安徽省亳州市蒙城县2023-2024学年九年级上册月考数学试题（含解析）

这是一份安徽省亳州市蒙城县2023-2024学年九年级上册月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．关于y轴对称
C．顶点是D．y有最大值
2．如图，在中，，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组条件中，不能判定与相似的是（ ）
A．，B．，
C．，D．
4．如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，，则（ ）

A．B．C．D．
5．抛物线与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．
6．如图，在中，为上一点，且，，，则（ ）
A．6B．5C．D．
7．如图，抛物线的顶点为，与x轴的交点在点和之间，以下结论：①，②，③，④，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，四边形是某护坡大坝的横截面，，坝顶宽为5米，斜坡的坡度为，斜坡的坡角为，坡长米，则坝底宽约为（ ）
A．米B．米C．米D．米
9．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处4m，则水管的顶端B距水面的高度为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，，，则k的值等于（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．反比例函数的图象在第 象限.
12．抛物线的对称轴是直线 ．
13．中，，，则 ．
14．如图，在矩形中，P，Q分别为边，的中点，与，分别交于点E，F．
（1） ．
（2）若，，则的长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．计算：．
16．已知二次函数的图象经过点，．求二次函数的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在中，，，求．
18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．

(1)画出与相似（不全等）的；
(2)在网格内画出以点为位似中心的位似图形．与的位似比为．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图，直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标分别为1和4．

(1)求，的值；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集．
20．如图，在中，，再添加一个条件就能够证明是直角三角形．

(1)给出下列四个条件：①；②；③；④，其中可以选择的条件有____________（填序号）；
(2)在你所填的序号中，选择其中一个加以证明．
六、（本题满分12分）
21．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级（1）班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，（参考数据：，，，；精确到米）
(1)求综合楼的高度；
(2)求宣传牌的高度．
七、（本题满分12分）
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，若顶点D的坐标为．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点F是抛物线上位于第一象限的动点，直线分别与y轴、直线交于点E，H．
①当时，求的长；
②连接，若与面积之比是，请直接写出点F的坐标．
八、（本题满分14分）
23．如图，在正方形中，E，F分别为边上的中点，和相交于点P．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为，当时，函数有最小值为；
综上：只有选项B是正确的；
故选B．
2．D
【分析】先根据勾股定理求出，然后根据三角函数关系即可得解．
【详解】解：在中，，，，
，
，
故选：D
【点睛】本题考查了勾股定理、三角函数，熟练掌握相关知识是解题关键．
3．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据有两组角对应相等的两个三角形相似对A进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对B进行判断；根据直角三角形相似的判定方法对C进行判断；根据三组对应边的比相等的两个三角形相似对D进行判断．
【详解】解：A、，，能判定，本选项不符合题意；
B、，，不能判定，本选项符合题意；
C、，，能判定，本选项不符合题意；
D、，能判定，本选项不符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查求角的正切值，线段垂直平分线的性质，根据中垂线的性质，得到，根据，设，则，勾股定理求出的长，再利用，进行求解即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点D，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴；
故选C
5．A
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得到对应的方程有两个不相等的实数根，利用判别式求出a的取值范围即可，注意二次函数的二次项系数不能为0．
【详解】解：由题意，得：且，
∴且；
故选A．
6．A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．易证，然后运用相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查的是抛物线的图象与性质．由抛物线与轴有两个交点，可判断①，由抛物线的对称性及抛物线上点的坐标特点可判断②，由抛物线的对称轴方程可判断③，由顶点坐标与对称轴方程可判断④，从而可得答案．
【详解】解：由抛物线与轴有两个交点，可得：＞故①正确；
∵抛物线的顶点为，
∴抛物线的对称轴为：，
，
∵抛物线与轴的交点在点和之间，
∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
在第四象限，
，故②错误；
∵抛物线的对称轴为：，
，
，
，故③正确；
∵抛物线的顶点为，
，
把代入上式可得：，故④正确，
综上：正确的有个．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查解直角三角形的应用．过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解．
【详解】解：过点A、D作的垂线，垂足分别为E、F，
∵，
∴四边形是矩形，
∵斜坡的坡角为，
∴是等腰直角三角形，
∵米，
∴，
∴，
∵斜坡的坡度为，
∴，
∴(米)．
故选：A．
9．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，得到，设抛物线的解析式为，将代入求出函数解析式，进而求出时的函数值即为的长．
【详解】解：以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则：，
设抛物线的解析式为，将代入，得：，
∴，
当时，，
∴高度为；
故选D．
10．B
【分析】本题考查反比例函数值的意义，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质．根据，设，则：，勾股定理求出，过点作轴，过点作轴，证明，根据反比例函数值的几何意义，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可．解题的关键是掌握值的几何意义，添加辅助线构造相似三角形．
【详解】解：∵，，
∴，
∴设，则：，
∴，
∴，
过点作轴，过点作轴，

则：，
∵点A在反比例函数的图像上，点B在反比例函数的图像上，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
11．二、四
【分析】根据反比例函数中k=-5得出此函数图象所在的象限即可．
【详解】∵反比例函数中，k=-5＜0，
∴此函数的图象在二、四象限，
故答案为二、四.
【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，熟知反比例函数当k＜0时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．
12．
【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴是直线；
故答案为：．
13．
【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出的长，根据勾股定理求出的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出的值．
【详解】解：如图，等腰中，，，
过作于，则，
在中，，，则，
，
故．
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和三角函数的应用，关键是将问题转化到直角三角形中求解，并且要熟练掌握好边角之间的关系．
14． ## ##
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定．
（1）延长交于T，证明和，推出，设，，得到，据此即可求解；
（2）根据勾股定理求出，延长交于T，延长交于G，同（1）根据相似三角形的判定和性质即可求解．
【详解】解：（1）延长交于T，如图，
∵四边形是矩形，P，Q分别为边，的中点，
∴，
∴，，
∴，，，，
∴，
∴，
设，，
∴，
∴，
∴，整理得，
∴，
故答案为：；
（2）延长交于T，延长交于G，如图，
∵四边形是矩形，，，
∴，
∵Q为边的中点，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，即，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
15．．
【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算．先将各角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：
．
16．
【分析】根据点在抛物线上，点的坐标满足方程的关系，将，代入得方程组，求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法，准确计算．
17．10
【分析】本题考查解非直角三角形，过点作，分别解，求出的长，利用，进行求解即可．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．
【详解】解：过点作，则：，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴．
18．(1)图见解析（答案不唯一）
(2)图见解析
【分析】（1）根据题意，画出即可；
（2）根据位似图形的性质，画出即可．
【详解】（1）如图所示，即为所求（答案不唯一）

由图可知：，
∴；
（2）如图所示，，即为所求；

【点睛】本题考查画相似三角形和位似三角形．解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和位似三角形的性质．
19．(1)；
(2)或．
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图象的交点坐标结合函数图象确定不等式的解集．
（1）先用表示出A，B两点的坐标，再代入直线，可据此求解即可；
（2）由不等式可得反比例函数的图象在一次函数的图象的下方，结合函数图象可得答案．
【详解】（1）解：根据题意设A，B两点的坐标为，，
∵直线经过A，B两点，
∴，
解得；
（2）解：由图象可知，不等式的解集为或．
20．(1)②④
(2)见解析
【分析】本题考查锐角三角函数，以及相似三角形的判定和性质．
（1）根据锐角三角函数的定义，结合相似三角形的判定和性质，逐一进行判断即可；
（2）选择②，根据，得到，进而得到即可；选择④，等积式化为比例式，证明，得到，进而得到即可．
掌握锐角三角函数的定义，以及相似三角形的判定是解题的关键．
【详解】（1）解：当时，如图可知，均为锐角，
∴，
∴是等腰三角形，无法得到是直角三角形；故①错误；
②当时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故②正确；
若是直角三角形，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，与不符；故③错误；
当，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，故④正确；
综上：可以选择的是②④；
故答案为：②④；
（2）选择②，证明如下：
当时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
选择④，证明如下：
当，
则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
21．(1)综合楼的高度米；
(2)宣传牌的高度米．
【分析】本题考查解直角三角形中仰俯角及坡度角问题．
（1）根据仰角为及米，即可求出；
（2）过B作，根据斜坡的坡角为及米，求出，再求得，即可得到答案．
【详解】（1）解：∵仰角为，米，
∴（米）；
答：综合楼的高度米；
（2）解：过B作，，则四边形为矩形，
∵的坡角为，米，
∴（米），
（米），
∵处测得宣传牌顶部的仰角为，
∴，
∴（米）．
答：宣传牌的高度米．
22．(1)
(2)①②
【分析】（1）设出顶点式，将点代入求解即可；
（2）①设，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，从而求出的长，过过点作轴，求出的长，再根据，列出方程进行求解即可；
②根据与面积之比是，得到与的面积之比为，进而推出，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线的解析式为：，
把点代入得：，解得：，
∴；
（2）①∵，
当时，，当，，
解得：，
∴，
设的解析式为，将，代入，得：，
∴，
设，
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴，
当时，；
∴，
∴，
联立：，解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
过点作轴，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，解∶或（不合题意，舍去），
经检验，原方程的解；
∴；
②∵与面积之比是，
∴与的面积之比为，
∵，
∴，
由①知：，，
∴，解得：或（舍去）；
经检验是原方程的解，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，两条直线的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，计算量大，解题的关键是掌握的求出函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解．属于压轴题．
23．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）证明，得到，进而得到，得到，即可；
（2）过点作于点，证明，得到，利用，得到，进而得到，即可；
（3）根据等腰直角三角形的性质，得到，根据，得到，进而得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵正方形，E，F分别为边上的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）由（2）知，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数．解题的关键是掌握正方形的性质，添加辅助线构造特殊三角形和相似三角形．