河南省洛阳市老城区第二外国语学校2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析）

这是一份河南省洛阳市老城区第二外国语学校2023-2024学年九年级上册12月月考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了抛物线的顶点坐标是，如图，已知点在上，为的中点，如图，在中，，，于点等内容，欢迎下载使用。
1．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A．B．C．D．
4．连续抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．若双曲线在第二、四象限，那么关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．条件不足，无法判断
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°．将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A．55°B．50°C．65°D．60°
7．如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）

A．B．C．D．
8．如图，四边形为的内接四边形，已知，，则的长为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的中心与原点O重合，轴，交y轴于点P．将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A． B． C． D．
二． 填空题(共5小题，每题3分)
11．方程的解为 .
12．如图， 点 A 是反比例函数的图象上的一点， 过点 A 作轴， 垂足为B， 点 C 为y轴上的 点， 连接，则的面积为 ．
13．如图，在中，，把绕点顺时针旋转，得到，是的中点，若，，则线段 的长为 ．
14．如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为1点均在格点上，点D在弧上，线段与弧交于点E，则图中阴影部分的面积为 ．(结果保留π)
15．如图，用两块完全相同的等腰直角三角板拼成一个平行四边形．已知 ，直线下方有一点M，且，将沿翻折得到，再分别作关于直线和的对称点和，连接，当平行于平行四边形的一边时，的长为
三． 解答题
16．用合适的方法解下列方程：
(1)
(2)
17．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．
（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．
18．某学校准备开设篮球、足球、排球、游泳等4项体育特色课程，为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生的报名情况（每人选报一个项目），小颖根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图中信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的总人数为__________，请将图形补充完整．
(2)扇形统计图中“排球”对应的圆心角的度数为__________．若该学校共有学生1200名，请估计参加“游泳”的有多少人？
(3)通过初选有4名优秀同学（两男两女）顺利进入了游泳选拔赛，学校将推荐2名同学到市上参加新一轮比赛．请用画树状图或列表法求出到市上参加比赛的两人恰为一男一女的概率．
19．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据所给条件，请直接写出不等式的解集 ；
(3)过点作轴，垂足为，求．
20．如图，在中，直径弦于E，于M，交于N，连接．
(1)求证∶；
(2)若，求的长．
21．某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？
22．已知抛物线经过点．
(1)若抛物线开口向上，点是抛物线上一动点，当时，的最大值是5，求的值．
(2)若一元二次方程的根满足，请直接写出的取值范围．
23．在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）①依题意补全图1；
②猜想线段DQ与BP的关系是： ；
（2）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：因为抛物线，
所以抛物线的顶点坐标是．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键．
3．C
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
【详解】把抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的平移及抛物线解析式的变化规律：左加右减、上加下减．
4．C
【分析】列举出所有可能出现的情况，看正面都朝上情况数占总情况数的多少即可．
【详解】解：列举连续投掷两枚质地均匀的硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正背，背正，背背，可能的结果共有4种，
所以满足硬币恰好都是正面朝上的概率为，
故选：C．
【点睛】本题考查了用列举法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到所求情况数和总情况数是解决本题的关键．
5．B
【分析】根据反比例函数图象性质，由双曲线在第二、四象限，得．再根据关于x的方程计算根的判别式，从而判断该方程根的情况．
【详解】解：∵双曲线在第二，四象限，
∴．
∵关于x的方程，
∴，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数图象性质，一元二次方程根的判别式，正确理解相关概念，通过反比例函数图象性质得到m的取值范围，是解题的关键．
6．B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，再利用等腰三角形的性质求出∠ACA′即可解决问题．
【详解】∵∠ACB=90，∠ABC=25°，
∴∠A=90﹣∠B=65，
由旋转的性质得：CA=CA′，
∴∠A=∠CA′A=65，
∴α=∠ACA′=180﹣2×65°=50，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．A
【分析】连接，如图所示，根据圆周角定理，找到各个角之间的关系即可得到答案．
【详解】解：连接，如图所示：

点在上，为的中点，
，
，
，
根据圆周角定理可知，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理，找准各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．
8．C
【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，利用弧长公式计算即可．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
由圆周角定理得，，
∴的长为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．
9．B
【分析】首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第2022次旋转后，点A的坐标即可．
【详解】解：正六边形ABCDEF边长为2，中心与原点O重合，轴，
∴AP＝1， AO＝2，∠OPA＝90°，
∴OP＝＝，
∴A（1，），
第1次旋转结束时，点A的坐标为（，-1）；
第2次旋转结束时，点A的坐标为（-1，）；
第3次旋转结束时，点A的坐标为（，1）；
第4次旋转结束时，点A的坐标为（1，）；
∵将△OAP绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
∴4次一个循环，
∵2022÷4＝505……2，
∴经过第2022次旋转后，点A的坐标为（-1，），
故选：B
【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
10．A
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
11．
【详解】解：∵x（x-1）=0，
∴x=0或x-1=0．
∴，
故答案为：
12．3
【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，熟记“反比函数上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积等于k的绝对值”．
【详解】解：过A作轴，如图：
由反比例函数与x轴、y轴所围成的矩形面积等于k的绝对值可得：
，
，
故答案为：3．
13．
【分析】本题考查了相似三角形的判断和性质及勾股定理，过点作于，于，易证明四边形是矩形，得到，由，，得到，，又由是的中点，根据相似三角形性质可得，，进而得到，由勾股定理可求得的长，构造出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作于，于，
则，，，
由旋转可得，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查直角三角形的边角关系，弧长的计算以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键．
根据网格构造直角三角形，利用网格可得出进而得出，利用平角的定义可得出是等腰直角三角形，得出圆心角的度数，利用勾股定理求出，进而得出半径，再利用求出即可．
【详解】设的中点为，即弧所在的圆心为，
如图，连接，，
，
∴阴影部分的面积为
故答案为：．
15．或
【分析】根据题意分和两种情况讨论，然后证明出是等边三角形，然后利用含角直角三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】如图所示，当时，经过点A，连接，
∵将沿翻折得到，，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵点和点关于直线对称，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵点和点关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，
∵在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
如图所示，当时，经过点A，
同理可得，，
∴，
∵在中，，
∴，
解得，
∴；
综上所述，当平行于平行四边形的一边时，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，折叠问题，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）用因式分解法求解；
（2）用直接开平方法求解即可．
【详解】（1）解：因式分解得，
∴或，
解得：，；
（2）解：方程两边同除以2得，
方程两边同时开平方得，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
17．（1）是，理由见解析；（2）m的值为2或﹣1
【分析】（1）利用有一个根为﹣1的一元二次方程为“凤凰方程”对一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程进行判断；
（2）根据“凤凰方程“的定义得到2+m﹣n＝0①，再把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0，然后消去n得到m的一元二次方程，最后解关于m的方程即可．
【详解】解：（1）是．
理由如下：
当x＝﹣1时，3x2﹣4x﹣7＝0，
所以一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0为凤凰方程；
（2）根据题意得2+m﹣n＝0①，
把x＝m代入2x2﹣mx﹣n＝0得2m2﹣m2﹣n＝0②，
②﹣①得m2﹣m﹣2＝0，解得m1＝2，m2＝﹣1，
即m的值为：2或﹣1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
18．(1)40人，图见解析
(2)，参加“游泳”的有（人）
(3)选取的两人恰为一男一女的概率
【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
（1）先求出抽样调查的总人数，再求出 参加“排球”的学生的人数及所占百分比，参加“篮球”的学生所占百分比，即可求解；
（2）“排球”对应的圆心角的度数为乘以排球所占的百分比，用总人数乘以参加“游泳”的人数所占的百分比，即可求解；
（3）根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：抽样调查的总人数为（人），
参加“排球”的学生有（人），
参加“排球”的学生所占百分比，
参加“篮球”的学生所占百分比，
统计图补充如下：
故答案为：40人；
（2）解：“排球”对应的圆心角的度数为，
故答案为：；
参加“游泳”的有（人）；
（3）解：记两名男生分别为，两名女生分别为，列表如下：
由列表可得共有12种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有8种，
∴选取的两人恰为一男一女的概率．
19．(1)，
(2)或
(3)5
【分析】此题主要考查了待定系数法求出反比例函数、一次函数解析式以及求三角形面积等知识．
（1）根据反比例函数的图象过点，两点利用待定系数法求出，进而得出点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据、的横坐标结合图象即可得出答案；
（3）作交于点，求出中边上的高长度即可．
利用数形结合的数学思想，结合已知得出边上的高是解题关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象交于，两点．
∴，
∴，，
∴反比例函数的解析式为，的坐标是．
把，代入，得：
，解得，
∴一次函数的表达式为．
（2）要使得，只需函数得图象在函数的上方，
由图象可知，此时或，
故答案为：或；
（3）作交于点，
以为底，则边上的高，
∴．
20．(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．
（1）先利用同角的余角相等证明，再根据圆周角定理得到，从而得到；
（2）连接，如图，先根据垂径定理得，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
（2）连接，
，
在中，
，
21．（1）y＝－x＋180；（2）售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），根据所给函数图象列出关于kb的关系式，求出k、b的值即可；
（2）把每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式化为二次函数顶点式的形式，由此关系式即可得出结论．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），由所给函数图象可知，
，解得．
故y与x的函数关系式为y=﹣x+180；
（2）∵y=﹣x+180，
∴W=（x﹣100）y=（x﹣100）（﹣x+180）
=﹣x2+280x﹣18000
=﹣（x﹣140）2+1600，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=140时，W最大=1600，
∴售价定为140元/件时，每天最大利润W=1600元．
22．(1)
(2)
【分析】此题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程．运用数形结合与分类讨论的数学思想是解决问题的关键．
（1）将代入，可得，得抛物线为，则抛物线的对称轴为，当时，；当时，，抛物线开口向上，根据二次函数的性质可知，则，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此可得当时，有最大值，最大值为，即可求解；
（2）由题意可得与轴有交点，，当时，，当时，，即：与关于抛物线对称轴对称，分两种情况：①当时，根据题意可知与在轴上方，即，求解即可；②当时，与在轴下方，即，求解即可，进而可得的取值范围．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线为，
则抛物线的对称轴为，
当时，；当时，，
∵抛物线开口向上，即，则，
∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
∴当时，当时，有最大值，最大值为，
∵点是抛物线上一动点，当时，的最大值是5，
∴，
解得：．
（2）解：∵一元二次方程有根，即有根，
亦即：与轴有交点，
∴，
当时，，
当时，，
即：与关于抛物线对称轴对称，
①当时，，则，
∵一元二次方程的根满足，
即与轴有交点横坐标，满足，
∴与在轴上方，
即：，解得：，
即：；
②当时，
∵一元二次方程的根满足，
即与轴有交点横坐标，满足，
∴与在轴下方，
即：，解得：，与矛盾，故不符合题意，
综上，的取值范围为．
23．（1）①补全图形如图1，见解析；②BP＝QD，BP⊥QD；（2）见解析．
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②证△AQD≌△APB（SAS），可得；
（2）连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB=90°，在Rt△BPD中，运用勾股定理即可解决问题；
【详解】（1）①补全图形如图1：
②如图1，延长BP，QD交于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∵将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝∠DAB＝90°，
∴∠QAD＝∠BAP，
∴△AQD≌△APB（SAS），
∴PB＝QD，∠AQD＝∠APB，
∵∠APB+∠APH＝180°，
∴∠AQD+∠APH＝180°，
∵∠QAP+∠APH+∠AQD+∠QHP＝360°，
∴∠QHP＝90°，
∴BP⊥QD，
故答案为：BP＝QD，BP⊥QD；
（2）证明：连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP（SAS），
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
∵在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
∵在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．
【点睛】此题考查正方形的性质，旋转变换、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．