上海市青浦区2024届高三一模数学试卷及参考答案

这是一份上海市青浦区2024届高三一模数学试卷及参考答案，共10页。试卷主要包含了12等内容，欢迎下载使用。

Q2023.12
学生注意：
本试卷包括试题纸和答题纸两部分．
在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．
可使用符合规定的计算器答题．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．已知集合，，则 ．
2．若复数满足，则 ．
3．已知满足，则 ．（结果用含有的式子表示）．
4．2023年10月25日至11月12日，青浦曲水园推出以“曲水流觞·花趣水乡”为主题的菊花展．花展结束后,园方挑选数百盆菊花免费赠送给市民．其中有红色、黄色、橙色菊花各盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人盆，则甲没有拿到橙色菊花的概率是 ．
5．的二项展开式中项的系数是 ．（用数值作答）
6．已知球的表面积是，则该球的体积是 ．
7．某家大型超市统计了八次节假日的客流量（单位：百人）分别为29，30，38，25，37，40，42，32，那么这组数据的第百分位数为 ．
8．若函数是奇函数，则该函数的所有零点是 ．
9．已知向量垂直于直线的法向量，过、分别作直线的垂线，对应垂足为和，若，则实数的值为 ．
10．已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ．
11．已知数列的通项公式为，记，若，则正整数的值为 ．
12．已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，,则“”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．若函数在处的导数等于，则的值为（ ）.
A．B．C．D．
15．已知直线m，n，平面，.给出下列命题：
①若，，且，则； ②若，，且，则；
③若，，且，则； ④若，，且，则.
其中正确的命题的个数是（ ）.
A．1B．2C．3D．4
16．定义：如果曲线段可以一笔画出，那么称曲线段为单轨道曲线，比如圆、椭圆都是单轨道曲线；如果曲线段由两条单轨道曲线构成，那么称曲线段为双轨道曲线．
对于曲线有如下命题：
存在常数，使得曲线为单轨道曲线；
存在常数，使得曲线为双轨道曲线．下列判断正确的是( ).
A．和均为真命题 B．和均为假命题
C．为真命题，为假命题 D．为假命题，为真命题
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知四棱锥，底面为正方形，边长为，平面．
（1）求证：平面；
（2）若直线与所成的角大小为，求的长．
18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
在△中，角所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求△的周长的最大值．
19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
门 门
l
l
安全
出口
撤离方向
上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设：
疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物；
所有人员排成单列行进撤离；
队列中人员的间隔是均匀的；
队列匀速地撤离建筑物．
（1）上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由；
（2）如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型．
20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆的离心率是，长轴长，椭圆的中心是坐标原点，焦点在轴上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，，是椭圆上三个不同的点，是椭圆的右焦点，若原点是的重心，求的值；
（3）已知，椭圆四个动点，，，满足，,求直线的方程．
21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知有穷等差数列的公差d大于零．
（1）证明：不是等比数列；
（2）是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由；
（3）若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值．
参考答案 2023.12
一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.
1．；2．；
3．；4．；
5．；6．；
7．；8．；
9. ；10. ；
11．或；12. .
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.
13. ；14. ； 15． ；16. .
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）解：（1） PD⊥平面ABCD

又 且
平面．
（2） 平面

为锐角
又
为直线与所成的角


在中，，，于是．
18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.
解：（1）因为，由余弦定理得

（2）由正弦定理得，，，
所以，的周长为
，
当时，的周长的最大值为．
19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题8分.
解：（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）：
假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况；
假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应；
假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法；
假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法．
说明：以上4条理由任选两条只要合理就给满分（每条3分）．
（2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，
先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为．
在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考）
模型1：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为；
模型2：
当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为．

20.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）由题意得，，，所以，，
所以椭圆的标准方程为
（2）设，，，
同理，
又是△的重心，所以
所以，
（3）设，，，，，
因为，所以，即
又，都在椭圆上，
所以，，即
于是，，即
又，同理得
所以，直线的方程为，即．
21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.
解：（1）∵
∴不是等比数列．
（2）在处的切线方程为，
令得，因此，欲使满足条件，只需使
令，则，满足条件，
因此，存在指数函数满足条件．
（3）取，则成等比数列，∴满足条件．
当，
首先，不可能所有项均为正数或均为负数，否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减，从而即为等比数列，不可能．
其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增，则的前三项即为中最小的三项，则一定对应于中的连续三项，不妨设，则．
若，则，则成等比数列，不可能；
②若，则，则成等比数列，∴即，得，，，而除了这三项外，最小值为或，但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件．
综上，所有可能的的值是3．