2024重庆市渝北中学高三上学期12月月考试题数学含答案

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单项选择题
8. 解：函数的定义域为，由，得，
所以，令，
由题意知，函数和函数的图象，
一个在直线上方，一个在直下方，
等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，递增，当时，递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上递增，在上递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上递减，在上递增，
所以，所以即，
所以，即的取值范围为．故选A.
多项选择题
12．解：因为为偶函数，则，两边求导得，
所以为奇函数，因为，，
所以，故，所以，
即的周期且，则，故A错误；
在，中，
令，可得，所以，故B正确；
由，令，可得，
则，则，即，所以，故D错误；
在中，令得，，
在中，令得，，
两式相加得，即，故C正确. 故选：BC.
三、填空题
13． 14. 15 15． 16．
解： 平面内动点P满足，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
因为，由勾股定理可得：，
所以，且，
所以，所以，

，
，
，
又向量是长度为的一个向量，由此可得，点P在圆上运动，
当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，
故的最小值为.
四、解答题
17．解：（1）由，得，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
即，即，
所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）得，
当为偶数时，
；
当为奇数时，
；
综上所述，；
18. 解：（1）∵，根据正弦定理得，，
即，
所以，因为，
所以，所以，
因为，所以．
因为，，，根据余弦定理得
，∴．
∵，∴．
在中，由正弦定理知，，∴，
∴，，所以
，
19．解：（1） 记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，
由题意知，，
，
又事件互斥，则，
即，
即居民甲第一项测试“通过”的概率是.
（2） 由居民乙获一等奖的概率为，可知.
则.
令，
当时，；当时，.
所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.
所以. 所以的最小值为.
20．（1）证明：设，交于点O，连接，，，
因为，，，
所以，所以，
又因为O为正方形的对角线交点，
即O是线段的中点，所以，
又因为四边形为正方形，所以，
又因为，平面，所以平面．
（2）解： ∵底面是正方形，，∴，，
又，，∴为等边三角形，
∵O为中点，∴，
又，平面，∴平面，
∴，，两两互相垂直，
以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图，∴，，，
所以，
，
设平面的法向量，
则，即，
令，则，，
∴，
取平面的法向量，
设平面与平面所成夹角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
21．解：（1）双曲线的焦点为，，
则，即，
又点在椭圆上，
则，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）由题意，设直线的方程为，则，
设，，则，直线的方程为：，
令，得点的横坐标为，
联立，整理得，
则，解得或，
，，
则，
从而，
当且仅当，即时等号成立，
所以的取值范围为.
（1）解： ∵，∴，，
∴曲线在点处的切线方程为.
（2）证明： 由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根.
由，知，
令，则，
当时，，在上单调递增;
当时，，在上单调递减.
所以.
因为有两个零点，即，得.
因为实数是的两个根，
所以，从而.
令，，则，变形整理得.
要证，则只需证，即只要证，
结合对数函数的图象可知，
只需要证，两点连线的斜率要比，
两点连线的斜率小即可.
因为，所以只要证，
整理得.
令，
则，
所以在上单调递减，即，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
D
C
D
C
B
A
题号
9
10
11
12
答案
AD
AC
ACD
BC