2024届上海市普陀区高三一模数学试卷及参考答案

这是一份2024届上海市普陀区高三一模数学试卷及参考答案，共10页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若抛物线的顶点到它的准线距离为，则正尖数______.
2.设为虚数单位，若复数满足.则______.
3.若圆上的一段圆弧长与该圆的内揬正六边形的边长相等，则这段圆弧所对的圆心角的大小为______.
4.设是等差数列的前项和（，），若，则______.
5.设，若.则______.
6.若函数在区间上星严格增函数，则实数的取值范围为______.
7.设集合，，若的真子集的个数是1，则正实数的取值范围为______.
8.设圆锥的底面中心为，，是它的两条母线，且，若棱锥是正三棱锥，则该圆锥的侧面积为______.
9.若数列满足，（，），则的最小值是______.
10.设函数（）的图像与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______.
11.设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是______.
12.体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是______.
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分）
13.若椭圆的两个顶点和焦点都在圆：上，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.椭圆的方程是
B.过椭圆上的点作圆的切线，一定有两条
C.圆上的点与椭圆上的点的距离的最大值是
D.直线与椭圆有交点，与圆无交点
14.在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A.1B.C.2D.
15.已知一组数据3、1、5、3、2，现加入，两数对该组数据进行处理，若经过处理后的这组数据的极差为，则经过处理后的这组数据与之前的那组数据相比，一定会变大的数字特征是（ ）
A.平均数B.方差C.众数D.中位数
16.已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的50名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图.
（1）经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这50人年龄的第60百分位数，求此百分位数；
（2）经统计年龄在的被调查者中，投故成票的男性有3人，女性有2人，现从该组被调查者中随机选取男女各2人进行跟踪调查，求被选中的4人中至少有3人投赞成票的概率（结果用最简分数表示）
18、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
图1所示的是等腰梯形，，，，于点，现将沿直线折起到的位置，形成一个四棱锥，如图2所示.
图1 图2
（1）若，求证：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的大小.
19、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
设函数的表达式为.
（1）求证：“”是“函数为偶函数”的充要条件；
（2）若，且，求实数的取值范围.
20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点.
（1）若的离心率为，求双曲线的焦距；
（2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程；
（3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围.
21、（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.
（1）判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；
（2）若数列是首项为2的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
（3）若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.
普陀区2023学年第一学期高三数学质量调研评分标准（参考）
一、填空题
二、选择题

三、解答题
17.（1）由条件得，指数，则这人年龄的第百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第人与第人的年龄平均值，
由茎叶图可知，第人的年龄为，第人的年龄为， ………………4分
则所求的第百分位数是. ………………6分
（2）由茎叶图可知，年龄在的被调查者共人，其中名男性，名女性，
令为至少有三人投赞成票，依题意得，
被选中的人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是,…………2分
被选中的人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是，…………4分
被选中的人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是，……………6分
则被选中的人中至少有人投赞成票的概率为. …………8分
18.（1）证明：由图1的等腰梯形可得，，，，
在图2中，即有，，，
又，则，即，………2分
又，，则平面，………4分
即，又，,
则平面. ………6分
（2）由条件得，，，,
则平面，又平面,
则平面平面，
过点作交于点，又平面平面，
则平面，
则为直线与平面所成的角，即为，
在中，，，………3分
过点作交于点，连接,又平面，
由三垂线定理得，，又平面平面，
则是二面角的平面角， ………5分
在中，，
在中，，
则所求的二面角的大小为.
（或，或） ………………8分
19.（1） 先证充分性
当时，，定义域为关于原点对称，
则，即函数为偶函数. …………2分
再证必要性
当函数为偶函数时，即，
则，即对恒成立，
则，即. ……………4分
综上所述，“”是“函数为偶函数”的充要条件. …………6分
（2）解：若，即，
则，
当时，，，
则，即函数在上是严格增函数，
当时，，，
则，即函数在上是严格减函数. …………4分
由（1）知，函数为上的偶函数，
若，则，……………………6分
即，即或，
则实数的取值范围是.……………………8分
20.（1）由离心率为得，，又，即，……………3分
则焦距为. ……………4分
（2）由条件得直线的方程为，
它与渐近线交于点，……………1分
联立，解得，
即点的纵坐标为，……………………3分
则，即，
则所求的双曲线的方程为.……………4分
另一种情况，与渐近线交于点，得出关于的方程，
在时，方程有一解，近似值为
……………6分.
（3）设，，
由得，，
又，
则. ……………2分
因为
又 ，，
则，
整理得，，
则. ……………4分
联立得，，
整理得，，
即 ，则或，
又 ，即或，
则的取值范围为.……………8分
21. 解：（1）不是“数列”.
因为，所以不是“数列”. ……………4分
（2）由 得，
，两式相减得，
，……………2分
又数列是 “数列”，即，
则，
即对，皆成立，
又数列是等比数列，即是常数，
则，即，，……………4分
又，，则，即，
则所求的值是，数列的通项公式为.……………6分
（3）设函数，
则，当时，，
则函数在区间上是严格减函数，
且. ……………………3分
又数列是 “数列”，即（，），
因为，，则，结合，，，
反复运用，最终可得对任意的，，.
则，即，
则. …………………………5分
即，，，，，相加得，
，
则，
因为函数是严格增函数，所以，
又，则，即，
则. …………………………8分
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