山东省青岛市黄岛区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省青岛市黄岛区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了按照如下步骤进行作图等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；满分120分）
说明：
1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共15小题，90分．
2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效．
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．方程－5x2＝1的一次项系数是（ ）
A．－5B．1C．－1D．0
2．某小区有人，随机调查了人，其中人观看了杭州亚运会的比赛．在该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，已知，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（ ）

A．B．3C．4D．5
6．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的值可以是（ ）
A．B．0C．2D．3
7．按照如下步骤进行作图：如图，已知线段，过点作，使，连接，在上截取，在上截取．则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．某新能源汽车销售公司，在国家减税政策的支持下，原价25万元每辆的纯电动新能源汽车两次下调相同费率后售价为16万元，求每次下调的百分率．设每次下调的百分率为x，则可列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的是（ ）
A．△BAC∽△BDAB．△BFA∽△BEC
C．△BDF∽△BECD．△BDF∽△BAE
10．如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②所示的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．设直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，若，四边形的面积为13，则中间空白处的四边形的面积为（ ）

A．lB．2C．3D．4
第П卷（共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，则的值是 ．
12．根据下列表格对应值：
可求得关于的方程的解是 ．
13．一个不透明的袋子中有个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其它都相同，摇匀后随机摸出一个球，如果摸到白球的概率为，由此可估计黑球的个数为 ．
14．如图，平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看作一个点)，它发出的光线照射桌面后，在地面上形成圆形阴影，经测量得，地面上圆形阴影的半径比桌面半径大0.5米，桌面的直径为2米，桌面距离地面的高度为1.5米，则灯泡到桌面的距离为米 ．
15．如图，把长、宽的矩形纸板剪掉个小正方形和个小矩形(阴影部分即剪掉部分)，将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形的边长为 (纸板的厚度忽略不计)，若折成长方体盒子的表面积是，则的值是 ．

16．如图，四边形是正方形，是等边三角形，延长，分别交于点，，连接，，与相交于点，给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的是 ．(只填写序号即可)

三、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．已知：在中，．求作：点D，使得点D在边上，并且以点A，C，D为顶点的三角形与相似．

四、解答题（本大题共8小题，共68分）
18．用适当的方法解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
19．如图，矩形中，与相交于点．若，，求矩形的面积．

20．阅读下列材料，并解答问题：
人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．
我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得．

(1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是 ．(从序号①②③中选择)

(2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图(类比图1标明相关数据，不需写出解答过程)．

21．在校内课后托管服务实施过程中，某校设置了多种社团活动供同学们选择．小明喜欢的社团有：篮球社团、足球社团、书法社团、科技社团．分别用字母А，В，С，D依次表示，并写在四张完全相同的不透明的卡片的正面，然后将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．
(1)小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是 ；
(2)由于受资源的限制，学校规定，本学期每人最多可报两个社团参加活动．小明打算从四张卡片中一次性抽取两张卡片决定自己的最终志愿．请你用列表法或画树状图法，求出小明抽取的卡片中有一张是科技社团D的概率．
22．已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？
23．如图，在平行四边形中，，，的平分线分别与，相交于点E，F．

(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形为菱形?请说明理由．
24．为解决山区苹果滞销的难题，镇助农直播间发起了“爱心助农”苹果直销活动，某水果批发商响应号召，以市场价每千克元的价格收购了千克苹果，并立即将其冷藏，请根据下列信息解答问题：
①该苹果的市场价预计每天每千克上涨元；
②这批苹果平均每天有千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为元；
④这批苹果最多保存天．
若将这批苹果存放一定天数后按当天市场价一次性出售．
(1)多少天后这批苹果的市场价为每千克元?
(2)求天后一次性全部售出所得的利润为多少元?
(3)若天后一次性出售所得利润为元，求的值．
25．如图，在矩形中，点从点出发沿向终点运动；点从点出发沿向终点运动．，两点同时出发，它们的速度都是．连接，，．设点，运动的时间为．

(1)当为何值时，四边形是矩形?
(2)当为何值时，四边形是菱形?
(3)是否存在某一时刻，使得若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．
【详解】方程整理得：-5x2-1=0，
则一次项系数为0，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．A
【分析】本题考查概率公式和用样本估计总体，根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解题的关键是掌握概率的公式：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件A的概率．
【详解】解：∵随机调查了人，其中人观看了杭州亚运会的比赛，
∴该小区随便问一个人，他观看了杭州亚运会比赛的概率是：．
故选：A．
3．C
【详解】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，符合题意，
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
4．C
【分析】本题主要考查矩形的性质及勾股定理，利用矩形的性质可知对角线互相平分且，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∴，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解．
【详解】解：，，
四边形为平行四边形，
又，为的中点，
，
平行四边形为菱形，
∴，
∴
又
∴四边形是平行四边形，
，，，
，
∴．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及定义，根据题意，利用一元二次方程根的判别式及定义，列出不等式即可求解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：依题意得：
，且，
解得：，且，
则实数m的值可以是2，
故选C．
7．B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，二次根式的混合运算；由勾股定理求得的长，由题意可得的长，从而得的长，再计算即可．
【详解】解：∵，设，
∴，
∴由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴；
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系：现价=原价下调的百分率），正确列出方程是解题关键．
【详解】解：由题意得第一次下调费率后的售价为，
第二次下调费率后的售价为，
得到方程，
故选：D．
9．C
【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【详解】∵∠BAD=∠C，
∠B=∠B，
∴△BAC∽△BDA．故A正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC．故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE．故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故C错误．
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
10．A
【分析】由菱形的性质可得四边形是正方形，可得，求出，中间空白处的四边形也是正方形，其面积，即可求解．
【详解】解：由题意得：四边形和四边形是正方形，
∵正方形的面积为，
∴，
∵，
∴，
∴中间空白处的四边形的面积为，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，勾股定理，完全平方公式等知识，掌握菱形的性质，求出是解题的关键．
11．##
【分析】本题考查分式的运算，掌握分式的运算法则即可解题．除分式运算法则之外，还可设未知数，给出，表达式解此题．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的解，关键是观察表格，确定时x的值．
从表格中的数据可以看出，当时，；当时，，则关于x的方程的解是：或。
【详解】解：∵当时，；
当时，，
∴关于x的方程的解是：或，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了概率的应用，设黑球有个，根据概率公式列出方程， 解方程，即可求解．
【详解】设黑球有个，根据题意得：
解得：，经检验是原方程的解
故答案为：．
14．3
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，先根据题意画出几何模型如图，米、（米）、米、，可得，即，然后将相关数据代入即可解答．
【详解】解：构造几何模型如图：
依题意知：米，（米），米，
∵,
∴
∴ ，即，解得：，
故：灯泡距离桌面3米．
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查一元二次方程的应用，观察图形可知小矩形的长为，根据去除阴影部分后的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴的值是．
故答案为：．
16．①②③
【分析】利用正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在正方形中，
，，
，
∴
在和中，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，
，
，
②的结论正确；
，，
．
，，
，
．
，
，
③的结论正确；
，
，
，
④的结论错误，
综上，正确的结论的序号为：①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．
17．见解析
【分析】本题考查尺规作图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，此时．
【详解】解：如图，以点A为圆心，长为半径画弧，再以点B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点E和点C，连接，与相交与点D，即为的高，即，此时．

点D即为所求．
∵，，
∴，
∵，
∴．
18．(1)，
(2)，
(3)或
(4)，
【分析】（1）利用直接平方法解方程即可；
（2）利用配方法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，，
两边除以2得，，
开平方得，，
∴，；
（2）解：，
配方得，，即，
开平方得，，
∴，；
（3）解：，
移项得，，
分解因式得，，
∴或，
∴或；
（4）解：，
分解因式得，，
移项得，，
因式分解得，，即，
∴或，
∴，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
19．
【分析】根据四边形为矩形，得出，，又因为，则，利用勾股定理求出，最后求出面积即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等，矩形的对角线相等且互相平分，题目比较典型，难度适中．
【详解】解: 四边形为矩形，
，，
，
，
在中，，
，
，
矩形的面积是．
20．(1)②
(2)图见详解
【分析】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想．
（1）仿照阅读材料构造图形，即可判断出构图方法；
（2）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题．
【详解】（1）解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
大正方形的面积又可表示为，
大正方形的边长为8，
所以，
，
故正确构图②，
故答案为：②；
（2）解：如图2所示的图形，

图中的大正方形面积是，
其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，
所以大正方形的面积又可表示为，
进一步可知大正方形的边长为8，
所以，
得．
21．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了概率公式求概率与列表法法求概率；
（1）直接根据概率公式求解；
（2）利用列表法展示所有种等可能性结果，再找出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：小明从中随机抽取一张卡片是足球社团B的概率是，
故答案为：．
（2）
一共有 种等可能的结果，其中抽取的卡片中有一张是科技社团的结果有种；
小明抽取的卡片中有一张是科技社团的概率
22．跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．
【分析】过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出，，即可得出答案．
【详解】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，
可得HO∥BN，
则△AOH∽△ABN，
故，
∵AB长为3米，BN长为1.5米，
∴，
∴
同理可得：△BOH∽△BAM，
则，
∵AB长为3米，AM长为1米，
∴，即
∴OH＝0.6，
答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．
23．(1)详见解析
(2)当时， 四边形为菱形，详见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．
（1）根据平行四边形的性质可得，，再结合角度和角平分线的定义可得，问题得解；
（2）先证明与是等边三角形，可得，，再证明四边形为平行四边形，根据，可得，问题得解．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，分别是，的平分线，
∴，，
∴，
∴；
（2）时， 四边形为菱形，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由 （1） 得，，
∴与是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
又∵，
，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形．
24．(1)天
(2)元
(3)天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，有理数混合运算的应用，找准等量关系列出一元二次方程是解题关键．
（1）设存放天后按当天价格一次性出售，利用销售价格储存时间，即可求出结果；
（2）利用利润销售单价销售数量冷藏费用总成本，进行计算即可；
（3）利用利润销售单价销售数量冷藏费用总成本，可得关于的一元二次方程，进行计算，再根据题意进行取舍即可．
【详解】（1）解：设存放天后按当天价格一次性出售，
根据题意，天后这批苹果的市场价为每千克元，
，
解得：，
答：天后这批苹果的市场价为每千克元；
（2）天后的价格为：（元），
天要损坏的苹果有（千克），
天的冷藏费用为（元），
天后一次性全部售出所得的利润：
（元），
答：天后一次性全部售出所得的利润为元；
（3）天后的价格为：（元），
天要损坏的苹果有（千克），
天的冷藏费用为（元），
，
整理得：，
，
，，
批苹果最多保存天，
．
25．(1)
(2)
(3)不存在某一时刻使得，理由详见解析
【分析】（1）根据矩形的性质，可得，列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）根据菱形的性质可得，勾股定理表示出，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）过点 作 于点 ， 则，证明，根据相似三角形的性质列出方程，解方程，即可得出结论．
【详解】（1）由题意可得
，
四边形 是矩形
，
即
解得
（2）四边形 是矩形，
，

四边形 是菱形，
，
在中，即
解得
（3）假设存在某一时刻 使得 ，
过点 作 于点 ， 则，
，
四边形 是矩形，
，

，
，
，
，
，
，
，
在 与 中
，
，
即，
整理得，
，
此方程无解
不存在某一时刻，使得
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式的意义；熟练掌握特殊四边形的性质，相似三角形的性质，一元二次方程根的判别式的意义，是解题的关键．
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