2023-2024学年山东省聊城市高唐县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市高唐县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各式：，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
4．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
5．如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
根据以上作法，可以判断出△OPQ≌△EDF的方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
6．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．180°
7．下列约分结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（4，7）C．（﹣4，7）D．（5，﹣4）
9．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝30°，则∠DBC的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
10．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．1.5D．2.5
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9B．10C．13D．14
12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．ABB．DEC．BDD．AF
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．约分：＝ ．
14．已知a2﹣a﹣2＝0，则代数式﹣的值为 ．
15．等腰三角形的周长为18．其中一条边的长为8，则底边长是 ．
16．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是 ．
17．已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共计69分。解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
19．计算：
（1）；
（2）．
20．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：AC∥DF．
21．先化简再求值：÷（﹣x+1），请从﹣1，0，2中选择你喜欢的一个数作为x的值代入，求出相应的分式的值．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E，已知∠ABE＝40°，求∠EBC的度数．
23．在直角坐标系中，已知点A（a+b，2﹣a）与点B（a﹣5，b﹣2a）关于y轴对称，
（1）试确定点A、B的坐标；
（2）如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积．
24．在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
25．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由；
（3）在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．
参考答案
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分。在每个小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项）
1．第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
2．下列各式：，，，，其中分式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据分式的定义逐个判断即可．
解：在，，，中，其中分式有：、共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的定义，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
3．下列各分式中，是最简分式的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可．
解：A、分子不能分解因式，分子分母没有非零次的公因式，所以是最简分式；
B、分子分解因式为（x+y）（x﹣y）与分母可以约去（x+y），结果为（x﹣y），所以不是最简分式；
C、分子分解因式为x（x+1），与分母xy可以约去x，结果为，所以不是最简分式；
D、分子分母可以约去y，结果为，所以不是最简分式．
故选：A．
【点评】此题考查最简分式的意义，要把分子与分母因式分解彻底，进一步判定即可．
4．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．0B．1C．﹣1D．±1
【分析】根据分式为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
解：∵分式的值为零，
∴，解得x＝1．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
5．如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB
作法：（1）以点O为圆心，任意长为半径画，分别交OA，OB于点P，Q；
（2）作射线EG，并以点E为圆心，OP长为半径画弧交EG于点D；
（3）以点D为圆心，PQ长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F；
（4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
根据以上作法，可以判断出△OPQ≌△EDF的方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【分析】利用作法得到OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
解：由作法得OP＝OQ＝EF＝ED，PQ＝DF，
则可根据“SSS”判断△OPQ≌△EDF，从而得到∠DEF＝∠AOB．
故选：B．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定．
6．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3的度数是（ ）
A．90°B．120°C．135°D．180°
【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6＝180°，∠5+∠7+∠8＝180°，进而得出答案．
解：如图所示：
由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7＝540°，
∵三个全等三角形，
∴∠4+∠9+∠6＝180°，
又∵∠5+∠7+∠8＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+180°+180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3的度数是180°．
故选：D．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
7．下列约分结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】约去分式的分子与分母的公因式即可．
解：A、是最简分式，不能化简，不符合题意．
B、原式＝x+y，不符合题意．
C、原式＝﹣m+1，符合题意．
D、原式＝，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式．
8．若A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），则P（m，n）的坐标是（ ）
A．（﹣4，﹣3）B．（4，7）C．（﹣4，7）D．（5，﹣4）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m＝4，2﹣n＝﹣5，从而得解．
解：∵点A（m，2﹣n）关于x轴对称的点是A1（4，5），
∴m＝4，2﹣n＝﹣5，
解得：m＝4，n＝7，
∴P（m，n）的坐标是P（4，7）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
9．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，BD、BE为折痕，若∠ABE＝30°，则∠DBC的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
【分析】根据折叠得到∠ABE＝∠A′BE，∠CBD＝∠C′BD，推出，即可求出答案．
解：∵一张长方形纸片沿BD、BE折叠，
∴∠ABE＝∠A′BE，∠CBD＝∠C′BD，
且∠ABE+∠A′BE+∠CBD+∠C′BD＝180°，
∴，
∵∠ABE＝30°，
∴∠CBD＝60°．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，掌握折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等是关键．
10．如图，△ABC中，AB＝10，AC＝6，AD平分∠BAC，CD⊥AD，E为BC的中点，则DE的长为（ ）
A．2B．3C．1.5D．2.5
【分析】先延长CD交AB于点F，根据已知条件证明△ADF≌△ADC，再根据全等三角形的性质求出AF，DC＝DF，进而求出BF，证明点D为CF中点，利用三角形中位线定理求出答案即可．
解：延长CD交AB于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAD＝∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC＝∠ADF＝90°，
∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AF＝AC＝6cm，DF＝DC，
∴FB＝AB﹣AF＝10﹣6＝4cm，
点D为CF的中点，
∵点E为BC的中点，
∴DE为△CFB的中位线，
∴，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理．
11．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝5，AC＝4，则△ACE的周长为（ ）
A．9B．10C．13D．14
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式计算即可．
解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∴△ACE的周长＝EA+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝9，
故选：A．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（ ）
A．ABB．DEC．BDD．AF
【分析】连接CP，当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，依据△ABF≌△CDE，即可得到AP+EP最小值等于线段AF的长．
解：如图，连接CP，
由AD＝CD，∠ADP＝∠CDP＝45°，DP＝DP，可得△ADP≌△CDP，
∴AP＝CP，
∴AP+PE＝CP+PE，
∴当点E，P，C在同一直线上时，AP+PE的最小值为CE长，
此时，由AB＝CD，∠ABF＝∠CDE，BF＝DE，可得△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，
∴AP+EP最小值等于线段AF的长，
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称，最短路线问题，根据题意作出A关于BD的对称点C是解答此题的关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
13．约分：＝ ．
【分析】直接利用分式的性质化简得出答案．
解：＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】此题主要考查了约分，正确化简分式是解题关键．
14．已知a2﹣a﹣2＝0，则代数式﹣的值为 ﹣ ．
【分析】已知等式变形得：a2﹣a＝2，计算异分母分式化简为﹣代入即可求出所求式子的值．
解：已知等式变形得：a2﹣a＝2，
﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣．
故答案为﹣．
【点评】此题考查了分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．等腰三角形的周长为18．其中一条边的长为8，则底边长是 2或8 ．
【分析】由于已知的长为8的边，没有说明是底还是腰，所以要分类讨论，最后要根据三角形三边关系定理来验证所求的结果是否合理．
解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；
当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．
故底边长是2或8．
故答案为：2或8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
16．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是 100° ．
【分析】首先证明∠P1+∠P2＝40°，可得∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，推出∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，可得结论．
解：∵P点关于OB的对称点是P1，P点关于OA的对称点是P2，
∴PM＝P1M，PN＝P2N，∠P2＝∠P2PN，∠P1＝∠P1PM，
∵∠AOB＝40°，
∴∠P2PP1＝140°，
∴∠P1+∠P2＝40°，
∴∠PMN＝∠P1+∠MPP1＝2∠P1，∠PNM＝∠P2+∠NPP2＝2∠P2，
∴∠PMN+∠PNM＝2×40°＝80°，
∴∠MPN＝180°﹣（∠PMN+∠PNM）＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
17．已知x为整数，且为整数，则所有符合条件的x值的和为 12 ．
【分析】首先把分式进行化简，式子的值的是整数的条件是分母是分子的因数，据此即可确定．
解：＝＝＝
式子的值是整数，则x﹣3＝±2或±1．
则x＝5或1或4或2．
则所有符合条件的x值的和为12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了分式的值是整数的条件，正确理解条件是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共计69分。解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
18．两个城镇A、B与两条公路ME，MF位置如图所示，其中ME是东西方向公路．现电信部门需在C处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条公路ME，MF的距离也必须相等，且在∠FME的内部，请在图中，用尺规作图找出符合条件的点C．（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
【分析】到城镇A、B距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上，分别作出垂直平分线与角平分线，它们的交点即为所求作的点C．
解：如图：
点C即为所求作的点．
【点评】此题考查作图﹣应用与设计作图，掌握垂直平分线和角平分线的性质，以及尺规作图的方法是解决问题的关键．
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据分式的加减法法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
解：（1）
＝
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
＝
【点评】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
20．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，BF＝CE．求证：AC∥DF．
【分析】先证明BC＝EF，再利用“SAS”可判定△ABC≌△DEF，则根据全等的性质得∠ACB＝∠DFE，然后根据平行线的判定方法即可得到结论．
【解答】证明：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝FC+CE，即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
∴∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
21．先化简再求值：÷（﹣x+1），请从﹣1，0，2中选择你喜欢的一个数作为x的值代入，求出相应的分式的值．
【分析】先运用公式法进行因式分解，约分，通分，进行化简，后根据分式的分母不能为零，确定要选择的x值，代入计算即可．
解：因为
＝
＝
＝，
因为x+1≠0，2+x≠0，2﹣x≠0，
所以x≠﹣1，x≠﹣2，x≠2，
所以x＝0，
所以．
【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握化简，明确分式有意义的条件，正确选值是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E，已知∠ABE＝40°，求∠EBC的度数．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE＝BE，推出∠A＝∠ABE＝40°，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出∠ABC，即可求出答案．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵∠ABE＝40°，
∴∠A＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝70°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣40°＝30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
23．在直角坐标系中，已知点A（a+b，2﹣a）与点B（a﹣5，b﹣2a）关于y轴对称，
（1）试确定点A、B的坐标；
（2）如果点B关于x轴的对称的点是C，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a，b即可解答本题；
（2）根据点B关于x轴的对称的点是C，得出C点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．
解：（1）∵点A（a+b，2﹣a）与点B（a﹣5，b﹣2a）关于y轴对称，
∴，
解得：，
∴点A、B的坐标分别为：（4，1），（﹣4，1）；
（2）∵点B关于x轴的对称的点是C，
∴C点坐标为：（﹣4，﹣1），
∴△ABC的面积为：×BC×AB＝×2×8＝8．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
24．在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．
（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；
（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．
【分析】（1）根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论．
解：（1）△AEF是等腰三角形，
理由：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ABC，∠AFE＝∠ACB，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴△AEF是等腰三角形；
（2）∵△ABC的周长为18，BC＝6，
∴AB+AC＝18﹣6＝12，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠EDB，
∴BE＝ED，
同理DF＝CF，
∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝12．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．
25．在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．
（1）如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由；
（2）如图2，当点E为AB上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由；
（3）在等边三角形ABC中，若点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．
【分析】（1）由等腰三角形的性质得∠D＝∠ECD，再由等边三角形的性质得∠ECD＝∠ACB＝30°，然后证∠DEB＝∠D，得DB＝BE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证△AEF为等边三角形，得AE＝EF，再证△DBE≌△EFC（AAS），得DB＝EF，即可得出结论；
（3）过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，可证得△AEF是等边三角形，△DEB≌△ECF（AAS），由DB＝EF＝2，BC＝1，即可得出答案．
解：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，点E是AB的中点，
∴CE平分∠ACB，CE⊥AB，
∴∠ACB＝60°，∠BEC＝90°，AE＝BE，
又∵ED＝EC，
∴∠D＝∠ECB＝30°，
∴∠DEC＝120°，
∴∠DEB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠D＝∠DEB＝30°，
∴BD＝BE＝AE，
即AE＝DB．
（2）当点E为AB上任意一点时，如图2，AE与DB的大小关系不会改变．理由如下：
如图2，过E作EF∥BC交AC于F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD，
（3）过点E作EF∥BC，交AC的延长线于点F，如图3所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF＝2，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠EFC＝60°，
∴∠DBE＝∠ABC＝∠EFC＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∵EF∥BC，
∴∠ECD＝∠CEF，
∴∠D＝∠CEF，
在△DEB和△ECF中，
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴DB＝EF＝2，
∵BC＝1，
∴CD＝BC+DB＝3．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．