四川省成都七中育才学校学道分校2023—-2024学年上学期12月月考九年级数学试卷

这是一份四川省成都七中育才学校学道分校2023—-2024学年上学期12月月考九年级数学试卷，共39页。

A．B．
C．D．
2．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝5
3．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）
4．（4分）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3B．5C．10D．12
5．（4分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2），点C（5，y3）均在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
7．（4分）如图，在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC为（ ）
A．2B．C．D．5
二.填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围为 ．
10．（4分）已知函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，则m＝ ．
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则△OMN的面积为 ．
12．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在以AB为直径的圆上，则tan∠ADC＝ ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为 ．
三.解答题（共48分）
14．（6分）（1）计算：|tan60°﹣1|﹣+（2023﹣π）0+（）﹣1；
（2）解方程：（x﹣3）2+2x﹣6＝0．
15．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是 ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现需从D类的4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，这四人中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
16．（8分）成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，在观测点C测得建筑物底部B的俯角为14°，观测点C与建筑物的水平距离CD为120米，且AB垂直于CD（点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长．（结果精确到1米；参考数据sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
17．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．
18．（10分）如图，函数y＝（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则＝ ．
20．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝4，△DOE的面积为5，则AE的长为 ．
21．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝ ．
22．（4分）如图，点A在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，直线AC交y轴于点D，连接OC，以OA，OC为邻边作▱OABC，连接OB交AC于点E，若＝，△BDE的面积是10，则k的值为 ．
23．（4分）如图，在▱ABCD中，BC＝11，对角线AC＝4，tan∠ACB＝，点E是线段BC上的动点，连接AE，过点A作AP⊥AE，在射线AP上取点F，使得∠AFE＝∠ACB，连接EF，则△ABF周长的最小值为 ．
二、解答题：（共30分）
24．（8分）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥线段AC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，求线段DE的最大值；
（3）如图2，连接CD、BC，当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，求点D的横坐标．
26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，
（1）如图1，当AP⊥BD时，求BP的长；
（2）如图2，当BP＝1时，将线段AP对折使A、P重合，折痕分别交线段DC、DB、AP、AB于点M，G，F，N，连接FC．求tan∠CFM的值；
（3）如图3，若将线段AP对折使A、P重合后，折痕恰好过点D，连接PD交FC于点Q，求；
（4）如图4，在（3）的条件下，线段DF、DP上有两个动点T1、T2，请直接写出QT1+T1T2的最小值．
2023-2024学年四川省成都七中育才学校学道分校九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题4分，共32分）
1．（4分）一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【解答】解：从上边看，可得选项A的图形．
故选：A．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图：画简单组合体的三视图要循序渐进，通过仔细观察和想象，再画它的三视图．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．
2．（4分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0时，配方得（ ）
A．（x﹣2）2＝1B．（x﹣2）2＝5C．（x﹣4）2＝1D．（x﹣4）2＝5
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝5，
∴（x﹣2）2＝5．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：掌握用配方法解一元二次方程的步骤．
3．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标（ ）
A．（﹣3，4）B．（﹣2，3）C．（﹣5，4）D．（5，4）
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．
【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，
∴AB＝5，
∴DO＝4，
∴点C的坐标是：（﹣5，4）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．
4．（4分）一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球3个，这些球除颜色不同其余都相同，每次搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验发现，摸到红球的频率稳定在0.3附近，则可以估算出m的值为（ ）
A．3B．5C．10D．12
【分析】用红球的个数除以红球频率的稳定值即可．
【解答】解：由题意知，m的值约为3÷0.3＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
5．（4分）如图，已知Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理求出AC，再根据锐角三角函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：在Rt△ABC，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，
AC＝＝＝4，
∴sinA＝＝，csB＝＝，tanA＝＝，sinB＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键．
6．（4分）已知点A（﹣1，y1），点B（2，y2），点C（5，y3）均在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2
【分析】由抛物线解析式可知图象开口向上，对称轴为直线x＝1，根据离对称轴水平距离越远，函数值越大求解可得．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3中a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴离对称轴水平距离越远，函数值越大，
∵2﹣1＜1﹣（﹣1）＜5﹣1，
∴y2＜y1＜y3．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．
7．（4分）如图，在⊙O中，直径AB＝15，弦DE⊥AB于点C，若OC：OB＝3：5，则DE的长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【分析】根据题意求出OC，再由垂径定理得CD＝CE，然后由勾股定理求出CD＝6，即可求解．
【解答】解：∵直径AB＝15，
∴OD＝OB＝，
∵OC：OB＝3：5，
∴OC＝，
∵DE⊥AB，
∴CD＝CE，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD＝＝＝6，
∴DE＝2CD＝12，
故选：C．
【点评】本题考查的是垂径定理以及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出CD的长是解题的关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D为AC上一点，连接BD，且BD＝BC＝4，则DC为（ ）
A．2B．C．D．5
【分析】如图，作BE⊥AC于E．设EC＝DE＝x，则有：BE2＝AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，由此构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：如图，作BE⊥AC于E．
∵BD＝BC，BE⊥CD，
∴EC＝DE，设EC＝DE＝x，
则有：BE2＝AB2﹣AE2＝BC2﹣EC2，
∴62﹣（6﹣x）2＝42﹣x2，
解得x＝，
∴CD＝2EC＝，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
二.填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个实数根，则实数k的取值范围为 k≥ ．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：根据题意得，Δ＝（2k+1）2﹣4k2
＝4k+1≥0，
∴k≥，
故答案为：k≥
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
10．（4分）已知函数y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，则m＝ 3 ．
【分析】根据反比例函数的定义y＝kx﹣1（k≠0）的形式求出m的值．
【解答】解：由y＝（m+3）x|m|﹣4是反比例函数，得
|m|﹣4＝﹣1，且m+3≠0．
解得m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式，注意k≠0．
11．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，对角线AC，BD交于点O，点M，N分别为OB，OC的中点，则△OMN的面积为 ．
【分析】利用相似三角形的性质求出△OMN的面积即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD＝AB•AD＝12，
∵OA＝OC＝OB＝OD，
∴S△OBC＝S矩形ABCD＝3，
∵OM＝MB，ON＝NC，
MN∥BC，MN＝BC
∴△OMN∽△OBC，
∴＝（）2＝，
∴S△OMN＝，
故答案为．
【点评】本题考查矩形的性质，三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（4分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，点D在以AB为直径的圆上，则tan∠ADC＝ ．
【分析】根据图形求出AC和BC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再解直角三角形求出tan∠ABC即可．
【解答】解：由图可知：AC＝3，BC＝2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB＝90°，
由圆周角定理得：∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理和解直角三角形，能熟记圆周角定理是解此题的关键，注意：直径所对的圆周角是直角．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为 4 ．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由作图可知，BP为∠ABC的平分线，即可得CD＝DE，在Rt△ADE中，可得AD＝2DE，进而可得3DE＝12，即可得出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
由作图可知，BP为∠ABC的平分线，
∵∠C＝90°，
∴CD＝DE，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
∴AD＝2DE，
∵AC＝12，
∴AD+CD＝AD+DE＝3DE＝12，
∴DE＝4，
∴在△ABD中AB边上的高为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，熟练掌握含30度角的直角三角形、角平分线的性质是解答本题的关键．
三.解答题（共48分）
14．（6分）（1）计算：|tan60°﹣1|﹣+（2023﹣π）0+（）﹣1；
（2）解方程：（x﹣3）2+2x﹣6＝0．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂的意义计算，再去绝对值和化简，然后合并即可；
（2）先录用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣3+2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）原式＝|﹣1|﹣2+1+2
＝﹣1﹣2+1+2
＝2﹣；
（2）（x﹣3）2+2x﹣6＝0，
（x﹣3）2+2（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（x﹣3+2）＝0，
x﹣3＝0或x﹣3+2＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
15．（8分）2021年，“碳中和、碳达峰”成为高频热词．为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
（1）参加这次调查的学生总人数为 40 人；
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是 108° ；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）现需从D类的4名学生中随机抽取2名作为“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，这四人中，1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【分析】（1）用A类别的人数除以其所占的百分比可得参加这次调查的学生总人数．
（2）用360°乘以本次调查中B类别的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）求出C类别的人数，补全条形统计图即可．
（4）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的2名学生来自不同年级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）参加这次调查的学生总人数为6÷15%＝40（人）．
故答案为：40．
（2）扇形统计图中，B部分扇形所对应的圆心角度数是360°×＝108°．
故答案为：108°．
（3）C类别的人数为40﹣6﹣12﹣4＝18（人）．
补全条形统计图如图所示．
（4）将1名来自七年级的学生记为A，1名来自八年级的学生记为B，2名来自九年级的学生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽到的2名学生来自不同年级的结果有：AB，AC，AD，BA，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共10种，
∴抽到的2名学生来自不同年级的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
16．（8分）成都新世纪环球中心被誉为亚洲第一大单体建筑，可容纳20个悉尼歌剧院，3个五角大楼．某校开展综合实践活动，测量环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长，如图，在观测点C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，在观测点C测得建筑物底部B的俯角为14°，观测点C与建筑物的水平距离CD为120米，且AB垂直于CD（点A，B，C，D在同一平面内）．求环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长．（结果精确到1米；参考数据sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25，≈1.73）
【分析】根据正切的定义求出AD、BD，进而即可求得AB．
【解答】解：∵AB垂直于CD，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ADC中，CD＝120米，∠ACD＝30°，
tan∠ACD＝，
∴AD＝CD•tan∠ACD＝120×＝40（米），
在Rt△BDC中，CD＝120米，∠BCD＝14°，
tan∠BCD＝，
∴DB＝CD•tan∠BCD≈120×0.25＝30（米），
∴AB＝AD+DB＝30+40≈99（米），
答：环球中心主体顶端A离地面的高度AB的长约为99米．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC，垂足为D，连接AD，过点A作⊙O的切线与DO的延长线相交于点E．
（1）求证：∠B＝∠E；
（2）若⊙O的半径为4，OE＝6，求AD的长．
【分析】（1）先垂直的定义得到∠ODB＝90°，根据切线的性质得到∠OAE＝90°，然后根据等角的余角相等可得到结论；
（2）连接AC，如图，先利用勾股定理计算出AE＝2，再根据圆周角定理得到∠C＝90°，接着证明△ABC∽△OEA，则利用相似比可计算出AC＝，BC＝，然后根据垂径定理得到CD＝BD＝，最后利用勾股定理可计算出AD的长．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∵AE为⊙O的切线，
∴AB⊥AE，
∴∠OAE＝90°，
∵∠BOD＝∠AOE，
∴∠B＝∠E；
（2）解：连接AC，如图，
在Rt△AOE中，AE＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝∠E，∠C＝∠OAE，
∴△ABC∽△OEA，
∴＝＝，即＝＝，
解得AC＝，BC＝，
∵OD⊥BC，
∴CD＝BD＝BC＝，
在Rt△ACD中，AD＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
18．（10分）如图，函数y＝（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（，2n﹣3）两点．
（1）求n和k的值；
（2）将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x轴于点D，交y轴于点E，交y＝（x＞0）于点C，若S△ACO＝6，求直线DE解析式；
（3）在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式列出n、k的方程组便可求得n、k的值；
（2）由A点坐标求得直线OA的解析式，设C（m，），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，根据S△ACO＝6，列出m的方程求得C点坐标，由平移性质设直线DE的解析式，再代入C点坐标便可求得结果；
（3）先求出D、E的坐标，再分三种情况：①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，分别构造全等三角形求得F点坐标便可．
【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象过点A（n，2）和B（，2n﹣3）两点．
∴，
解得，；
（2）由（1）知，A（4，2），
设直线OA的解析式为y＝ax（a≠0），则
2＝4a，
∴a＝，
∴直线OA的解析式为：y＝，
由（1）知反比例函数的解析式为：y＝，
设C（m，），过C作CH⊥x轴与OA交于点H，如图1，
则H（m，m），
∴CH＝，
∵S△ACO＝6，
∴，
解得，m＝﹣8（舍），或m＝2，
∴C（2，4），
∵将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，
∴设直线DE的解析式为：y＝x+c，
把C（2，4）代入y＝x+c中，得4＝1+c，
解得，c＝3，
∴直线DE的解析式为：y＝x+3；
（3）令x＝0，得y＝x+3＝3，
令y＝0，得y＝x+3＝0，解得x＝﹣6，
∴D（﹣6，0），E（0，3），
①当∠EDF＝90°，DE＝DF时，如图2，过F作FG⊥x轴于点G，
∵∠ODE+∠FDG＝∠ODE+∠OED＝90°，
∴∠OED＝∠GDF，
∵∠DOE＝∠FGD＝90°，DE＝FD，
∴△ODE≌△GFD（AAS），
∴DG＝0E＝3，FG＝DO＝6，
∴F（﹣9，6）；
②当∠DEF＝90°，DE＝EF时，如图3，过F作FG⊥y轴于点G，
∵∠ODE+∠DEO＝∠GEF+∠OED＝90°，
∴∠ODE＝∠GEF，
∵∠DOE＝∠FGE＝90°，DE＝EF，
∴△ODE≌△GEF（AAS），
∴EG＝DO＝6，FG＝EO＝3，
∴F（﹣3，9）；
③当∠DFE＝90°，DF＝EF时，如图4，过点F作FG⊥x轴于点G，作FH⊥y轴于点H，
∴∠DFE＝∠GFH＝90°，
∴∠DFG＝∠EFH，
∵∠DGF＝∠EHF＝90°，DF＝EF，
∴△DGF≌△EHF（AAS），
∴GF＝HF，DG＝EH，
∵∠FGO＝∠GOH＝∠OHF＝90°，
∴四边形OGFH为正方形，
∴OG＝OH，即6﹣DG＝3+EH，
∴DG＝EH＝，
∴OG＝OH＝，
∴F（）；
综上，第二象限内存在点F，使得△DEF为等腰直角三角形，其F点的坐标为（﹣9，6）或（﹣3，9）或（﹣）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法，三角形的面积，平移的性质，一次函数的图象与性质，全等三角形的性质与判定，第（3）题的关键在于构造全等三角形和分情况讨论．
一、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）已知a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，则＝ ﹣1 ．
【分析】利用根与系数格线判断出a+b＝，ab＝﹣，再利用整体代入的射线求解．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程3x2﹣x﹣1＝0的两根，
∴a+b＝，ab＝﹣，
∴+＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
20．（4分）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB＝4，△DOE的面积为5，则AE的长为 3 ．
【分析】连接BE，由矩形的性质得∠BAD＝90°，OB＝OD，则OE垂直平分BD，可证明S△BOE＝S△DOE＝5，则S△BDE＝10，所以×4DE＝S△BDE＝10，则BE＝DE＝5，由勾股定理得AE＝＝3，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接BE，
∵四边形ABCD是矩形，对角结AC、BD相交于点O，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，
∵OE⊥BD，
∴OE垂直平分BD，S△BOE＝OB•OE＝OD•OE＝S△DOE＝5，
∴S△BDE＝S△BOE+S△DOE＝10，
∵AB⊥DE，AB＝4，
∴×4DE＝S△BDE＝10，
∴BE＝DE＝5，
∴AE＝＝＝3，
故答案为：3．
【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
21．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝ ．
【分析】首先作直径AE，连接CE，易证得△ABH∽△AEC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得⊙O半径．
【解答】解：作直径AE，连接CE，
∴∠ACE＝90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝90°，
∴∠ACE＝∠AHB，
∵∠B＝∠E，
∴△ABH∽△AEC，
∴＝，
∴AB＝，
∵AC＝24，AH＝18，AE＝2OC＝26，
∴AB＝＝，
故答案为：．
【点评】此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
22．（4分）如图，点A在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，直线AC交y轴于点D，连接OC，以OA，OC为邻边作▱OABC，连接OB交AC于点E，若＝，△BDE的面积是10，则k的值为 ﹣12 ．
【分析】根据平行四边形的性质得出AE＝CE，OE＝BE，由＝，即可得出＝，＝，从而得出S△EOD＝S△BDE＝10，S△AOE＝15，S△AOD＝25，S△COD＝5，证得△CDF∽△ADO，求得S△CDF＝1，即可得出S△COF＝6，根据反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
【解答】解：∵四边形OABC是平行四边形，
∴AE＝CE，OE＝BE，
∵＝，
∴＝，＝，
∵BDE的面积是10，
∴S△EOD＝S△BDE＝10，
∵＝，
∴S△AOE＝15，
∴S△AOD＝25，
∵＝，
∴S△COD＝5，
∵BC∥OA，
∴△CDF∽△ADO，
∴＝（）2＝，
∴S△CDF＝1，
∴S△COF＝5+1＝6，
∵BC∥OA，
∴BC⊥y轴，
∴S△COF＝|k|＝6，
∵反比例函数y＝的图象在第二象限，
∴k＝﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，求得△COF的面积是解题的关键．
23．（4分）如图，在▱ABCD中，BC＝11，对角线AC＝4，tan∠ACB＝，点E是线段BC上的动点，连接AE，过点A作AP⊥AE，在射线AP上取点F，使得∠AFE＝∠ACB，连接EF，则△ABF周长的最小值为 +5 ．
【分析】作AG⊥BC于点G，延长CB到点H，使HB＝AB，连接AH交BF于点I，作直线FH，由＝tan∠ACB＝，得CG＝2AG，则AC＝＝AG＝4，求得AG＝4，CG＝8，则BG＝3，所以HB＝AB＝＝5，则HG＝CG＝8，所以AH＝AC，则∠AFE＝∠ACB＝∠AHE，可证明△AIF∽△EIH，得＝，变形为＝，再证明△FIH∽△AIE，得∠FHI＝∠AEI，可证明∠CHF＝∠AHE+∠FHI＝∠AFE+∠AEI＝90°，可知点F在经过定点H且与BC垂直的直线上运动，作点A关于直线FH的对称点L，连接AL交FH于点J，则LJ＝AJ＝HG＝8，连接FL、BL，作LK⊥CH交CH的延长线于K，则LF＝AF，GK＝AL＝2LJ＝16，LK＝AG＝4，求得BK＝13，则BL＝＝，由LF+BF≥BL，得AF+BF+AB≥+5，则△ABF周长的最小值为+5，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AG⊥BC于点G，延长CB到点H，使HB＝AB，连接AH交BF于点I，作直线FH，
∵∠AGC＝∠AGH＝90°，AC＝4，BC＝11，
∴＝tan∠ACB＝，
∴CG＝2AG，
∴AC＝＝＝AG＝4，
∴AG＝4，CG＝8，
∴BG＝BC﹣CG＝11﹣8＝3，
∴HB＝AB＝＝＝5，
∴HG＝HB+BG＝5+3＝8＝CG，
∴AG垂直平分CH，
∴AH＝AC，
∴∠AFE＝∠ACB＝∠AHE，
∵∠AIF＝∠EIH，
∴△AIF∽△EIH，
∴＝，
∴＝，
∵∠FIH＝∠AIE，
∴△FIH∽△AIE，
∴∠FHI＝∠AEI，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF＝90°，
∴∠CHF＝∠AHE+∠FHI＝∠AFE+∠AEI＝90°，
∴点F在经过定点H且与BC垂直的直线上运动，
作点A关于直线FH的对称点L，连接AL交FH于点J，
∵FH垂直平分AL，
∴∠AJH＝∠GHJ＝∠AGH＝90°，
∴四边形AGHJ是矩形，
∴LJ＝AJ＝HG＝8，
连接FL、BL，作LK⊥CH交CH的延长线于K，则LF＝AF，
∵∠K＝∠AGK＝∠GAL＝90°，
∴四边形AGKL是矩形，
∴GK＝AL＝2LJ＝16，LK＝AG＝4，
∴BK＝GK﹣BG＝16﹣3＝13，
∴BL＝＝＝，
∵LF+BF≥BL，
∴AF+BF+AB≥BL+AB，
∴AF+BF+AB≥+5，
∴△ABF周长的最小值为+5，
故答案为：+5．
【点评】此题重点考查锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质、轴对称的性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、解答题：（共30分）
24．（8分）某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树．
（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系；
（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？
【分析】（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；
（2）根据题意列出函数解析式，利用配方法把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y＝600﹣5x（0≤x＜120）；
（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，
则w＝（600﹣5x）（100+x）
＝﹣5x2+100x+60000
＝﹣5（x﹣10）2+60500，
∵a＝﹣5＜0，
∴w的最大值是60500，
则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60500个．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式、熟练运用配方法、掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．（10分）如图，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D为直线AC上方抛物线上的动点，DE⊥线段AC于点E．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，求线段DE的最大值；
（3）如图2，连接CD、BC，当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，求点D的横坐标．
【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AC于点M，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则点M的坐标为（x，x+3），进而可得出DM的长，在Rt△AOC中，利用勾股定理可求出AC的长，由∠DEM＝∠AFM，∠DME＝∠AMF可得出△DME∽△AMF，利用相似三角形的性质可得出DE＝DM＝﹣x2﹣x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则DE＝﹣x2﹣x，DC＝﹣x•，由点B，C的坐标可得出BC的长度，分△DEC∽△COB和△CED∽△COB两种情况考虑：①当△DEC∽△COB时，利用相似三角形的性质可得出关于x的无理方程，解之经检验后即可得出结论；②当△CED∽△COB时，利用相似三角形的性质可得出关于x的无理方程，解之经检验后即可得出结论．综上，此题得解．
【解答】解：（1）将A（﹣4，0），B（1，0）代入y＝﹣+bx+c，得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3．
（2）在图1中，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，DF交AC于点M．
当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+3＝3，
∴点C的坐标为（0，3）．
设直线AC的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（﹣4，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则点M的坐标为（x，x+3），
∴DM＝﹣x2﹣x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．
在Rt△AOC中，OA＝4，OC＝3，
∴AC＝＝5．
∵DF⊥x轴，DE⊥AC，
∴∠DEM＝∠AFM．
∵∠DME＝∠AMF，
∴△DME∽△AMF，
∴＝＝＝，
∴DE＝DM＝﹣x2﹣x＝﹣（x+2）2+，
∴当x＝﹣2时，DE取得最大值，最大值为．
（3）设点D的坐标为（x，﹣x2﹣x+3）（﹣4＜x＜0），则DE＝﹣x2﹣x，DC＝＝﹣x•．
∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，3），
∴OB＝1，OC＝3，BC＝．
①当△DEC∽△COB时，＝，即＝，
∴13x2+14x﹣27＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1（舍去），
经检验，x＝﹣是原方程的解，且符合题意；
②当△CED∽△COB时，＝，即＝，
∴243x2+2034x+4123＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
经检验，x＝﹣是原方程的解，且符合题意．
综上所述：当△BOC与以C、D、E为顶点的三角形相似时，点D的横坐标为﹣或﹣．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质以及解无理方程，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用相似三角形的性质找出DE＝﹣x2﹣x；（3）分△DEC∽△COB和△CED∽△COB两种情况，利用相似三角形的性质找出关于x的无理方程．
26．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P是BC边上一点，连接AP交对角线BD于点E，
（1）如图1，当AP⊥BD时，求BP的长；
（2）如图2，当BP＝1时，将线段AP对折使A、P重合，折痕分别交线段DC、DB、AP、AB于点M，G，F，N，连接FC．求tan∠CFM的值；
（3）如图3，若将线段AP对折使A、P重合后，折痕恰好过点D，连接PD交FC于点Q，求；
（4）如图4，在（3）的条件下，线段DF、DP上有两个动点T1、T2，请直接写出QT1+T1T2的最小值．
【分析】（1）由矩形性质可得：∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝10，利用同角的余角相等可得∠BAP＝∠ADB，进而可得△ABP∽△DAB，即可求得答案；
（2）过点F作FJ∥AD，交CD于J，交AB于H，过点M作MK⊥CF于K，由折叠得AF＝FP，AP⊥MN，运用三角形中位线定理可得FH＝BP＝，运用勾股定理可得CF＝＝，再证明△FMJ∽△APB，可求得MJ＝，根据面积法可得MK•CF＝FJ•CM，进而求得MK＝，根据三角函数定义可得tan∠FCM＝＝，可得CK＝，即可求得答案；
（3）过点F作FG⊥BC于G，过点P作PH⊥BC，交CF于H，可证得△PEG∽△PAB，可得＝＝＝，即PG＝PB＝1，FG＝AB＝3，再由△CHP∽△CFG，可得PH＝，由△PQH∽△DQC，可得＝＝＝，设PQ＝4x，DQ＝9x，则PD＝PQ+DQ＝4x+9x＝13x，即可求得答案；
（4）作点T2关于直线DF的对称点G，当点Q、T1、G在同一条直线上，且QG⊥AD时，QT1+T1T2＝QT1+T1G＝QG最小．利用解直角三角形即可求得答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD＝BC＝10，
∴∠BAP+∠DAE＝90°，
∵AP⊥BD，
∴∠ADB+∠DAE＝90°，
∴∠BAP＝∠ADB，
∴△ABP∽△DAB，
∴＝，即＝，
∴BP＝；
（2）如图2，过点F作FJ∥AD，交CD于J，交AB于H，过点M作MK⊥CF于K，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴AD∥FJ∥BC，
∴＝＝，
由折叠得AF＝FP，AP⊥MN，
∴AH＝BH＝DJ＝CJ＝AB＝3，
∵FH是△ABP的中位线，
∴FH＝BP＝，
∵HJ＝BC＝10，
∴FJ＝HJ﹣FH＝，
在Rt△CFJ中，CF＝＝＝，
∵∠PAB+∠ANF＝∠PAB+∠APB＝90°，
∴∠ANF＝∠APB，
∵AB∥CD，
∴∠ANF＝∠FMJ，
∴∠FMJ＝∠APB，
∵∠FJM＝∠ABP＝90°，
∴△FMJ∽△APB，
∴＝，即＝，
∴MJ＝，
∴CM＝CJ+MJ＝3+＝，
∵MK•CF＝FJ•CM，
∴MK＝＝＝，
∵tan∠FCM＝＝，
∴CK＝＝＝，
∴FK＝CF﹣CK＝﹣＝，
∴tan∠CFM＝＝＝；
（3）如图3，过点F作FG⊥BC于G，过点P作PH⊥BC，交CF于H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝10，
由折叠可得：AF＝FP＝AP，DN⊥AP，
∴DP＝AD＝10，
在Rt△PDC中，PC＝＝＝8，
∴BP＝BC﹣PC＝10﹣8＝2，
∵FG⊥BC，
∴∠PGF＝90°＝∠ABC，
∴FG∥AB，
∴△PEG∽△PAB，
∴＝＝＝，
∴PG＝PB＝1，FG＝AB＝3，
∴CG＝PC+PG＝8+1＝9，
∵PH⊥BC，
∴∠CPH＝90°＝∠CGF，
∴PH∥FG，
∴△CHP∽△CFG，
∴＝，即＝，
∴PH＝，
∵∠CPH+∠BCD＝90°+90°＝180°，
∴PH∥CD，
∴△PQH∽△DQC，
∴＝＝＝，
设PQ＝4x，DQ＝9x，则PD＝PQ+DQ＝4x+9x＝13x，
∴＝＝；
（4）如图4，作点T2关于直线DF的对称点G，则点G一定在线段AD上，当点Q、T1、G在同一条直线上，且QG⊥AD时，QT1+T1T2＝QT1+T1G＝QG最小．
由（3）得：＝，
∴PQ＝×10＝，
∴DQ＝PD﹣PQ＝10﹣＝，
∵AD∥BC，
∴∠DQG＝∠DPC，
∴sin∠DQG＝sin∠DPC，
∴＝，即＝，
∴QG＝，
∴QT1+T1T2的最小值为．
【点评】本题是矩形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，折叠变换性质，轴对称﹣求最小值，勾股定理等，添加辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题关键．