山东省青岛市胶州市初级实验中学2023-2024学年九年级上册第二次月考数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市胶州市初级实验中学2023-2024学年九年级上册第二次月考数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，四象限，则k的取值范围是，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．将一个机器零件按如图方式摆放，则它的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
2．若与都是反比例函数图象上的点，则a的值是（ ）
A．4B．C．2D．
3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）
A．B．C．D．
4．若反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k＜﹣2B．k＜2C．k＞﹣2D．k＞2
5．已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的高，且AB=5，csA=，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点、、在函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，且和的周长之比为，点的坐标为，则点的坐标为（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，在▱ABCD中，E为CD边上的中点，AE交BD于点O，若S△DOE=2，则▱ABCD的面积为（ ）
A．8B．12C．16D．24
9．在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
10．如图，正方形和正方形是位似图形（其中点，，，的对应点分别是点，，，），点的坐标为，点的坐标为，则这两个正方形的位似中心的坐标是（ ）
A．B．C．D．
11．函数与在同一坐标系中的图象可能是
A．B．C．D．
12．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2=（c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，则不等式y1＞y2的解集是（ ）
A．﹣3＜x＜2B．x＜﹣3或x＞2C．﹣3＜x＜0或x＞2D．0＜x＜2
13．如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF=．在以上4个结论中，正确的有（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6小题，共24分）
14．计算：tan45°＋sin60°＝ ．
15．小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为 m．
16．已知△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AB=4，则BC的长为 ．
17．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为 m．
18．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t（h）与行驶速度v（km/h）满足函数关系：y=（k≠0），其图象为如图的一段曲线，若这段公路行驶速度不得超过60km/h，则该汽车通过这段公路最少需要 h．
19．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色)，则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 个．
三、解答题（本大题共8小题，共57分）
20．（1）计算：.
（2）关于x的一元二次方程有两个实数根．
①求m的取值范围；
②若m为正整数，求此时方程的根．
21．合肥三十八中为预防秋季疾病传播，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量（毫克）与燃烧时间（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段和双曲线在点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：
（1）写出从药物释放开始，与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）据测定，只有当空气中每立方米的含药量不低于毫克时，对预防才有作用，且至少持续作用分钟以上，才能完全杀死这种病毒，请问这次消毒是否彻底？
22．某数学测量小组准备测量体育场上旗杆AB的高度．如图所示，观礼台斜坡CD的长度为10米，坡角为26.5°，从斜坡的最高点C测得旗杆最高点A的仰角为37°，斜坡底端D与旗杆底端B的距离是9米，求旗杆AB的高度．（结果保留整数，参考数据：sin26.5°≈，cs26.5°≈，tan26.5°≈，sin37°≈，cs37°≈，tan37°≈）
23．某种商品的标价为200元/件，由于疫情的影响，销量不佳，店家经过两次降价后的价格为128元/件，并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为80元/件，若以128元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用100元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1475元，每件应降价多少元？
24．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标是2，点的纵坐标是.
(1)求一次函数的解析式；
(2)取何值时，；
(3)求的面积.
25．在平行四边形中，对角线交于点，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接，过点作，设运动时间为，解答下列问题：
(1)当为何值时，是等腰三角形？
(2)设五边形面积为，试确定与的函数关系式；
(3)在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
参考答案与解析
1．B
【分析】根据三视图的方法判断即可；
【详解】根据三视图的判断可得到俯视图如图所示：
故答案选B．
【点睛】本题主要考查了三视图的应用，准确分析判断是解题的关键．
2．B
【分析】先把用代入确定反比例函数的比例系数k，然后求出函数解析式，再把点（-2，a）代入可求a的值．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上的点；
∴k=2×4=8
∴反比例函数解析式为：
∵点是反比例函数图象上的点，
∴a=-4
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
3．D
【分析】运用根的判别式和一元二次方程的定义，组成不等式组即可解答
【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有两个实数根，
∴ ，
解得：k≤ 且k≠1．
故选D．
【点睛】此题考查根的判别式和一元二次方程的定义，掌握根的情况与判别式的关系是解题关键
4．D
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由2﹣k＜0即可解得答案．
【详解】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第二、四象限，
∴2﹣k＜0，
解得k＞2，
故选择：D．
【点睛】本题考查反比例函数的性质．掌握“反比例函数，当时，图象经过第一、三象限；当时，图象经过第二、四象限” ．
5．C
【分析】根据Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，csA=，可以求得AC的长，然后根据勾股定理即可求得BC的长，然后根据等积法即可求得CD的长．
【详解】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，csA=，csA=，
∴AC=4，
∴BC==3，
∵，
∴，
解得，CD=，
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和勾股定理解答．
6．A
【分析】本题考查反比例函数的性质，反比例函数，时在与上随增大而减小，时在与上随增大而增大，据此解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴图形过二四象限，在或上，随增大而增大，
∵，
∴，，
∴，
故选：A．
7．A
【分析】设位似比例为k，先根据周长之比求出k的值，再根据点B的坐标即可得出答案．
【详解】设位似图形的位似比例为k
则
和的周长之比为
，即
解得
又点B的坐标为
点的横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为
点位于第四象限
点的坐标为
故选：A．
【点睛】本题考查了位似图形的坐标变换，依据题意，求出位似比例式解题关键．
8．D
【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥BC，证明△DOE∽△BOA，根据相似三角形的性质、平行四边形的性质计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，E为CD边上的中点，
∴AB∥BC，DE=DC=AB，
∴△DOE∽△BOA，
∴=，=（）2，即，
∴S△BOA=8，S△AOD=4，
∴S△BAD=12，
∴▱ABCD的面积=24，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查锐角的三角函数的定义，解题的关键是根据锐角的三角函数的定义分别表示出、、，从而逐一判断即可得．
【详解】解：如图，
∵，
∴，故①错误；
∵，
∴，故②正确、④错误；
∵，
∴，故③正确，
∴正确的有个．
故选：B．

10．A
【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定与性质，连接并延长与轴交于点，根据位似变换的性质，点即为位似中心，然后设，表示出、，再根据和相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出，再根据点在轴负半轴上写出坐标即可．根据对应点的连线所在的直线经过位似中心是解题的关键．
【详解】解：如图，连接并延长与轴交于点，则点即为位似中心，设，
∵点的坐标为，点的坐标为，
又∵正方形和正方形的边、都与轴垂直，
∴，，，，，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意，
∵点在轴负半轴上，
∴点．
故选：A．
11．D
【分析】根据每个选项的反比例函数的图像所在的象限，判断出的符号，再逐一判断一次函数的图像所经过的象限即可得到答案．
【详解】解：A、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，
，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，
，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的图像与性质，掌握以上知识是解题的关键．
12．C
【分析】一次函数y1=kx+b落在与反比例函数y2= 图象上方的部分对应的自变量的取值范围即为所求．
【详解】∵一次函数y1=kx+b（k、b是常数，且k≠0）与反比例函数y2= （c是常数，且c≠0）的图象相交于A（﹣3，﹣2），B（2，3）两点，
∴不等式y1＞y2的解集是﹣3＜x＜0或x＞2，
故选C．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合是解题的关键．
13．C
【分析】根据正方形的性质和折叠的性质可得AD＝DF，∠A＝∠GFD＝90°，于是根据“HL”判定△ADG≌△FDG，可得①正确；设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12−x，通过勾股定理列方程求出AG＝4，BG＝8，即BG＝2AG，可得②正确；根据△BEF是等腰三角形，而△GED显然不是等腰三角形，可得③错误；求出S△GBE，根据可求得S△BEF，可得④正确．
【详解】解：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，
又∵DG＝DG，
∴△ADG≌△FDG（HL），①正确；
∵正方形边长是12，
∴BE＝EC＝EF＝6，
设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12−x，
由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，
即（x＋6）2＝62＋（12−x）2，
解得：x＝4，
∴AG＝GF＝4，BG＝8，
∴BG＝2AG，②正确；
∵BE＝EF＝6，
∴△BEF是等腰三角形，
易知△GED不是等腰三角形，故③错误；
∵S△GBE＝×6×8＝24，，
∴，④正确；
故选：C．
【点睛】本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定，勾股定理，三角形的面积计算等知识，能够灵活运用各性质是解题的关键．
14．
【分析】分别利用特殊角三角函数代入值后，计算乘法，再相加即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查特殊角三角函数的混合运算．熟记特殊角三角函数值是解题关键．
15．1.6
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】解：根据题意知，小红的身高为150-30=120（厘米），
设小红的影长为x厘米
则，
解得：x=160，
∴小红的影长为1.6米，
故答案为1.6
【点睛】此题主要考查了平行投影，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．
16．2+2
【分析】作AD⊥BC于D，如图，先在Rt△ABD中利用sinB计算出AD，利用csB求出BD，然后在Rt△ACD中利用tanC可计算出CD的长，从而得出答案．
【详解】解：作AD⊥BC于D，如图，
在Rt△ABD中，
∵sinB=，csB=
∴AD=4sin30°=4×=2，BD=ABcsB=4×=2，
在Rt△ACD中，
∵tanC=，
∴CD===2，
则BC=BD+CD=2+2，
故答案为2+2．
【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握勾股定理和三角函数的定义是解决此类问题的关键．
17．6.4
【分析】利用△EAB∽△DCB，可得，可求DC＝6.4即可
【详解】解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴，
解得：DC＝6.4m，
故答案为：6.4．
【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握性质三角形的判定与性质是解题关键．
18．
【分析】直接利用已知图象得出函数解析式进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：k=xy=40，
则y≥=，
即该汽车通过这段公路最少需要h．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
19．(8n－4)
【详解】试题解析：观察图形可知：图①中，两面涂色的小立方体共有4个；
图②中，两面涂色的小立方体共有12个；
图③中，两面涂色的小立方体共有20个；
第4个几何体两面涂色的小立方体共有28个
4，12，20，28都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5，4×7的形式，
因此，第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有的块数为：4（2n-1）=8n-4．
考点：规律型：图形的变化类．
20．（1）；（2）①且；②，
【分析】（1）直接利用特殊三角形函数值，负整数指数幂，二次根式性质化简计算，再算加减法即可；
（2）①根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求不等式即可；②利用m的范围求出，带入利用因式分解法求方程即可．
【详解】解：（1）
；
（2）①一元二次方程有两个实数根，
且，
解得：且；
②m为正整数，
，
原方程变形为，
，
解得：，．
【点睛】本题考查了实数运算，涉及特殊三角形函数值，负整数指数幂，二次根式性质化简，根的判别式，一元二次方程的求解，熟练掌握各性质定义是解题关键．
21．（1）；（2）这次消毒很彻底．
【分析】首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，用待定系数法可得函数的关系式；进一步求解可得答案．
【详解】（1）设反比例函数解析式为，将代入解析式得，
，
则函数解析式为，
将代入解析式得，，解得，
故，
设正比例函数解析式为，将代入上式得，
，
则正比例函数解析式为．
综上：
（2）将代入得，
将代入得到，
，
这次消毒很彻底．
【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
22．18米
【分析】过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，根据锐角三角函数定义求出CF，DF，根据正切的定义求出AE，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于点E，作CF⊥BD延长线于点F，则四边形ECFB是矩形，
在Rt△CDF中，∠CDF=26.5°，CD=10米，
∴CF=CD×sin26.5°≈10×=4.5（米），DF=CD•cs∠CDF≈10×=9（米），
∴BF=BD+DF=9+9=18（米），
∵四边形ECFB是矩形，
∴CE=BF=18米，
∴AE=CE•tan37°≈18×=13.5（米），
∴AB=AE+BE=13.5+4.5=18（米），
答：旗杆AB的高度为18米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义，构造直角三角形解决问题．
23．(1)该种商品每次降价的百分率为
(2)每件商品应降价元
【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）根据每件商品的盈利（原来的销售量增加的销售量），列出方程，解出并根据题意，即可得出答案．
【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴该种商品每次降价的百分率为；
（2）解：设每件商品应降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
∵在降价幅度不超过10元的情况下，
∴不合题意，舍去，
∴每件商品应降价元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解本题的关键．
24．(1)
(2)当或时，
(3)
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式、三角形面积公式，求出三点的坐标是解此题的关键．
（1）先根据点的横坐标是2，点的纵坐标是，求出，，再利用待定系数法进行计算即可得出一次函数的解析式；
（2）由，，结合函数图象即可得出答案；
（3）先求出点的坐标，从而得出，再根据进行计算即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标是2，点的纵坐标是，
在中，当时，，当时，，解得：，
，，
将，代入一次函数得：，
解得：，
一次函数解析式为：；
（2）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，
由图象可得：当或时，；
（3）解：在中，当时，，
，
，
．
25．(1)当的值为或或秒时，是等腰三角形
(2)
(3)存在为2秒时，使
【分析】（1）证明出为直角三角形，分三种情况：当时；当；当时；利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，分别进行求解即可；
（2）证明得出，进而得出，最后根据进行计算即可；
（3）由（2）的结论可得出的方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，对角线交于点，，
，
在中，，
为直角三角形，且，
为等腰三角形，
当时，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
；
当，如图，作于，
，
则，，
，，
，
，即，
，
，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
；
当时，作于，
，
则，，
，，
，
，即，
，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
；
综上所述，当的值为或或秒时，是等腰三角形；
（2）解：由（1）可得：，
四边形是平行四边形，对角线交于点，，，
，，，
，
，
点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，
，，
如图，作于，
，
则，
，，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，即；
（3）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
存在为2秒时，使．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、勾股定理逆定理、图形面积的计算等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想，是解此题的关键．