2024届上海市崇明区高三一模数学试卷及参考答案

这是一份2024届上海市崇明区高三一模数学试卷及参考答案，共7页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．不等式的解是 ．
2．双曲线的焦距是 ．
3．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ．
4．已知等比数列首项，公比，则 ．
5．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
6．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ．
（第8题图）
7．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为 ．
8．如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，
则他平均每场得 分．
9．已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 ．
10．用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．
你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．
．
11．已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
12．已知正实数满足，，则当取得最小值时，
．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】
13．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
14．若，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
15．已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点M有且只有一个平面与和都平行；
：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是
A．命题是真命题，命题是假命题B．命题是假命题，命题是真命题
C．命题，都是真命题D．命题，都是假命题
16．若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
如图，四棱锥中，平面，，，，
，E、F分别为PB、AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点B到平面的距离．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
在中，，．
（1）若，求A和外接圆半径R的值；
（2）若的面积，求c的值．
19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级：
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：
（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率．
20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知抛物线，，直线l交抛物线于点A、D，交抛物线于点B、C，其中点A、B位于第一象限．
（1）若点A到抛物线焦点的距离为2，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为，且线段AC的中点在x轴上，求原点O到直线l的距离；
（3）若，求与的面积之比．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知．
（1）若函数是实数集R上的增函数，求实数m的取值范围；
（2）已知数列是等差数列（公差），．是否存在数列使得数列是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列，并证明此时的数列是等差数列；若不存在，请说明理由；
（3）若，是否存在直线满足： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①对任意的都有成立，
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准
一、填空题
1. （1，3）； 2. ； 3. 2； 4. 31； 5. 10；6. ；
7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11. ； 12. .
二、选择题
13. D； 14. C； 15. A； 16. A.
三、解答题
17. 解 （1）证明：取中点，连接、，则，，
由于，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，分
由于不在平面上，平面，
所以平面；分
（2）设点到平面的距离为，
由题意，，又平面，所以
在中，，所以分
由得
所以，即点B到平面的距离为分
解 （1）因为，，所以分
由正弦定理，得，即，分
所以，，
因为，所以，因此，分
（2）由得，分
于是分
当时，由余弦定理，得分
当时，由余弦定理，得.
所以，或分
解 （1）根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”；分
设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为，
则分
（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数共有2天，故分
；；
分
解 （1）抛物线的准线为，
因为点A到抛物线焦点的距离为2，所以点A到抛物线准线的距离为2，
所以点的横坐标为1，故点的坐标为(1,2)分
（2）设，则线段AC的中点坐标为
由题意，，故，所以分
所以直线的方程为：分
所以原点O到直线l的距离分
（3）由题意，直线的斜率显然存在且，设直线的方程为
设
由，得 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①，分
由，得：，所以，
同理，，分
所以 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②，③
由 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①， = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②得：，代入③得，代入 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②得
所以分
21.解 （1）因为函数是实数集R上的增函数，
所以对任意的R都成立分
因为函数的最小值为，所以分
，若是等差数列，则对一切正整数成立，
即，
将代入化简得，
即，
展开化简得对一切正整数成立，所以或，
故或；分
注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分
当时，
，所以为常数，
故是等差数列分
同理，当时，亦可证明数列为等差数列.
（3）令
则当时，
时，存在使得，
即存在使得，与题意不符
同理，时，存在使得，与题意不符分
时，
当时，显然存在存在使得，即存在存在使得
当时，对任意的都有，分
当时，存在，使得，且对任意的都有，即对任意的都有
综上，存在直线满足题意分
TPI
不低于4
拥堵等级
畅通
缓行
拥堵
严重拥堵