 1 -3x= 3x=1 - x= 答：这个数是。（2）解：×17 -（ + ） =×17 -- =-- =-- = 答：差是。【思路点拨】（1）本题可以设这个数是x，然后根据题中存在的等量关系作答即可；（2）一个数减去两个数的和，求差是多少，就是用小括号将加法括起来即可。1．（2023五下·期末）一杯茶，丁叔叔第一次喝了一半，第二次喝了剩下的一半。丁叔叔两次共喝了这杯茶的（　　）。 A． B． C． D．【答案】D【规范解答】解：+×=，丁叔叔两次共喝了这杯茶的。故答案为：D。【思路点拨】丁叔叔第一次喝了一半是，第二次喝了一半的一半是，求共喝用加法。2．（2023五下·惠济期中）工厂要赶制一批货物，第一个星期完成了这批货物的，第二个星期完成了剩下的，下列说法正确的是（　　）。A．第一个星期完成得多B．第二个星期完成得多C．未完成的货物多D．第一个星期和第二个星期完成一样多【答案】D【规范解答】解：第二个星期完成了这批货物的：（1-）×=；所以第一个星期和第二个星期完成一样多。故答案为：D。【思路点拨】把这批货物总量看作单位“1”，用1减去第一个星期完成的分率求出还剩下的分率，用还剩下的分率乘第二个星期完成剩下的即可求出第二个星期完成了总量的几分之几。比较两个星期完成总量的分率即可做出选择。3．（2023五下·义乌期中）小明小红和小林分吃一块盒巧克力，小明吃了整盒的，小红吃了剩下的，其他小林吃。他们吃的巧克力一样多。（　　）【答案】（1）正确【规范解答】解：（1-）×=×=，1--=，他们吃的巧克力一样多，原题说法正确。故答案为：正确。【思路点拨】通过计算可知，小明吃了整盒的，小红吃了整盒的，小林吃了整盒的，他们吃的巧克力一样多。4．（2023六下·洪泽期中）学校举办春季运动会，参加比赛的运动员在140～150之间，男运动员的人数是女运动员的，女运动员有　 　人。【答案】80【规范解答】解：男运动员是总人数的=，那么总人数一定是9的倍数，140~150之间9的倍数是144。女运动员：144-144×=144-64=80（人）故答案为：80。【思路点拨】男运动员的人数是女运动员的，那么女运动员是5份，男运动员就是4份，总人数就是9份。所以总人数一定是9的份数。确定140~150之间9的倍数就是总人数，然后计算女运动员的人数即可。5．（2023六上·离石期末）加工一批零件，第一天加工了这批零件的，第二天加工了剩下的，第二天加工了总数的　 　，还剩　 　没加工。【答案】；【规范解答】解：第一问：（1-）×=×=；第二问：1--=。故答案为：；。【思路点拨】第一问：把这批零件看作单位“1”，用1减去第一天用去的分率求出还剩的分率，用还剩的分率乘即可求出第二天加工了总数的几分之几。第二问：用1减去第一天用去的分率，再减去第二天用去了总数的分率即可求出没有加工的分率。6．一根电线长8米，用去，还剩总长的　 　，如果再用去米，这根电线比原来一共短了　 　米。【答案】；2【规范解答】解：1-=；8×+=2+=2（米）。故答案为：；2。【思路点拨】单位1-用去的分率=剩下的分率；电线长×用去的分率=用去的长度，用去的长度+再用去的长度=两次一共用去的长度，两次一共用去的长度就是比原来一共短的长度。7．（2023五下·期末）蜀锦为中国四大名锦之一，是一种具有两千多年历史的丝织品。一匹蜀锦长3米，先用去，再用去余下的米，还剩下　 　米。【答案】【规范解答】解：3×（1-）-=3×-=2-=（米）故答案为：。【思路点拨】一匹蜀锦长×（1-）=余下的长度，余下的长度-米=剩下的长度。8．计算下列各题（能简算的写出简算过程）①②③④【答案】解：①÷9+× =×+× =×(+) =× =②(+-)÷ =(+-)×24 =×24+×24-×24 =6+4-8 =10-8 =2③÷(-)× =÷(-)× =÷× =×× =× =④×[-(-)] =×(+-) =×(1-) =× =【思路点拨】①除以一个数等于乘这个数的倒数，然后根据乘法分配律进行简便计算；②除以一个数等于乘这个数的倒数，再根据乘法分配律进行简便计算；③按照四则混合运算法则，先算括号里面的，再按照从左往右的顺序进行计算；分数除法中，除以一个数等于乘这个数的倒数；④根据四则混合运算法则，先算括号里面的，括号中可以按照减法的性质去小括号再计算；9．兴泉铁路是途径石城县的第一条铁路，2021年9月建成，全长约464公里。原来乘坐汽车从石城到泉州要去外县转车，车费约需160～200元。建成铁路后可直达，乘火车所需费用比原来的最少车费便宜。铁路通车后从石城到泉州乘火车大约需要多少元？【答案】解：160×（1-） =160× =52（元） 答：铁路通车后从石城到泉州乘火车大约需要52元。【思路点拨】将160元看作单位“1”，用160乘（1-），即可求出铁路通车后从石城到泉州乘火车大约需要多少元。26．甲乙两位工人师傅从早上8：30起，开始加工同样多的一批零件。已知甲的工作效率是乙的，当乙在12：00完成工作后，甲还得工作多长时间才能完成任务？【答案】解：12时－8时30分＝3时30分 3时30分＝3.5小时3.5×－3.5＝28÷7－3.5＝4－3.5＝0.5（小时）答：甲还得工作0.5小时才能完成任务。【思路点拨】甲的工作效率是乙的，可以理解为甲的工作效率是7，甲的工作效率是7，是8；乙的工作时间×甲的工作效率是=工作量，工作量÷甲的工作效率=甲的工作时间，甲的工作时间-乙的工作时间=甲完成任务还得工作的时间。10．（2023五下·龙华期中）图书馆有3000本新书需要贴书签。李老师和同事们第一天贴了这些书的，比第二天少贴了这些书的，还剩下多少本新书没有贴书签？【答案】解：＋= 3000×（1--） =3000×（-） =3000× =600（本） 答：还剩下600本新书没有贴书签。【思路点拨】还剩没有贴书签的新书本数=图书馆需要贴书签新书的总本数×（1-第一天贴的分率-第二天贴的分率）。11．（2022五上·龙口期中）双语学校5年级6班对全班45名学生到校方式进行统计，其中步行的占，坐公交车的占，剩余的是其他方式。5年级6班用其他方式上学的学生有多少名？【答案】解：45-45×-45× =45-9-5 =31（名） 答：5年级6班用其他方式上学的学生有31名。【思路点拨】以学生总数为单位“1”，根据分数乘法的意义分别求出步行和坐公交车的人数，然后用总人数依次减去步行和坐公交车的人数即可求出用其他方式上学的人数。【典例精讲01】（2023六下·华安期中）某人从甲地到乙地需要小时，他走了小时，还有960米没有走，他已经走了多少米？正确的算式是（　　）A．960÷（） B．960÷ （）×C．960÷（1-）× D．960×（）【答案】B【规范解答】解：960÷（）×=7200×=1440（米）故答案为：B。【思路点拨】首先求出走960米用的时间，然后根据速度×时间=路程，求出每小时走的路程，最后求出小时走的路程即可。【典例精讲02】“太阳升起东山头，鸭子嘎嘎走出窝；一半的一半水中游，剩下一半坡下走，窝内还剩18只，”根据这首歌谣可知，一共有　 　只鸭子。【答案】72【规范解答】解：18÷（1--）=18÷=72（只）故答案为：72。【思路点拨】一半的一半水中游，意思是水中游占；剩下一半坡下走，意思是坡下走的占；窝内还剩18只，意思是18只占鸭子总数的1--=；18只÷对应的分率=鸭子总数。【典例精讲03】今年3月25日武汉江夏鲁湖生态徒步大会如期举行，此次赛事分为健步行和毅行组，同时开赛。当天明叔叔2小时20分走完健步行13.5千米的路程时，琴琴阿姨正好走了毅行组全程的，已知天明叔叔速度是琴琴阿姨速度的。请问毅行组全程多少千米？【答案】解：×= 13.5÷=24.5（千米） 答：毅行组全程24.5千米。【思路点拨】时间一定，速度和路程成正比例关系，所以天明叔叔走了全程的几分之几=琴琴阿姨走了毅行组全程的几分之几×天明叔叔速度是琴琴阿姨速度的几分之几，那么毅行组的全程=天明叔叔2小时20分走的路程÷天明叔叔走了全程的几分之几，据此代入数值作答即可。【典例精讲04】（2022六上·顺德期中）笑笑三天看完一本书，第一天看了全书的，第二天看了余下的，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？【答案】解：（1-）× =× = 15÷（-） =15÷ =300（页） 答：这本书共有300页。【思路点拨】这本书共有的页数=第二天比第一天多看的页数÷第二天比第一天多看的分率；其中，第二天比第一天多看的分率=第二天看的分率-第一天看的分率；第二天看的分率=（1-第一天看的分率）×。1．（2023六上·渝中期末）汉字书写比赛中，小亮分钟写了9个汉字。照这样的速度，他15分钟能写多少个汉字？下面算式中错误的是（　　）。A． B． C． D．【答案】C【规范解答】解：错误的算式是C。故答案为：C。【思路点拨】A：15÷是求15分钟是的几倍，那么15分钟写汉字的个数也就是9的几倍，所以再乘9即可求出15分钟写汉字的个数；B：9÷是求每分钟写汉字的个数，用每分钟写汉字的个数乘15即可求出15分钟能写汉字的个数；C：这个算式不表示任何意义；D：÷9是求写一个汉字用的时间，用15除以写一个汉字用的时间即可求出15分钟写汉字的个数。2．（2022六上·灌云期中）本月用电量比上月节约，本月用电量是上月的（　　）。A． B． C． D．【答案】B【规范解答】解：本月用电量比上月节约，上月的用电量看做11，本月的用电量就是11-11×=10，本月用电量是上月的10÷11=。故答案为：B。【思路点拨】求一个数是另一个数的几分之几用除法。3．（2023·）男生比女生多，则女生比男生少。（　　）【答案】（1）错误【规范解答】解：1＋=÷=。故答案为：错误。【思路点拨】把女生看作单位“1”，则男生=1＋=，女生比男生少的分率= ÷男生占的分率。4．水结成冰后体积增加，那么冰化成水后，体积减少。（　　）【答案】（1）错误【规范解答】解：1×（1+）=，（-1）÷=，所以冰化成水后，体积减少。故答案为：错误。【思路点拨】把水的体积看成单位“1”，水结成冰的体积=水的体积×（1+水结成冰后体积增加几分之几），那么冰化成水后，体积减少几分之几=（冰的体积-水的体积）÷冰的体积。5．小小丁有三堆棋子，每堆棋子一样多，并且都有黑白两色棋子，第一堆里黑棋子和第二堆里白棋子的数目相等，第三堆里的黑棋子占全部黑棋子的，把这三堆棋子集中在一起，白棋子占全部棋子的　 　分之　 　。【答案】九；四【规范解答】解：把全部棋子看作单位“1”，每堆棋子是全部棋子的：1÷3=将第一堆黑棋子和第二堆白棋子进行交换，交换后第二堆全部是黑棋子第二堆黑棋子占全部黑棋子的：1-=全部黑棋子是全部棋子的：÷=全部白棋子占全部棋子的：1-=故答案为：九；四。【思路点拨】已知每堆棋子一样多，也就是把全部棋子看作单位“1”，那么每堆棋子就是棋子总数的；第一堆里黑棋子和第二堆里白棋子的数目相等，那么可以把第一堆黑棋子和第二堆白棋子进行交换，交换后第一堆全部是白棋子，第二堆全部是黑棋子；又因为第三堆里的黑棋子占全部黑棋子的，所以第二堆的黑棋子占全部黑棋子的1-；由此，我们可以找到等量关系式是：的棋子总数=(1-)的黑棋子总数；根据等量关系式计算出全部黑棋子占棋子总数的几分之几；最后用1-全部黑棋子占棋子总数的分率得到白棋子占棋子总数的分率。6．下面各题怎样简便怎样算。①103-128÷8②1.02÷（5.2-3.5 ）③④⑤⑥【答案】解：①103-128÷8 =103-16 =87②1.02÷（5.2-3.5 ） =1.02÷1.7 =0.6③ =÷[×] =÷ =4④ =（+）-（+） =-1 =⑤ =×（2+26） =×28 =8⑥ =×24+×24-×24 =8+6-4 =10【思路点拨】在没有小括号，既有加减法，又有乘除法的计算中，要先算乘除法，再算加减法；在有小括号的计算中，要先算小括号里面的，再算小括号外面的；在既有小括号，又有中括号的计算中，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算中括号外面的；在分数的加减混合计算中，可以把同分母分数利用加法交换律和结合律进行简便计算；乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c。7．下面各题，怎样算简便就怎样算①②③④【答案】解：①＝＝＝②＝＝＝③＝＝＝④＝＝＝【思路点拨】运算顺序：先算乘除，再算加减，如果有括号，就先算括号里面的。如果有小括号和中括号，由内到外，先算小括号里面的，再算中括号里面的。8．阳阳正在读一本科普书，第一周读了90页，还剩下没有读。这本科普书一共有多少页？【答案】解：90÷（1-） =90÷ =135（页） 答：这本科普书一共有135页。【思路点拨】已知量÷已知量对应总量的分率=总量，据此解答。9．张阿姨和李叔叔都准备乘飞机甲地到乙地，从甲地到乙地的飞机票价是1400元，李叔叔买一张从甲地到乙地的飞机票用了多少元？【答案】解：（1400×-120）÷ =（1120-120）÷ =1000÷ =750（元） 答：李叔叔买一张从甲地到乙地的飞机票用了750元。【思路点拨】张阿姨买飞机票用的钱数=从甲地到乙地的飞机票价×张阿姨买的票价是原价的几分之几，所以李叔叔买飞机票用的钱数=（张阿姨买飞机票用的钱数-多的120元）÷张阿姨买票花的钱数是李叔叔的几分之几，据此代入数值作答即可。0.3＋7.7=2.4×5=×=×4÷×4=6.04－1.7=32×25%=0.27÷0.3=＋2÷－2=0.3＋7.7=82.4×5=12×=×4÷×4=166.04－1.7=4.3432×25%=80.27÷0.3=0.9＋2÷－2=