16.8液柱模型（解析版）--2024高考一轮复习100考点100讲—高中物理

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第16.8讲 液柱模型
【知识点精讲】
液柱模型是指液柱封闭气体。可以是水银柱封闭玻璃管中气体，可以是在水池下面容器中的气体。
【方法归纳】
1.求液柱封闭气体压强时，一般以液柱为研究对象分析受力。
(1)液体因重力产生的压强大小为p＝ρgh(其中h为至液面的竖直高度)；
(2)不要漏掉大气压强，同时又要尽可能平衡掉某些大气的压力；
(3)有时可直接应用连通器原理——连通器内静止的液体，同种液体在同一水平面上各处压强相等；
(4)当液体为水银时，可灵活应用压强单位“cmHg”等，使计算过程简捷。
2.液柱模型中可以利用力平衡法和等压面法求解压强。
力平衡法关注的是研究对象的受力平衡，等压面法关注的是同种液体在同一深度向各个方向的压强相等。
两种方法在解题时对象选取及解题思路不同，但对水银封闭气柱模型，结果相同。
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【最新高考题精练】
1.（2）（2023高考全国乙卷）如图，竖直放置的封闭玻璃管由管径不同、长度均为的A、B两段细管组成，A管的内径是B管的2倍，B管在上方。管内空气被一段水银柱隔开。水银柱在两管中的长度均为。现将玻璃管倒置使A管在上方，平衡后，A管内的空气柱长度改变。求B管在上方时，玻璃管内两部分气体的压强。（气体温度保持不变，以为压强单位）

【命题意图】本题考查气体实验定律及其相关知识点。
【解题思路】B管在上方时，设B管中气体压强为pB，lB=10cm，则A管中气体压强为pA=pB+20cmHg，长度lA=10cm，
倒置后，A管在上方，A管中气体压强为pA’，A管内空气柱长度lA'=11cm，
水银柱长度为h=9cm+14cm=23cm，
则B管中气体压强为pB’=pA'+23cm.，
B管内空气柱长度lB'=40cm-11cm-23cm=6cm，
对A管中气体，由玻意耳定律，=
对B管中气体，由玻意耳定律，=
联立解得：pB=54.36cmHg，pA=pB+20cmHg=74.36cmHg.
2. （2022高考上海）如图所示，两根粗细相同的玻璃管下端用橡皮管相连，左管内封有一段长30cm的气体，右管开口，左管水银面比右管内水银面高25cm，大气压强为75cmHg。现移动右侧玻璃管，使两侧玻璃管内水银面相平，此时气体柱的长度为（ ）
A. 20cm B. 25cm
C. 40cm D. 45cm
【参考答案】A
【命题意图】本题考查气体实验定律+试管液柱模型+模型思想
【名师解析】对封闭在左管的气体，初状态气体压强为p1=p0-ρgh=75cmHg-25 cmHg=50 cmHg
设玻璃管横截面积为S，初状态气体体积V1=30S
当两侧玻璃管内液面相平时，设左管气柱长度为L，则气体体积V2=LS
气体压强p2=p0 =75cmHg
由玻意耳定律，p1V1= p2V2
解得L=20cm，选项A正确。
3（6分）（2022·高考广东物理）玻璃瓶可作为测量水深的简易装置。如图14所示，潜水员在水面上将水装入容积为的玻璃瓶中，拧紧瓶盖后带入水底，倒置瓶身，打开瓶盖，让水进入瓶中，稳定后测得瓶内水的体积为。将瓶内气体视为理想气体，全程气体不泄漏且温度不变。大气压强取，重力加速度g取，水的密度取。求水底的压强p和水的深度h。
【命题意图】本题考查气体实验定律，液体压强。
【解题思路】（2）初状态玻璃瓶中气体体积V0=380mL-80mL=300mL，
末状态玻璃瓶中气体体积V=380mL-230mL=150mL，
由玻意耳定律，p0V0= pV
解得p=2p0
由p=ρgh+p0
解得：h=10m。
4．（2022新高考海南卷）足够长的玻璃管水平放置，用长的水银封闭一段长为的空气柱，大气压强为，环境温度为，将玻璃管缓慢逆时针旋转到竖直，则：
①空气柱是吸热还是放热？
②空气柱长度变为多少？
③当气体温度变为时，空气柱长度又是多少？
【名师解析】①将水平玻璃管缓慢逆时针旋转到竖直，气体体积减小，外界对气体做功，由热力学第一定律可知，空气柱放热。
②初状态空气柱压强p1=76cmHg，体积V1=25S
将玻璃管缓慢逆时针旋转到竖直，末状态空气柱压强p2=76cmHg+19cmHg=95cmHg，体积V2=L2S
由玻意耳定律，p1V1= p2V2，
解得：L2=20cm
③气体做等圧変化，当气体温度变为T=时，由盖吕萨克定律，=
解得：L3=24cm
【最新模拟题精练】
1.(2023四川南充三模) 如图所示，粗细均匀的U形细管左侧封闭，右侧装有阀门，水平部分和竖直部分长均为，管中盛有一定质量的水银。先开启阀门，U形管静止时左侧水银柱比右侧高，再关闭阀门，使U形管以某一恒定加速度向左加速，液面稳定后发现两竖直管中液面变为等高。管中气体均视为理想气体，整个过程温度不变，大气压强，重力加速度，求
（Ⅰ）静止时左侧气体的压强；
（Ⅱ）关闭阀门向左加速时的加速度大小a。

【参考答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【名师解析】
（Ⅰ）设型管横截面积为，水银密度为，静止时右侧气体的压强为大气压，
对底部液柱由平衡条件有
大气压强可表示为
其中
解得
（Ⅱ）设底部液柱质量为，向左加速稳定时左边气体压强为，右边气体压强为
两边液面相平，故左边气体长度从变为
右边气体长度从变为
对左边气体由玻意耳定律得
对右边气体由玻意耳定律得
对底部液柱由牛顿第二定律有
其中
解得
2 .(2023湖南邵阳模拟) 如图所示装置中两玻璃泡的容积均为，玻璃管的容积忽略不计，开始时阀门K关闭，将上面玻璃泡抽成真空，下面玻璃泡中有一定质量的理想气体，外界大气压强为，温度为°C时，玻璃管中水银面高出水银槽内水银面h=12cm，水银密度（假设不随温度改变）为，重力加速度。
（1）如果外界大气压强保持不变，玻璃管中水银面上升2cm，则环境温度改变了多少摄氏度；
（2）如果在环境温度急剧升高到t=40°C的过程中，打开阀门，改变外界大气压使玻璃管中的水银面高度几乎不发生变化，则玻璃泡中气体的压强变为多少？
（3）在（2）过程中吸收了200J热量，则气体的内能增加了多少？
【参考答案】（1）；（2）；（3）200J
【名师解析】
（1）设玻璃泡中气体初态压强为，有
解得
温度
设末态压强为，则
故
根据查理定律有
代入数据解得
则环境温度降低了
（2）打开阀门前有
，，
打开阀门后有
，
根据理想气体状态方程有
代入数据解得
（3）根据题设条件，由于上部容器原来是真空，气体发生自由膨胀，故气体膨胀过程对外做的功为零，即
气体吸热
Q=200J
根据热力学第一定律有
故
3. （2023辽宁教研联盟二模） 如图所示的粗细均匀薄壁U形管，左管上端封闭，右管开口且足够长；温度为时，右管内水银面比左管高，左管内空气柱长度，大气压强。
（1）求此时封闭气体压强大小；
（2）现使左管内空气温度缓慢下降，则当左管内液面上升时，管内气体热力学温度为多少？
（3）若让整个装置自由下落，且温度保持不变，求下落过程中封闭空气柱的长度。（结果保留三位有效数字）
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）此时封闭气体的压强大小为，有
代入数据解得
（2）设玻璃管横截面积为S，以管内气体为研究对象，末态压强为，气柱长度为，有
根据理想气体状态方程有
解得
（3）整个装置做自由落体运动时，封闭气体压强等于大气压，根据玻意耳定律有
解得
4. (2023鄂东南省级示范性高中教育改革联盟5月模拟)如图所示，开口向上粗细均匀、长为的玻璃管竖直放置，管内有一段高h=15cm的水银柱，封闭着长的空气柱，大气压强，管内气体的初始温度。
（1）若将玻璃管自由释放，不计阻力，不考虑管内空气温度的变化且无水银溢出玻璃管，求稳定后管内封闭空气柱的长度；
（2）若，将玻璃管固定，求温度至少升到多高时，可使管内水银柱全部溢出？（计算结果保留一位小数）
（3）若，将玻璃管固定，求温度至少升到多高时，可使管内水银柱全部溢出？
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）若将玻璃管自由释放，不计阻力，则整体做自由落体运动，封闭气体的压强等于，根据等温变化
又
得稳定后管内封闭空气柱的长度为
（2）温度升高，封闭气体压强不变，体积增大，水银柱升高。当水银柱上升至管口时，温度继续升高，水银开始逸出，气体压强减小，设温度为，管内剩余水银柱高度为，此时不用再升高温度，水银柱自动可从管中溢出，根据理想气体方程
使水银全部溢出最大，则应最大，代入数据得
得
温度至少升到时，可使管内水银柱全部溢出。
（3）若，同理，当时处于临界状态，水银自动溢出，则
得
温度至少升到时，可使管内水银柱全部溢出
5.（2023陕西宝鸡三模）（10 分）如图，一粗细均匀的细管开口向上竖直放置，管内有一段高度为 2.0 cm 的 水银柱，水银柱下密封了一定量的理想气体，水银柱上表面到管口的距离为 2.0 cm。若将 细管倒置，水银柱下表面恰好位于管口处，且无水银滴落，管内气体温度与环境温度相同。 已知大气压强为 76 cmHg，环境温度为 296 K。
（i）求细管的长度；
（ii）若在倒置前，缓慢加热管内被密封的气体，直到水银柱的上表面恰好与管口平齐为止， 求此时密封气体的温度。
【名师解析】
（i）设细管的长度为l，横截面的面积为S，水银柱高度为h；初始时，设水银柱上表面到管口的距离为h，被密封气体的体积为V，压强为p；细管倒置时，气体体积为V1，压强为p1。由玻意耳定律有
pV=p1V1 ①
由力的平衡条件有
p=p0–ρgh ③
式中，p、g分别为水银的密度和重力加速度的大小，p0为大气压强。由题意有
V=S（L–h1–h） ④
V1=S（L–h） ⑤
由①②③④⑤式和题给条件得
L=41 cm ⑥
（ii）设气体被加热前后的温度分别为T0和T，由盖–吕萨克定律有
⑦
由④⑤⑥⑦式和题给数据得
T=312 K ⑧
6．（9分）（2023湖北荆门三校5月联考）一U形玻璃管竖直放置，左端开口且足够长，右端封闭，玻璃管导热良好。用水银封闭一段空气（可视为理想气体），在右管中，初始时，管内水银柱及空气柱长度如图所示，环境温度为27 ℃。已知玻璃管的横截面积处处相同，大气压强。
（1）若升高环境温度直至两管水银液面相平，求环境的最终温度。
（2）若环境温度为27 ℃不变，在左管内加注水银直至右管水银液面上升0.8 cm，求应向左管中加注水银的长度。
【参考答案】．（1）475K/202 ℃；（2）19.6 cm
【名师解析】（1）以右管空气为研究对象，初状态：
，，（1分）
两管水银液面相平时：
（1分）
由理想气体状态方程有：
（1分）
解得：
（1分）
（2）设加注水银后左侧液面比右侧高的长度为x，且
（1分）
（1分）
根据
（1分）
解得（1分）
所以加入水银的长度为14+0.8+4.8=19.6cm（1分）
7.(9分)（2023湖北十堰4月调研）如图所示，“U”形管左、右两管竖直，左管上端开口且足够长，右管上端封闭，粗细均匀，导热性能良好。阴影部分A、B、C为水银柱，长度分别为2h、h、h，管中D、E为理想气体。当环境的热力学温度K时，D气柱的长度为h，E气柱的长度为4h，A、C两水银柱的下端面等高。外界大气压恒为8hHg，管的直径远小于h。
(1)若保持环境温度不变，在左管中缓慢注入水银，求当E气柱的长度变为3h时，左管中注人水银的长度H；
(2)若不是在左管中缓慢注入水银，而是将环境的热力学温度缓慢升高到T2=368K，求温度升高后D气柱的长度L。
【名师解析】:(1)注入水银前，E气柱的压强
，(1分)
设注入水银后E气柱的压强为，气柱的横截面积为S，对E气柱，根据玻意耳定律有
，(2分)
解得
故.(1分)
(2)当环境的热力学温度K时，
D气柱的压强，(1分)
设在环境的热力学温度缓慢升高的过程中，B水银上表面下降的高度为x，则温度升高后D气柱的压强
，(1分)
对D气柱，根据理想气体的状态方程有，(2分)
解得h(另一解不合题意，舍弃)
故.(1分)
8. （2023四川遂宁三诊）如图所示，一端封闭、粗细均匀的U形玻璃管开口向上竖直放置，管内用水银将一段气体封闭在管中，当温度为280K时，被封闭的气柱长L＝25cm，两边水银柱高度差h＝5cm，大气压强p0＝75cmHg。
①为使左端水银面下降h1＝5cm，封闭气体温度应变为多少；
②封闭气体的温度保持①问中的值不变，为使两液面相平，需从底端放出的水银柱长度为多少。
【名师解析】①设左端水银面下降后封闭气体的压强为P2，温度为T2，体积为V2，
则：P2＝80cmHg 分
V2＝（L+h1）分
由理想气体状态方程得：分
代入数值解得：T2＝分
②两液面相平时，气体的压强为P3：
P3＝分
左端液面下降h2，右管液面下降：（h2+5）分
气体体积为V3：
V3＝（L+h1+h2）分
由波意耳定律得：P2V2＝分
解得：h2＝分
所以放出的水银柱长度：H＝2h2+5＝分
9. （2023山东烟台一模） 如图所示，一开口竖直向下导热良好的玻璃管用水银柱封闭一定质量的空气。水银柱长度为15cm，下端刚好与玻璃管溢出口平齐；被封闭的空气柱长度为30cm。此时周围环境温度为，大气压强为。现将玻璃管缓慢旋转至开口竖直向上（水银没溢出玻璃管），然后再加热至。下列说法正确的是（ ）
A. 玻璃管刚好旋转至开口向上时管内空气柱长度为20cm
B. 玻璃管刚好旋转至开口向上时管内空气柱长度为25cm
C. 将玻璃管加热至时空气柱长度为33.6cm
D. 将玻璃管加热至时空气柱长度为36cm
【参考答案】AD
【名师解析】
设玻璃管横截面积为，则倒置时管内气体压强为，由平衡条件可知
解得
管内气柱体积为
将玻璃管缓慢倒置过来，稳定后管内气体压强为，由平衡条件得
解得
设此时管内气体气柱长度为，则
根据玻意耳定律可得
解得
故A正确，B错误；
假设加热过程中，水银未溢出。将玻璃管加热至的过程中管内气体为等压变换，玻璃管气柱高度为，则
由盖—吕萨克定律得
由单位换算
，
解得
故有部分水银溢出，此种结果不符合题意，需要舍弃。
设水银溢出后，水银柱高度为，则
设温度加热到时，水银柱上端正好与溢出口平齐且不溢出，则由盖—吕萨克定律得
解得
水银柱上端正好与溢出口平齐后再继续加热到，则
联立以上方程，解得
则空气柱长度为
故C错误，D正确。
10. （2023湖南押题卷）如图甲所示，粗细均匀的足够长玻璃管的一端开口，另一端封闭，管的横截面积，沿水平方向放置时，一段长的水银柱封闭着一定质量的理想气体，管内气柱长度，大气压强恒为，室内热力学温度恒为。现将玻璃管沿逆时针方向缓慢转过90°。取。
（1）求稳定后管内气柱的长度；
（2）使玻璃管的封闭端浸入冰水混合物中，管内气体的温度缓慢降低，求管内气体的温度降低的过程中，水银柱对管内气体做的功。
【参考答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）设稳定后管内气柱的长度为，对管内封闭气体初态时
末态时
根据玻意耳定律有
解得
（2）设稳定后管内气柱的长度为
气体发生等压变化，有
可得
水银柱对管内气体做的功
解得
11. （2023吉林通化梅河口五中二模）如图所示，竖直固定的大圆筒由上面的细圆筒和下面的粗圆筒两部分组成，粗圆筒的内径是细筒内径的4倍，细圆筒足够长。粗圆筒中放有A、B两个活塞，活塞A的重力及与筒壁间的摩擦忽略不计。活塞A的上方装有水银，活塞A、B间封有一定质量的空气（可视为理想气体）。初始时，用外力向上托住活塞B使之处于平衡状态，水银上表面与粗筒上端相平，空气柱长，水银深。现使活塞B缓慢上移，直至有一半质量的水银被推入细圆筒中。假设在整个过程中空气柱的温度不变，大气压强p。相当于的水银柱产生的压强，求：
（1）细圆筒中水银柱的高度；
（2）封闭气体的压强；
（3）活塞B上移的距离。
【参考答案】（1）；（2）；（3）
【名师解析】
（1）设粗圆筒的截面积为S1，细圆筒的截面积为S2。由于粗圆筒的内径是细圆筒内径的4倍，所以有
水银总体积
一半水银上升到细圆筒中，设细圆筒中水银柱的高度为h。因为水银体积不变，所以有
解得
（2）此时封闭气体的压强
（3）初态封闭气体的压强
初态封闭气体的体积
设初态到末态活塞B上移的距离为x，则末态气体体积
由玻意耳定律有
解得
13（2023河南开封二模） 如图所示，一端开口，长为的玻璃管锁定在倾角为的光滑斜面上，一段长为的水银柱密封一定质量的理想气体。环境温度为，已知当地大气压
（1）如果解除锁定，玻璃管沿斜面下滑，稳定后水银恰好未溢出管口，求解除锁定前水银柱上端距管口的距离；
（2）如果对密封气体缓慢加热（玻璃管仍然锁定在斜面上），求水银柱恰好移动到管口时的温度。
【参考答案】（1）；（2）
【名师解析】
（1）设未解除锁定时气体的压强为、体积为，玻璃管的横截面积为，水银柱的长度为，水银柱上端距管口的距离为，则有
，
解除锁定后，设气体的压强为，体积为，则有
，
此过程为等温变化，由波意耳定律可得
代入数据解得
（2）设初始时气体的温度为，锁定升温后，设气体的压强为、体积为、温度为,则有
，，
可见，此过程为等压变化，由盖吕萨克定律可得
代入数据解得
14．（2023陕西名校期末）如图所示，上端封闭、下端开口、足够长且粗细均匀的玻璃管，竖直插在一足够深的水银槽中，玻璃管中的水银面比水银槽中的水银面高h1= 30 cm。玻璃管内水银面上方空气柱的高度为h2=20 cm，环境的热力学温度T0=300 K，保持环境温度不变，缓慢竖直向上提玻璃管使玻璃管中水银面上方空气柱高度h3=30 cm。已知外界大气压强P0=75 cmHg。忽略水银槽内液面高度的变化。
(1)求玻璃管向上提起的高度∆h；
(2)缓慢升高环境温度。求玻璃管内外水银面的高度差回到h1时环境的热力学温度T。
【参考答案】．(1)25cm；(2)675K
【名师解析】(1)设玻璃管的横截面积为S，由玻意耳定律可知
（p0-p1）Sh2=pSh3
其中p1=30cmHg
解得：
p=30cmHg
分析可知
h1+h2+Δh-h3=75cm-30cm
解得：
Δh=25cm
(2)由理想气体状态方程可知
分析可知
h4=h2+Δh=45cm
解得：
T=675K