五年级奥数——最大最小问题（剖析版）

这是一份五年级奥数——最大最小问题（剖析版），共11页。试卷主要包含了枚举比较法，一个农场里收的庄稼有大豆，一个布袋中有红等内容，欢迎下载使用。
教学目标学会在题目中判断出限制条件；
学会分数知识的综合运用；
从题目限制条件中分析最大最小问题。
知识梳理

在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法：
1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
典例分析

考点一：简单最大最小问题
例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？
【解析】为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。
（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3=72
例2、有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？
【解析】3堆西瓜的总重量是42.5千克，要使最重的一堆尽可能轻些，另两堆就得尽可能重些。
根据42.5÷3=14千克……0.5千克可知：
最重的一堆是14＋0.5=14.5千克，
即由6千克和8.5千克组成，另外两堆分别是14千克。
例3、一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）
【解析】除得65分的同学外，其余5位同学的总分是91×6－65=481分。
根据第三名同学得分要至少，也就说其他四人得分要尽量高，第一、第二名分别得100分和99分，而接近的三个不同分是93、94、95。所以，第三名至少得95分。
例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。现由两个小组分别承包这两项工作，工时如下表（一种庄稼不割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少经过多少小时？
【解析】先把各类庄稼从开工到完工所用的时间分别算出来：大豆7+5=12小时，谷子3+6=9小时，高梁5+1=6小时，小米5+9=14小时。平均每个小组用（12+9+6+14）÷2=20.5小时，但实际做不到。因此，根据各类庄稼所需时间相加，使其最接近20.5小时。
12+9=21小时是最少经过的时间。
例5、A、B、C是三个风景点，从A出发经过B到达C要走18千米，从A经过C到B要走16千米，从B经过A到C要走24千米。相距最近的是哪两个风景点？它们之间相距多少千米？
【解析】根据题意可知，AB+BC=18千米，AC+BC=16千米，AB+AC=24千米，用（18+16+24）÷2就能算出AB+BC+AC=29千米。
因此，AC=29-18=11千米，AB=29-16=13千米，BC=29-24=5千米。
B、C两个风景点的距离最近，只相距5千米。
考点二：数论中的极端思想
例1、1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。那么这两个四位数各是多少？
【解析】8531和7642。高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。
两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。
同理可确定十位和个位数。
例2、有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？
【解析】要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358满足条件．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0。
例3、某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元……100元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？
【解析】为了使货币越少越好，那么9元的货币应该尽量多才行。当有10张9元时，容易看出1、1、3、5这四张加上后就可以满足条件。当9元的货币超过11张时，找不到比14张更少的方案。当9元的货币少于10张时，至少有19元需要由5元以下的货币构成，且1元的货币至少2张，这样也找不到比14张更少的方案。综上分析可以知道，最少需要10张9元的、2张1元的、1张3元的、1张5元的，共14张货币。
例4、a和b是小于100的两个不同的自然数，求 EQ \F(a－b,a+b) 的最大值。
【解析】根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99
EQ \F(a－b,a+b) 的最大值是 EQ \F(99－1,99+1) = EQ \F(49,50)
答： EQ \F(a－b,a+b) 的最大值是 EQ \F(49,50)
例5、有甲、乙两个两位数，甲数 EQ \F(2,7) 等于乙数的 EQ \F(2,3) 。这两个两位数的差最多是多少？
【解析】甲数：乙数= EQ \F(2,3) ： EQ \F(2,7) =7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56。

例6、将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？
【解析】要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。因为1～59中有109个数码，其中有6个9，要想左边保留6个9，必须划掉1～59中的109-6＝103（个）数码，剩下的数码只有192－103=89（个），不合题意，所以左边只能保留5个9，即保留1～49中的5个9，划掉1～49中其余的84个数码。然后，在后面再划掉16个数码，尽量保留大数（见下图）：
所求最大数是9999978596061…99100。
同理，要得到最小的数，左边第一个数是1，之后应尽量保留0。2～50中有90个数码，其中有5个0，划掉其余90-5=85（个）数码，然后在后面再划掉15个数码，尽量保留小数（见下图）：；所求最小数是100000123406162…99100。
考点三：智巧趣题的极端思想
例1、99个苹果要分给一群小朋友，每一个小朋友所分得的苹果数都要不一样，且每位小朋友至少要有一个苹果．问：这群小朋友最多有几位?
【解析】1+2+3+…+13=91＜99，1+2+3+…+14=105＞99，说明若13位各分得1，2，3，…，13个苹果，未分完99个，若14位各分得1，2，3，…，14个苹果，则超出99个．因91+8=99，在13位上述分法中若把剩下的8个苹果分别加到后8位人上，就可得合题意的一个分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12，13，14个。所以最多有13位小朋友。(注：13人的分法不唯一)
例2、某学校，星期一有15名学生迟到，星期二有12名学生迟到，星期三有9名学生迟到，如果有22名学生在这三天中至少迟到过一次，则这三天都迟到的学生最多有多少人？
【解析】三天都迟到的要尽量多，则将迟到的22人次分为仅迟到一次和三天都迟到的。可求出三天都迟到的学生最多有：
(15+12+9-22)÷2=7(人)。
例3、如图，司机开车按顺序到五个车站接学生到学校，每个站都有学生上车。第一站上了一批学生，以后每站上车的人数都是前一站上车人数的一半。车到学校时，车上最少有多少学生？
【解析】因为每个站都有学生上车，所以第五站至少有1个学生上车．假如第五站只有一个学生上车，那么第四、三、二、一站上车的人数分别是2，4，8，16个．因此五个站上车的人数共有1+2+4+8+16=31(人)，很明显，如果第五站有不止一个学生上车，那么上车的总人数一定多于31个。所以，最少有31个学生。
例4、若干名家长（爸爸或妈妈，他们都不是老师）和老师陪同一些小学生参加某次数学竞赛，已知家长和老师共有22人，家长比老师多，妈妈比爸爸多，女老师比妈妈多2人，至少有1名男老师，那么在这22人中，爸爸有多少人？
【解析】家长比老师多，所以老师少于22÷2=11人，即不超过10人；相应的，家长就不少于12人。在至少12个家长中，妈妈比爸爸多，所以妈妈要多于12÷2=6人，即不少于7人。因为女老师比妈妈多2人，所以女老师不少于9人。但老师最多就10个，并且还至少有1个男老师，所以老师必定是9个女老师和1个男老师，共10个。那么，在12个家长中，就有7个是妈妈。所以，爸爸有12-7=5人。
例5、三个数字能组成6个不同的三位数。这6个三位数的和是2886。求所有这样的6个三位数中的最小的三位数。
【解析】因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次。所以，2886÷222能得到三个数字的和。
设三个数字为a、b、c，那么6个不同的三位数的和为
abc+acb+bac+bca+cab+cba
＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2
＝（a+b+c）×222
＝2886
即a+b+c＝2886÷222＝13
答：所有这样的6个三位数中，最小的三位数是139。
实战演练

课堂狙击
1、两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？
【解析】将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：
15=1+14，1×14=14；
15=2+13，2×13=26；
15=3+12，3×12=36；
15=4+11，4×11=44；
15=5+10，5×10=50；
15=6+9，6×9=54；
15=7+8，7×8=56。
由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。
结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。
2、设自然数n有下列性质：从1、2……n中任取50个不同的数，其中必有两数之差等于7，这样的n最大不能超过多少？
【解析】当n=98时，将1、2……98按每组中两数的差为7的规则分组：{1，8}、{2、9}、……{7，14}、{15，22}……{90，97}、{91、98}。一共有49组，所以当任取50个数时，必有两个数在同一组，他们的差等于7。当n=99时，取上面每组中的前一个数，即1、2……7、15……21、29……35、43……49、57……63、71……77、85……91和99一共是50个数，而它们中任2个的差不为7。因此n最大不能超过98。
3、设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求 EQ \F(x－y,x+y) 的最大值。
【解析】 EQ \F(99,101)
4、有甲、乙两个两位数，甲数的 EQ \F(3,10) 等于乙数的 EQ \F(4,5) 。这两个两位数的差最多是多少？
【解析】甲、乙两数的比是8：3，甲数最大是96 ，差最大是60。

5、在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。要求：（1）算式的结果等于37；
（2）这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能地大。那么，这些减数的最大乘
积是多少？
【解析】把10个数都添上加号，它们的和是55，如果把其中一个数的前面的加号换成减号，使这个数成为减数，那么和数将要减少这个数的2倍。因为55-37＝18，所以我们变成减数的这些数之和是18÷2=9。对于大于2的数来说，两数之和总是比两数乘积小，为了使这些减数的乘积尽可能大，减数越多越好（不包括1）。9最多可拆成三数之和2＋3＋4=9，因此这些减数的最大乘积是2×3×4＝24，添上加、减号的算式是：10 ＋ 9＋ 8＋ 7 ＋ 6＋ 5- 4- 3- 2 ＋1＝37。
6、149位议员中选举一位议长，每人可投一票。候选人是A，B，C三人。开票中途，A已得45票，B已得20票，C已得35票。如果票数最多者当选，那么A至少再有多少票才能一定当选？
【解析】由题意得：45+20+35=100，还有149-100=49(票)。
45-35=10，如果49票中有10票都给C，49-10=39；
那么A至少还要有20票才能当选。
7、某班学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2，已知班上任意两人的年龄差都不超过3。那么这班学生中年龄最大的能是多少岁？如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人？
【解析】因为全班50人的年龄总和比平均12岁的年龄总和多(12.2-12)×50=10(岁)，
所以年龄最大的能是12+3=15(岁)。
如果有人年龄达到15岁，那么剩下的49人的年龄和比平均12岁的年龄和多10—3=7(岁)；
所以最多有7人的年龄大于12岁，小于15岁。
8、阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就座，某些排坐着的人数就一样多。我们希望人数一样的排数尽可能少，这样的排数至少有多少排？
【解析】至少有4排。如果10排人数各不相同，那么最多坐：16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=115(人)；
如果最多有2排人数一样，那么最多坐：(16+15+14+13+12)×2=140(人)；
如果最多有3排人数一样，那么最多坐：(16+15+14)×3+13=148(人)；
如果最多有4排人数一样，那么至多坐：(16+15)×4+14×2=152(人)。148