2024届上海虹口区高三一模数学试卷及答案

这是一份2024届上海虹口区高三一模数学试卷及答案，共10页。试卷主要包含了 12， 本考试分设试卷和答题纸等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2. 本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的
相应位置，在试卷上作答一律不得分.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合
2. 函数的定义域为_________.
3．设等比数列的前项和为，若，，则=_________.
4. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为_________.
5. 在的二项展开式中项的系数为_________.
6. 已知为第三象限的角，则tan2 x = _________.
7．双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为_________.
8．已知函数(,)的部分图像如
（第8题图）
右图所示，则=_________.
9. 已知是定义在上的函数，若，且则实数的取值范围为_________.
10. 将甲、乙等8人安排在4天值班，若每天安排两人，则甲、乙两人安排在同一天的概率为________.（结果用分数表示）
11.设若关于的方程 有3个不同的实数解，则实数的取值范围为_________.
12.设是平面上两两不相等的向量，若且对任意的均有则________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑.
13.设为虚数单位，若，则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
14．空气质量指数是反映空气质量状况的指数，其对应关系如下表:
为监测某化工厂排放废气对周边空气质量指数的影响，某科学兴趣小组在工厂附近某处测得10月1日—20日的数据并绘成折线图如下:
下列叙述正确的是 （ ）
（A）这天中的中位数略大于
（B）10月4日到10月11日，空气质量越来越好
（C）这天中的空气质量为优的天数占%
（第15题图）
（D）10月上旬的极差大于中旬的极差
15. “阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全
相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美. 如右上图所示，将正方体沿同一顶点出发的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去8个三棱锥，得到8个面为正三角形、
6个面为正方形的一种半正多面体. 若，则此半正多面体外接球的表面积为（ ）
（A）π （B）12π （C）π （D）8 π
16. 已知曲线的对称中心为，若对于上的任意一点，都存在上两点，使得为的重心，则称曲线为“自稳定曲线”.现有如下两个命题：
① 任意椭圆都是“自稳定曲线”；② 存在双曲线是“自稳定曲线”.
则 （ ）
（A）①是假命题，②是真命题 （B）①是真命题，②是假命题
（C）①②都是假命题 （D）①②都是真命题
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.
17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 若，，且 //．
（1）求角的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，求的取值范围．
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为正
方形，；设M是CC1的中点，满足，
N是BC的中点，P是线段A1B1上的一点.
(1) 证明：AM⊥平面A1PN ；
(2) 若，求直线AB1与平面PMN
所成角的大小．
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
2022年12月底，某厂的废水池已储存废水800吨，以后每月新产生的2吨废水也存入废水池．该厂2023年开始对废水处理后进行排放，1月底排放10吨处理后的废水,计划以后每月月底排放一次,每月排放处理后的废水比上月增加2吨.
（1）若按计划排放,该厂在哪一年的几月份排放后，第一次将废水池中的废水排放完毕？
（2）该厂加强科研攻关，提升废水处理技术，经过深度净化的废水可以再次利用. 该厂从2023年7月开始对该月计划排放的废水进行深度净化，首次净化废水5吨，以后每月比上月提高20%的净化能力. 试问：哪一年的几月份开始，当月排放的废水能被全部净化？
20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且.
过点F的直线l与及圆依次相交于点 如图.
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求证：为定值；
（3）过A, B两点分别作的切线
且与相交于点P，求ACP与BDP的
面积之和的最小值．
21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 )
已知与都是定义在上的函数，若对任意，当时，都有，则称是的一个“控制函数”.
（1）判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
（2）设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
（3）设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由.
虹口区2023学年度第一学期期终学生学习能力诊断测试
高三数学 参考答案和评分标准 2023年12月
一、填空题（本大题共12题，满分54分；第1-6题每题4分;第7-12题每题5分 ）
1． 2． 3. 4． 5．560 6.
7. 8． 9. 10． 11． 12.3
二、选择题（本大题共4题，满分18分；第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. A 14. C 15. D 16. B
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．(本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分)
解：(1) 因为//，所以 ， …… 2分
由正弦定理，可得 ，即 . …… 4分
于是，由余弦定理得 ，又，所以．…… 7分
（2）由（1）可知所以
…… 11分
由△ABC为锐角△,得所以从而
所以的取值范围为 …… 14分
18．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
证：(1) 取AC中点D，连接DN，A1D .
因AA1＝AC，AD＝CM，∠A1AD ＝∠ACM ，
故△A1AD≌△ACM. …… 2分
从而∠AA1D＝∠CAM，又因∠AA1D＋∠A1DA，
故∠CAM＋∠A1DA.所以AM⊥A1D.
由于AM⊥A1B1及A1B1因此
AM⊥平面A1B1D. …… 4分
因D , N分别为AC, BC 的中点，故D N // AB，从而D N // A1B1，
于是A1，P，B1，N，D在同一平面内，故AM⊥面A1PN. …… 6分
解：(2) 因为AB＝AC＝4，BC＝4，所以AB2＋AC2＝BC2 ,
故AB⊥AC.
因AM⊥A1B1，A1B1∥AB，故AM⊥AB ；
又因AM ∩AC＝A，所以AB⊥面ACC1A1 ，
从而AB⊥AA1；因此AB，AC，AA1两两垂直.
以A为原点，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图. ……8分
则由条件，相关点的坐标为
M (0，4，2)，N (2，2，0)，P( 1，0，4)，B1(4，0，4).
设平面MNP的一个法向量为则
取 ……11分
因 (4，0，4)，设直线与平面PMN所成的角为θ，则
故直线与平面PMN所成角的大小为 ……14分
19．(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)
解：（1）设从2023年1月起第个月处理后的废水排放量为吨，则由已知条件知：
数列是首项为10，公差为的等差数列，故. ……2分
当时，即， ……4分
化简得，解得 由是正整数，则.
故该厂在2025年1月底第一次将废水池中的废水排放完毕. ……6分
（2）设从2023年1月起第个月深度净化的废水量为吨.
由已知条件，，当时， 数列是首项为，公比为的等比数列，故（n为正整数）. ……8分
显然，当时，.
当得 . （*） ……10分
设，则，所以当时，数列是严格增数列，且 当时，数列是严格减数列. ……12分
由于，.所以不等式（*）的解为（n为正整数）.
故该厂在2024年8月开始计划排放的废水能被全部净化. ……14分
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
解：（1）易知抛物线的焦点F的坐标为 准线为，由抛物线的定义，得
，故.所以，抛物线的方程为 ………2分
将 代入的方程，得，所以点的坐标为：或
………4分
（2）由（1）知F 又由条件知直线l的斜率
存在，设直线l的方程为，并设A
B则
由得
故且
………7分
由抛物线的定义，可知又因圆的圆心为F（0,1），半径为1，于是
所以 . ………10分
（3）由得，而.故过点A的抛物线 的切线的方程为
即 = 1 \* GB3 ①………12分
同理，过点B的抛物线的切线的方程为 = 2 \* GB3 ②
由 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②可得：
即 ……15分
所以点P到直线l: 的距离为
于是
故当k =0，即直线l为y =1 时，有最小值2. ……18分
21. (本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)
解：（1）由于对任意，当时，都有； ……2分
即有故由控制函数的定义，的控制函数. ……4分
证：（2）关于的方程在区间上有实数解
. ……7分
记，则，当时，在上严格增；当时，在上严格减.
而，故，于是所要证的结论成立.……10分
另证：关于x的方程在区间上有实数解
. ……7分
记，则，当时，故在上严格减，.
记，则，当时，故在上严格增，. 于是所要证的结论成立. ……10分
解：（3）①先证引理：对任意，关于的方程在区间上恒有实数解. 这等价于
，由（2）知结论成立. ……12分
②（证控制函数的唯一性）假设存在“控制函数”，由上述引理知，对任意，当时，都存在使得.……（*）
下证：.
若存在使得，考虑到是值域为的严格增函数，故存在使得.由（*）知存在使得，于是有，由的单调性知，矛盾.故对任意都有.
同理可证，对任意都有，从而. ……15分
③（证控制函数的存在性）最后验证，是的一个“控制函数”. 对任意，当时，都存在使得，而由的单调性知，即.
综上，函数存在唯一的控制函数. ……18分
指数值
空气质量
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染