江西省抚州市八校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题

这是一份江西省抚州市八校2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如右下图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（ ）
A.B.C.D.
2.已知为锐角，且，则的度数为（ ）
A.30°B.45°C.60°D.75°
3.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值约为（ ）
A.20B.30C.40D.50
4.如右下图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A.B.C.D.
5.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（ ）
A.B.C.D.
6.函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7.如果，那么___________.
8.《孙子算经》中记载一题：“今有竿，不知长短，度其影，得一丈五尺，别立一表，长一尺五寸，影得五寸.问：竿长几何？”其大意是：“今有一根木杆，不知道其长度.量它的影子，等于1丈5尺.另外再有一根标杆，杆长1尺5寸，量得标杆的影子为5寸.问：木杆长多少？”（注：一丈=十尺，一尺=十寸），若单位统一为尺，则木杆长__________尺.
9.已知、都在的图象上.若，则的值为_________.
10.如图，在矩形中，点是边上一点，于点.若，，则的长为__________.
11.若，是方程的两根，则__________.
12.如图，长方形在平面直角坐标系中，，，为中点，点为线段上一动点，当为等腰三角形时，点的坐标为__________.
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共18分）
13.（1）计算：.
（2）解方程：
14.四边形是正方形，、分别是和的延长线上的点，且，连接、、.
（1）求证：；
（2）若，，求的面积
15.经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元.该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨.
（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是___________吨.
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
16.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点.的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
图1 图2
（1）在图1中，过作边上的高（为垂足）；
（2）在图2中，在边上找一点，使.
17.为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按，，，四类分别装袋、投放，其中类指废电池、过期药品等有害垃圾；类指剩余食品等厨余垃圾；类指塑料、废纸等可回收物；类指其他垃圾.小明投放了一袋垃圾，小亮投放了两袋不同类垃圾.
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是类的概率是___________；
（2）如果小明投放的垃圾是类，请用画树状图或列表的方法求小亮投放的垃圾恰有一袋与小明投放的垃圾是同类的概率.
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为点，连接，为线段上一点，且.
（1）求证：
（2）若，，，求的长.
19.如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和两点，与轴交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，且的面积为6，求点的坐标.
20.2023年11月9日是我国第32个“全国消防宣传日”，今年“119消防宣传月”活动的主题是“预防为主，生命至上”.为落实该主题，我区消防大队到城东小区进行消防演习.已知，图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂可伸缩，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为，转动点距离地面的高度为.
图1 图2
（1）当起重臂长度为，张角，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
（2）已知该小区层高为，若某居民家突发险情，请问该消防车有效救援能达到几层?请说明理由.
（结果精确到，参考数据：，，，）
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21.我们学习了锐角三角函数的相关知识，知道锐角三角函数定量地描述了在直角三角形中边角之间的联系.在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长的比与角的大小之间可以相互转化.如图1，在中，.若，则.
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对.如图2，在中，，顶角的正对记作，这时，.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.
根据上述角的正对的定义，解答下列问题：
图1 图2 备用图
（1）直接写出的值为___________；
（2）若，则的正对值的取值范围是__________；
（3）如图2，已知，其中为锐角，求的值；
22.“保护生态环境，建设绿色社会”已经从理念变为人们的行动，某化工厂2023年1月的利润为200万元.设2023年1月为第1个月，第个月的利润为万元.由于排污超标，该厂决定从2023年1月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，与成反比例.到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）.
（1）分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后，与之间对应的函数关系式.
（2）治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2023年1月的水平?
（3）当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，则该厂资金紧张期共有几个月？
六、解答题（本大题共12分）
23.（1）问题发现
如图1，在和中，，，点是线段上一动点，连接.填空：①的值为___________，②的度数为__________；
图1 图2 图3
（2）类比探究
如图2，在和中，，，点是线段上一动点，连接.请判断的值及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸
如图3，在（2）的条件下，将点改为直线上一动点，其余条件不变.取线段的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，线段的长是多少?请直接写出答案.
2024届九年级第一次质量检测数学试卷参考答案
1.B 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D
7.8.459.-1210.
11.202412.或或
13.（1）解：原式
.……………………3分
（2）
，
，
或，
所以，.…………………………6分
14.（1）证明：四边形是正方形，
，，
而是的延长线上的点，
，
在和中，
；……………………3分
（2）解：，
，
在中，，，
，
可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转90°得到，
，，
的面积.……………………6分
15.解：（1）60；……………………2分
（2）设售价定为每吨元，
由题意，得.
化简得.
解得，.
因为尽可能地扩大销售量，
所以当售价定为每吨200元时，销量更大，
所以售价应定为每吨200元.………………………………6分
16.解：（1）如下图，连，延长交于点，则高即为所求；………………3分
（2）如上图，连、交于点，连交于点，则点即为满足条件的点.…………6分
（答案不唯一）
17.解：（1）……………………2分
画树状图如下：
（2）
由上图可知小亮投放垃圾共12种，恰有一袋与小明一样是类的有6种
…………………………6分
18.（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，，
，
，
而，
，
，
；……………………4分
（2）解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，
，
，即，
.……………………8分
19.解：（1）把点代入，
解得，
点坐标为
把代入反比例函数，
，
反比例函数的解析式为；………………4分
（2）一次函数的图象与轴交于点，
点坐标为，
设点坐标为，
，
，
或，的坐标为或.………………8分
20.解：（1）如图，过点作于，过点作，垂足为，
则，，
，
，
在中，，
，
，
云梯消防车最高点距离地面的高度为；………………4分
（2）该消防车能有效救援10层.………………5分
理由：当，时，能达到最高高度，
，
，
在中，，
，
该消防车能有效救援10层.……………………8分
21.解：（1）1；………………2分
（2）；………………5分
（3）如图2，过点作于点.
图2
.
在中，，
设，则.
.
，.
在中，利用勾股定理得，.
在等腰中，.………………9分
22.【答案】解：（1）当时，设，
将代入，得：，
；
当时，，
当时，；………………3分
（2）在中，时，可得：，
解得：，
治污改造工程完工后经过8个月，该厂月利润才能达到2023年1月的水平；………………6分
（3）在中，当时，可得，
在中，当时，可得，
解得：，
资金紧张期的有第3、4、5、6、7这5个月，
答：该厂资金紧张期共有5个月.………………9分
23.解：（1）1，90°；………………2分
（2），.
理由如下：
，，
，，，
，即，
，，
在中，，
，
，，
.………………7分
（3）①若点在线段上，如图，
由（2）知：，
，
在中，
，，
，，
，且点是中点，
，
是直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，
，，
，
解得或（舍去），
，
②若点在线段延长线上，如图，
同理可得：，，
在中，
，，
，
解得或（舍去），
，
③若点在线段延长线上，如图，
同理可得，，，
是等腰直角三角形，
，
即，与图中不符
此种情况无解
综上所述：的长为或………………12分
（温馨提示：第3小题只要写出正确答案即可，写出一个正确答案给3分，写出两个正确答案给5分.）