浙江省湖州市长兴县古城中学2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份浙江省湖州市长兴县古城中学2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

参考公式：二次函数的顶点坐标为
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．）
1．下列事件中，是随机事件的是（ ）
A．抛掷一枚质量均匀的标有数字的正六面体骰子，朝上的数字为偶数B．三角形任意两边之和大于第三边
C．是实数，D．在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球
2．已知的半径为4，若点是所在平面内的一点，且，则点与的位置关系为（ ）
A．点在上B．点在内C．点在外D．以上都不对
3．把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
4．如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在优弧上．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
5．已知二次函数y＝a(x－1)2＋2，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是( )
A．a＞0B．a＜0
C．a≥0D．a≤0
6．在联欢会上，甲、乙、丙3人分别站在不在同一直线上的三点，，上，他们在玩抢凳子的游戏，要在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子应放的最恰当的位置是的（ ）
A．三条高的交点B．重心C．三条角平分线的交点D．外心
7．如图，，，相交于点，，，，则的长为（ ）
A．3B．8C．9D．12
8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C 的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（ ）

A．70°B．65°C．55°D．35°
9．如图，⊙O被抛物线y=x2所截的弦长AB=4，则⊙O的半径为（ ）．
A．2B．2C．D．4
10．如图，是正方形的一边延长线上一点，分别连接，，与交于点，设的面积为，四边形的面积为，已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．抛物线的对称轴是 ．
12．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有颜色不同)， 其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是 ．
13．已知线段，，则的比例中项线段等于 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则的长为 ．
15．如图，为的直径，长为，以为边作矩形，点在圆上，连接，分别交于点．若为3，为2，则的长为 ．
16．对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
（1）若3是此函数的不动点，则的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分）
17．已知，求下列各式的值．
(1)
(2)
18．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取-张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
19．已知二次函数．
(1)求此二次函数图象的顶点坐标；
(2)当时，求函数值的取值范围．
20．如图，的半径为2，四边形内接于，圆心到的距离等于.
（1）求的长；
（2）求的度数.
21．由36个边长为1的小正方形组成的网格中，线段的两个端点在格点上．
（1）如图1，，也在格点上，连结，相交于点，求的值和的长；
（2）如图2，仅用无刻度直尺在线段上找一点，使得．
22．马屿红糖闻名遐迩，是瑞安市名特产，某经销商将红糖加工成礼盒装出售，经调查统计发现，礼盒装每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元/盒）之间有如下关系：．已知红糖礼盒装每盒的成本为20元，设该经销商每天所获利润为w（元）．
(1)求w关于x的函数表达式．
(2)若礼盒装每天销量不少于220盒，且每盒利润不低于7元，求经销商每天获得的最大利润．
23．和均是等腰直角三角形，其中如图1．开始时，，现在固定将绕着点按顺时针方向旋转（）；
(1)当中的边旋转到与的某条边平行时，旋转角的度数是______；
(2)如图2，连接，，求证：；
(3)若，在的旋转过程中，当，，三点在同一条直线上时，求的度数．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B，点P为抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当的面积与的面积相等时，求点P的坐标；
(3)是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题主要考查事件的分类，熟练掌握随机事件、必然事件及不可能事件是解题的关键；因此此题可根据事件的分类进行求解．
【详解】解：A、抛掷一枚质量均匀的标有数字的正六面体骰子，朝上的数字为偶数，属于随机事件，故符合题意；
B、三角形任意两边之和大于第三边，属于必然事件，故不符合题意；
C、是实数，，属于必然事件，故不符合题意；
D、在一个装着白球和黑球的袋中摸球，摸出红球，属于不可能事件，故不符合题意；
故选A．
2．C
【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外，即可得到结论．
【详解】解：根据点到圆心的距离5，大于圆的半径4，则该点在圆外．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查抛物线图象的平移，左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．熟记相关结论即可．
【详解】解：平移后抛物线的解析式为：，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了垂径定理和圆周角定理，运用垂径定理得出，借助圆周角定理的推论即可解答．
【详解】解：是的一条弦，，
∴，
，
故选：C．
5．B
【分析】根据二次函数y＝a（x−1）2＋2，当x＜1时，y随x的增大而增大，可以得到该二次函数的对称轴，和相应的a的值，从而可以解答本题．
【详解】∵二次函数y＝a（x−1）2＋2，
∴该二次函数的对称轴为直线x＝1，
又∵当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴a＜0，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确在二次函数中，当a＞0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小．
6．D
【分析】本题考查中垂线的判定，根据到线段两端点相等的点在线段的中垂线上，得到凳子是三条中垂线的交点，即可得出结果．掌握中垂线的性质，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得，凳子到三点，，的距离相等，即到三边的端点的距离相等，
∴凳子应该放在三边中垂线的交点上，即的外心上；
故选：D．
7．C
【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
故选C．
8．A
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵将△ABC 绕点 C 逆时针旋转α角到△A′B′C 的位置，
∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，
CB＝CB′，
∴∠CBB′＝∠B′＝55°，
∴∠α＝70°，
故选A.
【点睛】本题考查旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
9．B
【分析】由二次函数的性质以及在Rt△OCB中，利用勾股定理求出OB即可．
【详解】解：如图，连接OB，
∵AB=4，∴BC=2，则点B的横坐标位，y=，x2=2，∴点B的坐标为（2，2），∴OC=2，在Rt△OCB中，BC=2，OC=2,由勾股定理的，OB=2
故选B．
10．B
【分析】先把边长设出来，根据勾股定理找到和正方形边长之间的关系，然后根据三角形相似，对应边成比例，根据三角形面积和四边形面积得到关系式，即可求出．
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程的解法、相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式、梯形的面积公式等知识，根据勾股定理列方程，通过计算求得与正方形的边长之间的关系是解题的关键．
11．直线
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴公式即可求解．掌握抛物线的对称轴是直线是解题的关键．
【详解】对称轴为直线，
即直线．
故答案为：直线．
12．
【分析】首先列举出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】任意摸出一个球，有4种结果，其中1个是黑球，
∴从中任意摸出一个球，是黑球的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握运用概率公式是解答本题的关键．
13．
【分析】本题主要考查比例中项，熟练掌握“若，则称c是a，b的比例中项”是解题的关键；因此此题可根据比例中项进行求解．
【详解】解：∵，，
∴的比例中项线段为；
故答案为：．
14．
【分析】连接OD，先计算出圆心角∠BOD的度数，再由弧长公式即可求解.
【详解】解：连接OD，
∠BOD=180°-2×30°=120°，则弧BD的长为，
故答案为.
【点睛】本题考查了弧长的计算.
15．
【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，直径所对的圆周角是直角等知识，先判断，根据勾股定理求出，再证明，根据相似三角形的性质可求出的长．
【详解】解：∵是的直径，
∴
∵
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16． ； ．
【分析】（1）根据不动点定义当，代入解一元一次方程即可得到答案；
（2）根据不动点定义列方程解出一元二次方程的解，结合及判别式大于0即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
当，，代入可得，
，
解得：，
故答题空1为：；
设函数不动点为n，由题意可得，
，且有两个解，，
解得：，，
且，解得：，
∵，
∴，，
解得：，
故答题空2为：．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解新定义不动点列方程求解．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了比例的性质利用比例性质，设，然后利用代入法计算（1）、（2）两个分式的值．
【详解】（1）∵，
∴设，
∴；
（2）∵，
∴．
18．（1）；（2）
【分析】（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率=抽到是0的可能÷所有可能；
（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两个数的积等于0的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）从中随机抽取一张卡片，正面的数字是0的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两个数的积等于0的结果数为5，
所以两个数的积等于0的概率=；
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
19．(1)
(2)
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）把二次函数的解析式化为顶点式，进而问题可求解；
（2）根据二次函数的性质可进行求解
【详解】（1）解：
，
∴二次函数图象的顶点坐标为；
（2）解：因为且对称轴在的范围内，
所以当时函数值有最大值，最大值为4，
当时函数值有最小值，最小值为，
∴函数值的取值范围是．
20．（1）2；（2）
【分析】（1）过点作于点，根据勾股定理求出CE，即可得出答案；
（2）连接，先求出，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出∠B=30°，即可得出答案．
【详解】（1）过点作于点，如图，
则在中，；，
∴
∴；
（2）连接，如图：
∵由（1）知，在中，，
∴，
∵弧=弧AC，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，掌握这些知识点是解题关键．
21．（1），；（2）见解析
【分析】（1）由，可证，由性质知，由勾股定理求出，利用比例即可求出CO的长；
（2）从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M，构造相似，利用相似比即可求出M满足条件．
【详解】解：（1）由图知：，，
∵，
∴，．
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）从A向左取两个格为E，过B向右取三个格为F，连结EF交AB与点M，
∵AE∥BF，
∴∠A=∠B，∠E=∠F，
∴△AEM∽△BFM，
∴，
如图，点是所求作的点．
【点睛】本题考查网格作图问题，与平行线性质，相似三角形的判定与性质，掌握网格作图经常利用相似或全等解决问题．
22．(1)w＝﹣10x2+800x﹣12000；
(2)经销商每天获得的最大利润是3960元．
【分析】（1）每盒利润乘销售量即是经销商每天所获利润；
（2）根据礼盒装每天销量不少于220盒，且每盒利润不低于7元求出x的范围，再根据二次函数性质即可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：



∴w关于x的函数表达式为；
（2）解：∵礼盒装每天销量不少于220盒，
∴﹣10x+600≥220，解得x≤38，
又每盒利润不低于7元，
∴x﹣20≥7，解得x≥27，
∴27≤x≤38，
∵w＝﹣10x2+800x﹣12000＝﹣10（x﹣40）2+4000，且﹣10＜0，
∴在对称轴直线x＝40左侧，w随x的增大而增大，
∴x＝38时，w最大，最大值是﹣10×（38﹣40）2+4000＝3960，
∴经销商每天获得的最大利润是3960元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列函数关系式．
23．(1)，
(2)见解析
(3)或．
【分析】（1）分2种情况进行讨论：，分别画出图形，计算出度数即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质得出，，即可得出，从而证得；
（3）由（2）可知，，得到或，根据得出，即可得出°或．
【详解】（1）解：当中的边旋转到与的某条边平行时，旋转角的度数是，
①当时，
，
,
,
,
,
,
,
,
.
故答案为：；
②当时，
，
,
,
,
,
，
,
此时点A、D、B三点共线，
。
故答案为：；
∴旋转角的所有可能的度数为，．
（2）∵和均是等腰直角三角形，其中．
,
,
∴，
∴，即，
∴；
（3）分两种情况
情况1：如图3由（2）可知，，
∴
∵，
，
∴，
情况2：如图4，由（2）可知，，
∴
∵，
，
∴，
综上分析可知，或．
【点睛】本题考查了图形变换-旋转，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
24．(1)抛物线的函数表达式为
(2)点P的坐标为
(3)存在，点P的横坐标为或7．
【分析】（1）根据一次函数求出A、C两点坐标，代入解析式求解即可得到答案；
（2）根据A、B、C点坐标即可得到，求出的面积，分点P在下方或上方两类列方程即可得到答案；
（3）由（2）得，作的垂直平分线交于一点F，求得，即，过点作，过点作交于点，得到，即点在直线上，求得直线的解析式，根据一次函数与二次函数交点问题联立方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，，故，
当时，，，故，
将，代入解析式得，
，解得：，
∴；
（2）解：①点P在下方时，如图所示，连接，设，
∴
，
当，解得：，，
故，
∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵的面积与的面积相等，
∴，即，
∵，无解，
②当点P在上方时，如图所示，连接，设，
∴
，
∵的面积与的面积相等，
∴
∴（与B重合，舍去），，
当时，，
∴；
（3）解：∵,，，
∴
∴，
∴是直角三角形，
∴，
如图所示，作的垂直平分线交于一点F，连接，则，
∴
∴，
∵
∴
设，则，
∵，
在中，，
即，
解得：，则
∴
∴
如图所示，过点作，过点作交于点，
则
即，即点在直线上，
∵
∴，
在中，,
∴
过点作轴，
则
∴，
∴,，
∴
设直线的解析式为
即
∴
即，
联立
解得：（舍去），
同理可得
设直线的解析式为
则
解得：
∴
联立
解得：（舍去），
综上，点P的横坐标为或7．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求函数的解析式，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．