石家庄市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)，共24页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、在空间直角坐标系中,点关于x轴对称点的坐标是( )
A.B.C.D.
2、已知直线的倾斜角的余弦值为,则实数m的值为( )
A.B.C.D.
3、已知,,,则在方向上的投影向量为（）
A.B.
C.D.
4、开普勒第一定律也称椭圆定律,轨道定律,其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点,H绕太阳的运动轨迹近似成曲,行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离,距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米）,近日点距离和远日点距离之积是16,则( )
A.B.C.34D.88
5、若构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是( )
A.,,B.,,
C.,,D.,,
6、不论k为任何实数,直线恒过定点,若直线过此定点其中m,n是正实数,则的最小值是( )
A.B.C.D.
7、已知圆与圆有两条公切线,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
8、如图,,分别是双曲线的左、右焦点,点P是双曲线与圆在第二象限的一个交点,点Q在双曲线上,且,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列命题正确的是( )
A.直线与直线之间的距离是
B.已知空间向量,,且,则实数
C.已知,,若直线与线段AB有公共点,则
D.与圆相切,且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条
10、如图,在三棱柱中,M,N分别是,上的点,且,．设,,,若,,,则下列说法中正确的是( )
A.B.
C.D.
11、画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆,我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为,,分别为椭圆的左､右焦点,A,B为椭圆上两个动点.直线l的方程为.下列说法正确的是( )
A.C的蒙日圆的方程为
B.对直线l上任意点P,
C.记点A到直线l的距离为d,则的最小值为
D.若矩形MNGH的四条边均与C相切,则矩形MNGH面积的最大值为
12、在棱长为2的正方体中,下列结论正确的有( )
A.若E为的中点,则
B.点P在正方形ABCD内运动（含边界）,若,则的最小值为
C.点在正方形ABCD内运动（含边界）,若,则直线与直线所成角的余弦值的最大值为
D.已知过点C的平面,M为的中点,且,若,且,则Q点的轨迹长度为
三、填空题
13、已知直线与曲线有且只有一个公共点,则k的取值范围为__________．
14、已知圆锥PO（P为圆锥顶点,O为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q,满足,则的最小值为_____________．
15、某休闲广场呈椭圆形,在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯A,B,C,其中灯B位于灯A的正东400m处.小王沿着该休闲广场的边沿散步,在散步的过程中,他与灯B的最短距离为50m.当小王行走到点M处时,他与灯A,B的距离之比为,则此时他与灯C的距离为____________m.
16、已知A,B是圆上不同的两个动点,,O为坐标原点,则的取值范围是____________．
四、解答题
17、已知三条直线,,．
（1）若,且过点,求a、b的值;
（2）若,且、、三条直线能围成三角形,求a的取值范围．
18、如图,在四棱锥中,底面ABCD,,底面ABCD为直角梯形,,,,点E在棱PA上,且．
（1）证明：平面EBD;
（2）求直线PD与平面EBD所成角的余弦值．
19、已知圆,．
（1）证明：圆C过定点．
（2）当时,过作圆C的两条切线,切点分别为A,B,求直线AB的方程;
（3）当时,若直线与圆C交于M,N两点,且,其中O为坐标原点,求k的取值范围．
20、椭圆的左,右焦点分别为,,右上顶点分别为A,B,离心率为,点在椭圆上
（1）求椭圆的标准方程;
（2）若C,D在椭圆上,且．记直线AC,BD的斜率分别为,,求证：为定值．
21、2023年9月23日,杭州第19届运动会开幕式现场,在AP技术加持下,寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起,溢满整个大莲花场馆,融汇为点点星河流向远方,绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩,是一种古老的汉族传统工艺品,经过数千做年的发展,灯笼也发展出了不同的地域风格,形状也是千姿百态,每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．现将一个圆柱形的灯笼切开,如图所示,用平面表示圆柱的轴截面,BC是圆柱底面的直径,O为底面圆心,E为母线的中点,已知为一条母线,且．
（1）求证：平面平面;
（2）求二面角的余弦值．
22、在平面直角坐标系中,有两个圆,和圆,一动圆Р与两圆一个内切,一个外切．
（1）求动圆圆心P的轨迹C的方程;
（2）若直线与曲线C有两个不同的交点A,B,O是坐标原点,求的面积最小值．
参考答案
1、答案：C
解析：在空间直角坐标系中,点关于x轴对称的点坐标为,
故选：C．
2、答案：A
解析：由题意可知直线的斜率一定存在,
设直线倾斜角为,则斜率为,
由,得,因此．
故选：A．
3、答案：D
解析：因为,,,
所以,,
所以．
因为,
所以,
故在上的投影向量为．
故选：D.
4、答案：C
解析：由曲线的方程为椭圆,可得长半轴,
则半焦距,
近日点距离为,远日点距离为,
近日点距离和远日点距离之和是,
近日点距离和远日点距离之积是,
解得,,则．
故选：C.
5、答案：B
解析：A选项,因为,故,,不共面,A错误;
B选项,设,
故,无解,故,,不共面,B正确;
C选项,设,
则,解得,故,,共面,C错误;
D选项,,
则,解得,
故,,共面,D错误.
故选：B.
6、答案：B
解析：由直线,
得：,即恒过点,
因为直线过此定点,其中m,n是正实数
所以,
则,
,
当且仅当时取等号;
故选：B.
7、答案：D
解析：圆与圆有两条公切线,所以圆M与N圆相交,
圆M的圆心为,半径为,圆N的圆心为,半径为．
依题意可得,
即,
即,解得．
故选：D.
8、答案：D
解析：由题意知,,连接,设,设,
由双曲线的定义可得,
点P是双曲线与圆在第二象限的一个交点,
可得,则,即,
在中,,
由,则,由双曲线的定义可得,
因为,故,所以,
在中,,
由余弦定理可得：,
即,所以,
结合,可得,
所以,故
所以双曲线的离心率为e,则,
故选：D.
9、答案：BC
解析：对于A中,直线,可化为,
由两平行直线的距离,所以A错误;
对于B中,由空间向量,,
因为,可得,解得,所以B正确;
对于C中,由,可得,则直线l恒过定点,
因为,,
结合图象,可得,所以,所以C正确;
对于D中,当直线过原点时,显然切线存在斜率,设方程,
圆心到直线的距离等于半径,即,解得,
所以直线方程为或,
当直线不过原点时,设直线方程为,圆心到直线的距离等于半径,
即,解得,此时直线方程为,
综上所述,与圆相切,且在x轴、y轴上的截距相等的直线有四条,所以D错误．
故选：BC.
10、答案：AC
解析：因为,,
所以,,
所以,故A正确;
因为,,,
所以,
所以,故B错误;
因为,,
所以,
因为,所以,
,所以,
所以,故C正确;
因为,,
所以,故D错误．
故选：AC.
11、答案：AD
解析：对于A,过可作椭圆的两条互相垂直的切线：,,
在蒙日圆上,蒙日圆方程为：;
由得：,
C的蒙日圆方程为：,A正确;
对于B,由l方程知：l过,又P满足蒙日圆方程,在圆上,
过,当A,B恰为过P作椭圆两条互相垂直切线的切点时,,B错误;
对于C,A在椭圆上,,
;
当时,取得最小值,最小值为到直线l的距离,
又到直线l的距离,
,C错误;
对于D,当矩形MNGH的四条边均与C相切时,蒙日圆为矩形MNGH的外接圆,
矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径,
设矩形MNGH的长和宽分别为x,y,则,
矩形MNGH的面积（当且仅当时取等号）,
即矩形MNGH面积的最大值为,D正确.
故选：AD.
12、答案：ABD
解析：对于A选项,（法一）平面,
,
在正方体中,以点D为原点,DA,DC,所在直线分别为x轴,y轴,z轴
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,,
设平面的一个法向量为,则,
取,则,,得,
则点E到平面的距离为：,
而,,
,,故A正确;
（法二）都以作为底面,
三棱锥的高即为点B到平面距离,
三棱锥的高即为点到平面距离,
,平面,平面,
所以平面,即,得,故A正确;
对于B选项,若,连接DP,平面ABCD,则为直角三角形,
又, ,
即点P在以D为圆心,DP为半径的圆上,此时点P的轨迹为弧,
,故B正确;
对于C选项,按照A选项的建系方法,连接AC,BD,,,
则,,,,
设,x,,则,,
当,有,
则,此时,又,,
设直线与直线所成角为,
当时,有最大值,此时,故C错误．
对于D选项,按照A选项的建系方法,设,,
,
,
,
Q的轨迹是以为球心,为半径的球面,
由,,则是平面的一个法向量,
又因为,,
球心E到平面的距离,
平面截球面的截面圆的半径为,
Q点的轨迹长度为,故D正确;
故选：ABD.
13、答案：
解析：由,即,
所以直线l过定点,
由,即,
所以曲线为原点为圆心,3为半径的上半圆,
如图所示,设与曲线相切于点C,
曲线与x轴负半轴交于点,
则,
由,解得,可得,
要使直线与曲线有且只有一个公共点,
则或,
即k的取值范围为.
故答案为：．
14、答案：
解析：因为,
所以,,
所以,,共面,
又A,B,C为底面圆周上三点,所以点Q为平面ABC上一点,
由已知平面ABC,
所以,
又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形,所以,
所以的最小值为,
故答案为：.
15、答案：
解析：以点C为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
设椭圆的方程为,且,
由小王与灯B的最短距离为50m,得,
又因为,则,
由于点M与灯A,B的距离之比为,可设点M与灯A,B的距离分别为3k,2k,,
由椭圆的定义可知,解得,
即,,
由余弦定理可得,
因为C为AB的中点,则,
可得得,
即,所以此时小王与灯C的距离为.
故答案为：.
16、答案：
解析：因为,所以圆M的圆心坐标,半径,
设圆心到直线AB的距离为d,由圆的弦长公式,可得,
即,解得,
设AB的中点为N,,
所以点N的轨迹表示以为圆心,以为半径的圆,
所以点N的轨迹方程为,
则,
又因为,所以,
即,即的取值范围为．
故答案为：．
17、答案：（1）或
（2）
解析：（1）因为：,：,且,所以,
又直线过点,所以,所以,
即,即,解得或
所以或;
（2）因为,则,,
①当时,由得,
此时为,为,为,都与相交,不能构成三角形;
②当时,由得,此时为,为,为,都与相交,不能构成三角形;
③当时,由得,此时为,为,为,都与相交,不能构成三角形;
④当,,交于一点时,,则由,解得
所以与的交点,将M代入到方程得,解得;
综上所述：时,,,三条直线能围成三角形时a的取值范围为．
18、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）底面ABCD,底面ABCD,,
,,PB,平面PBD,平面PBD,
平面PBD, ,
底面ABCD为直角梯形,,,,
在直角三角形ABD中,,,
在直角三角形CBD中,,,
设,连接AC,EG,则,
,
又平面EBD,平面EBD, 平面EBD;
（2）底面ABCD,BC,底面ABCD, ,,
底面ABCD为直角梯形,
以B为坐标原点,BC,BA,BP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
,,,
,
设平面EBD的一个法向量为, ,
取,则,,
则平面EBD的一个法向量为,
设直线PD与平面EBD所成角大小为,,
,,
得,
故直线PD与平面EBD所成角的余弦值为．
19、答案：（1）圆C过定点,且定点的坐标为
（2）
（3）
解析：（1）由圆的方程,
可得,即,
令,可得,解得,
所以圆C过定点,且定点的坐标为.
（2）当时,圆C的标准方程为,
可得,且,
根据切线的性质知,过P作圆C的两条切线的切点A,B,都在以PC为直径的圆上,
设PC中点为D,即为圆心,因为且,可得,且,
则以PC为直径的圆方程为,即,
又因为AB为圆C和圆D的公共弦,两圆方程相减得直线AB得方程为．
（3）当时,圆C的标准方程为,即,
将代入,整理得,
则恒成立,
设,,则,,
所以
,
整理得,解得,所以k的取值范围是.
20、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）设椭圆的左,右焦点分别为,,
由题意可知,所以①
又因为点在椭圆上,
所以②
由①,②,解得,,
所以椭圆的标准方程为.
（2）由椭圆方程可知,,,设,,
因为,
所以,
设直线CD的方程为,
由得,
,解得,
,,
所以,
,
所以
,
故为定值.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）因为,
平面ABC,BC是圆柱底面的直径,
所以,则,,
,
则有,所以;
又E为的中点所以,,,,
则有,所以;
又,所以平面AEO,平面,
所以平面平面;
（2）由题意可知,平面ABC,,
以A为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,
则,,,,,
,,．
由（1）知,平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为,,,
则,取,则,
所以,
因为二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.
22、答案：（1）
（2）
解析：（1）圆与圆的圆心分别为,半径均为1,
令动圆P的半径为r,显然,当圆P与圆内切时,,即,
当圆P与圆内切时,,即,于是,
因此动圆圆心P的轨迹C是以,为左右焦点,实轴长为2的双曲线,其虚半轴长为1,
所以动圆圆心P的轨迹C的方程为.
（2）由消去y并整理得：,由,知,
设,则,
,
直线交y轴于点,则的面积
,于是对是递减的,
因此当时,,
所以当时,的面积取得最小值.