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2023-2024学年新疆吐鲁番市九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年新疆吐鲁番市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝5
3．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（ ）
A．80°B．50°C．40°D．10°
4．抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
5．向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A．24520（1﹣x2）＝16000B．16000（1+x）2＝24520
C．24520（1+x2）＝16000D．16000（1﹣x）2＝24520
6．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
7．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．B．C．13D．5
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx﹣n的图象和二次函数y＝mx2+nx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3或a＝1B．a＝3或a＝﹣1C．a＝﹣1或a＝1D．a＝﹣3或a＝3
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
10．已知，点A（x，﹣5），B（1，y）关于原点对称，则x+y的值为 ．
11．已知关于x方程x2+3x﹣a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 m．
14．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 ．
15．如图，点O为等边△ABC内一点，AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则△AOB的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标 ；
（2）画出将△ABC绕点Q（0，﹣1）逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
19．已知：如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是 ，旋转角为 度；
（2）请你判断△AEF的形状，并说明理由．
20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
21．如图所示，有一段15m长的旧围墙AB，先打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为42元时，每天的销售量为280件．
（1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若该网店每天想从这种儿童玩具销售中获利3000元，那么这种儿童玩具的销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解：选项A、C、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝5
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
解：把方程x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x＝1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4
配方得（x+2）2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（ ）
A．80°B．50°C．40°D．10°
【分析】首先利用已知条件求出∠BAD，然后利用旋转角的定义即可求解．
解：∵∠BAC＝40°，∠CAD＝10°，
∴∠BAD＝40°+10°＝50°，
∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，
∴∠BAD为旋转角，
∴旋转角的度数为50°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．
4．抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A．24520（1﹣x2）＝16000B．16000（1+x）2＝24520
C．24520（1+x2）＝16000D．16000（1﹣x）2＝24520
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
解：根据题意可列出方程为：16000（1+x）2＝24520．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2＝b（a＜b）．
6．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．
解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵0﹣1＜1﹣1＜3﹣1，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近y最大是解题的关键．
7．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．B．C．13D．5
【分析】求出已知方程的解得到两直角边长，利用勾股定理求出斜边即可．
解：方程x2﹣5x+6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或x＝3，
根据勾股定理得：斜边为＝，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及勾股定理，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx﹣n的图象和二次函数y＝mx2+nx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用对称轴x＝﹣，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向逐个判断即可．
解：A，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＜0，与图象不符，不符合题意；
B，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＜0，图象没过原点，与图象不合，不符合题意；
C，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＜0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＞0，与图象不符，不符合题意；
D，结合图象y＝mx﹣n中，m＜0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＞0与图象符合，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合．
9．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3或a＝1B．a＝3或a＝﹣1C．a＝﹣1或a＝1D．a＝﹣3或a＝3
【分析】先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴，将y＝1代入函数求出对应的x值，分情况讨论即可．
解：二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴为，
将y＝1代入y＝x2﹣2x﹣2得1＝x2﹣2x﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
当1≤a≤x≤a+2时，在x＝a+2＝3取得最大值，a＝1．
当a≤x≤a+2≤1时，在x＝a＝﹣1取得最大值，a＝﹣1．
∴a＝﹣1或a＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
10．已知，点A（x，﹣5），B（1，y）关于原点对称，则x+y的值为 4 ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
解：∵点A（x，﹣5），B（1，y）关于原点对称，
∴x＝﹣1，y＝5，
∴x+y＝﹣1+5＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
11．已知关于x方程x2+3x﹣a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 ﹣2 ．
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根即可．
解：设方程的另一根为t，则﹣1+t＝﹣3，
解得t＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ．
【分析】由方程有实数根可知b2﹣4ac≥0，套入数据得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
解：由已知得：b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＝4k+4≥0，
解得：k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（方程组、或不等式）是关键．
13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 （2﹣4） m．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
14．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 （20﹣2x）（15﹣x）＝208 ．
【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
解：设道路的宽为x米，由题意有
（20﹣2x）（15﹣x）＝208，
故答案为：（20﹣2x）（15﹣x）＝208．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
15．如图，点O为等边△ABC内一点，AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则△AOB的面积是 12 ．
【分析】先根据旋转的性质得到AO1＝AO＝8，BO1＝CO＝10，∠OAO1＝60°，则可判断△AOO1为等边三角形，于是得到OO1＝AO＝8，∠AOO1＝60°，再利用勾股定理的逆定理可证明△BOO1为直角三角形，∠BOO1＝90°，所以∠AOB＝150°，过B点作BH⊥AO于H点，如图，则∠BOH＝30°，所以BH＝BO＝3，然后根据三角形面积公式求解．
解：∵△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，
∴AO1＝AO＝8，BO1＝CO＝10，∠OAO1＝60°，
∴△AOO1为等边三角形，∴OO1＝AO＝8，∠AOO1＝60°，
∵+OB2＝，
∴△BOO1为直角三角形，∠BOO1＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO1+∠BOO1＝60°+90°＝150°，
过B点作BH⊥AO于H点，如图，
∵∠BOH＝180°﹣∠AOB＝30°，
∴BH＝BO＝3，
∴△AOB的面积＝AO•BH＝×8×3＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标 （﹣1，﹣1） ；
（2）画出将△ABC绕点Q（0，﹣1）逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）△A1B1C1如图所示．B1（﹣1，﹣1）
故答案为：（﹣1，﹣1）．
（2）△A2B2C2如图所示
【点评】本题考查了画中心对称图形，旋转图形，掌握中心对称的性质以及旋转的性质是解题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m＝1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2．
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴若m为正整数时，方程的根为1和3．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
19．已知：如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是 A ，旋转角为 90 度；
（2）请你判断△AEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得答案；
（2）根据旋转的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，从而得出答案．
解：（1）∵△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
∴旋转中心是点A，旋转角是90°，
故答案为：A，90；
（2）△AEF是等腰直角三角形．
∵△ABE绕点A逆时针旋转90°后能够与△ADF重合．
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
21．如图所示，有一段15m长的旧围墙AB，先打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
【分析】设DE的长度为xm，则CD的长度为m，根据长方形的面积公式结合围成的长方形场地的面积为126m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于15的值即可得出结论．
解：设DE的长度为xm，则CD的长度为m，
根据题意得：x•＝126，
解得：x1＝14，x2＝18．
∵18＞15，
∴x2＝18舍去，
∴＝9．
答：围成一个长14m，宽9m的长方形场地．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为42元时，每天的销售量为280件．
（1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若该网店每天想从这种儿童玩具销售中获利3000元，那么这种儿童玩具的销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得到方程组，于是得到结论，根据物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的60%列不等式可得自变量x的取值范围；
（2）根据销售量×（售价﹣进价）＝3000，解方程可得结论；
（3）设利润为w元，根据题意得到函数解析式w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700；
∵30≤x≤30×（1+60%）＝48，
∴30≤x≤48；
（2）由题意得：（﹣10x+700）（x﹣30）＝3000，
x2﹣100x+2400＝0，
（x﹣40）（x﹣60）＝0，
x1＝40，x2＝60（舍），
答：这种儿童玩具的销售单价应定为40元；
（3）设利润为w元，
根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可；
（3）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．
设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴当m＝2时，点E到BC的距离就最大．此时点E的坐标为（2，4）．
（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是或或．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝5
3．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（ ）
A．80°B．50°C．40°D．10°
4．抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
5．向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A．24520（1﹣x2）＝16000B．16000（1+x）2＝24520
C．24520（1+x2）＝16000D．16000（1﹣x）2＝24520
6．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
7．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．B．C．13D．5
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx﹣n的图象和二次函数y＝mx2+nx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3或a＝1B．a＝3或a＝﹣1C．a＝﹣1或a＝1D．a＝﹣3或a＝3
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
10．已知，点A（x，﹣5），B（1，y）关于原点对称，则x+y的值为 ．
11．已知关于x方程x2+3x﹣a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 ．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 m．
14．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 ．
15．如图，点O为等边△ABC内一点，AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则△AOB的面积是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标 ；
（2）画出将△ABC绕点Q（0，﹣1）逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
19．已知：如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是 ，旋转角为 度；
（2）请你判断△AEF的形状，并说明理由．
20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
21．如图所示，有一段15m长的旧围墙AB，先打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为42元时，每天的销售量为280件．
（1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若该网店每天想从这种儿童玩具销售中获利3000元，那么这种儿童玩具的销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请按答题卷中的要求作答）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
解：选项A、C、D均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
2．用配方法解方程x2+4x﹣1＝0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x+2）2＝5B．（x+2）2＝1C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝5
【分析】在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．
解：把方程x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x＝1
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4＝1+4
配方得（x+2）2＝5．
故选：A．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．如图，△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，若∠BAC＝40°，∠B＝90°，∠CAD＝10°，则旋转角的度数为（ ）
A．80°B．50°C．40°D．10°
【分析】首先利用已知条件求出∠BAD，然后利用旋转角的定义即可求解．
解：∵∠BAC＝40°，∠CAD＝10°，
∴∠BAD＝40°+10°＝50°，
∵△ADE是由△ABC绕A点旋转得到的，
∴∠BAD为旋转角，
∴旋转角的度数为50°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是正确找出旋转角．
4．抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．向阳村前年的人均年收入为16000元，今年的人均年收入为24520元．设人均年收入的平均增长率为x，则下列所列的方程中正确的是（ ）
A．24520（1﹣x2）＝16000B．16000（1+x）2＝24520
C．24520（1+x2）＝16000D．16000（1﹣x）2＝24520
【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为x，根据题意即可列出方程．
解：根据题意可列出方程为：16000（1+x）2＝24520．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，即一元二次方程解答有关平均增长率问题．对于平均增长率问题，在理解的基础上，可归结为a（1+x）2＝b（a＜b）．
6．已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．
解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∵0﹣1＜1﹣1＜3﹣1，
∴y2＞y1＞y3，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近y最大是解题的关键．
7．已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2﹣5x+6＝0的两个根，则此直角三角形斜边长是（ ）
A．B．C．13D．5
【分析】求出已知方程的解得到两直角边长，利用勾股定理求出斜边即可．
解：方程x2﹣5x+6＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
解得：x＝2或x＝3，
根据勾股定理得：斜边为＝，
故选：A．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及勾股定理，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝mx﹣n的图象和二次函数y＝mx2+nx的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用对称轴x＝﹣，左同右异判断对称轴位置，结合一次函数图象走向与二次函数开口方向逐个判断即可．
解：A，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＜0，与图象不符，不符合题意；
B，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＜0，图象没过原点，与图象不合，不符合题意；
C，结合图象y＝mx﹣n中，m＞0，n＜0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＞0，与图象不符，不符合题意；
D，结合图象y＝mx﹣n中，m＜0，n＞0，此时二次函数y＝mx2+nx中对称轴x＝﹣＞0与图象符合，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查一次函数与二次函数在同一坐标系中各常量间的关系，本题突破口在于用控制变量法来研究．先把一次函数固定，再研究这种条件下二次函数的图象位置是否符合．
9．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣2在a≤x≤a+2时，函数有最大值1，则a的值是（ ）
A．a＝﹣3或a＝1B．a＝3或a＝﹣1C．a＝﹣1或a＝1D．a＝﹣3或a＝3
【分析】先求出二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴，将y＝1代入函数求出对应的x值，分情况讨论即可．
解：二次函数y＝x2﹣2x﹣2的对称轴为，
将y＝1代入y＝x2﹣2x﹣2得1＝x2﹣2x﹣2，
解得：x1＝﹣1，x2＝3，
当1≤a≤x≤a+2时，在x＝a+2＝3取得最大值，a＝1．
当a≤x≤a+2≤1时，在x＝a＝﹣1取得最大值，a＝﹣1．
∴a＝﹣1或a＝1．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）
10．已知，点A（x，﹣5），B（1，y）关于原点对称，则x+y的值为 4 ．
【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案．
解：∵点A（x，﹣5），B（1，y）关于原点对称，
∴x＝﹣1，y＝5，
∴x+y＝﹣1+5＝4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
11．已知关于x方程x2+3x﹣a＝0有一个根为﹣1，则方程的另一个根为 ﹣2 ．
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根即可．
解：设方程的另一根为t，则﹣1+t＝﹣3，
解得t＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥﹣1 ．
【分析】由方程有实数根可知b2﹣4ac≥0，套入数据得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
解：由已知得：b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＝4k+4≥0，
解得：k≥﹣1．
故答案为：k≥﹣1．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（方程组、或不等式）是关键．
13．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 （2﹣4） m．
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），
得：a＝﹣0.5，
所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：
﹣1＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±，
所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，
故答案为：（2﹣4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
14．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，设道路的宽为x米，则列方程为 （20﹣2x）（15﹣x）＝208 ．
【分析】把所修的道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可．
解：设道路的宽为x米，由题意有
（20﹣2x）（15﹣x）＝208，
故答案为：（20﹣2x）（15﹣x）＝208．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
15．如图，点O为等边△ABC内一点，AO＝8，BO＝6，CO＝10，将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，连接OO1，则△AOB的面积是 12 ．
【分析】先根据旋转的性质得到AO1＝AO＝8，BO1＝CO＝10，∠OAO1＝60°，则可判断△AOO1为等边三角形，于是得到OO1＝AO＝8，∠AOO1＝60°，再利用勾股定理的逆定理可证明△BOO1为直角三角形，∠BOO1＝90°，所以∠AOB＝150°，过B点作BH⊥AO于H点，如图，则∠BOH＝30°，所以BH＝BO＝3，然后根据三角形面积公式求解．
解：∵△AOC绕点A顺时针方向旋转60°，使AC与AB重合，点O旋转至点O1处，
∴AO1＝AO＝8，BO1＝CO＝10，∠OAO1＝60°，
∴△AOO1为等边三角形，∴OO1＝AO＝8，∠AOO1＝60°，
∵+OB2＝，
∴△BOO1为直角三角形，∠BOO1＝90°，
∴∠AOB＝∠AOO1+∠BOO1＝60°+90°＝150°，
过B点作BH⊥AO于H点，如图，
∵∠BOH＝180°﹣∠AOB＝30°，
∴BH＝BO＝3，
∴△AOB的面积＝AO•BH＝×8×3＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．解方程：
（1）x2﹣6x﹣4＝0；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，1），C（4，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标 （﹣1，﹣1） ；
（2）画出将△ABC绕点Q（0，﹣1）逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2．
【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
解：（1）△A1B1C1如图所示．B1（﹣1，﹣1）
故答案为：（﹣1，﹣1）．
（2）△A2B2C2如图所示
【点评】本题考查了画中心对称图形，旋转图形，掌握中心对称的性质以及旋转的性质是解题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出m＝1，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+2＝0有两个不相等的实数根
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+2）＞0，
解得：m＜2，
∴m的取值范围为m＜2．
（2）∵m为正整数，
∴m＝1，
∴原方程为x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝3，
∴若m为正整数时，方程的根为1和3．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．
19．已知：如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
（1）旋转中心是 A ，旋转角为 90 度；
（2）请你判断△AEF的形状，并说明理由．
【分析】（1）根据旋转的性质可得答案；
（2）根据旋转的性质可得AE＝AF，∠EAF＝90°，从而得出答案．
解：（1）∵△ABE逆时针旋转后能够与△ADF重合．
∴旋转中心是点A，旋转角是90°，
故答案为：A，90；
（2）△AEF是等腰直角三角形．
∵△ABE绕点A逆时针旋转90°后能够与△ADF重合．
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形．
【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数＝经过两轮传染后患流感的人数+经过两轮传染后患流感的人数×8，即可求出结论．
解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
21．如图所示，有一段15m长的旧围墙AB，先打算利用该围墙的一部分（或全部）为一边，再用32m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF．怎样围成一个面积为126m2的长方形场地？
【分析】设DE的长度为xm，则CD的长度为m，根据长方形的面积公式结合围成的长方形场地的面积为126m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于15的值即可得出结论．
解：设DE的长度为xm，则CD的长度为m，
根据题意得：x•＝126，
解得：x1＝14，x2＝18．
∵18＞15，
∴x2＝18舍去，
∴＝9．
答：围成一个长14m，宽9m的长方形场地．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为42元时，每天的销售量为280件．
（1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）若该网店每天想从这种儿童玩具销售中获利3000元，那么这种儿童玩具的销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得到方程组，于是得到结论，根据物价部门规定每件儿童玩具的售价不低于进价且销售利润不高于进价的60%列不等式可得自变量x的取值范围；
（2）根据销售量×（售价﹣进价）＝3000，解方程可得结论；
（3）设利润为w元，根据题意得到函数解析式w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，根据二次函数的性质即可得到结论．
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700；
∵30≤x≤30×（1+60%）＝48，
∴30≤x≤48；
（2）由题意得：（﹣10x+700）（x﹣30）＝3000，
x2﹣100x+2400＝0，
（x﹣40）（x﹣60）＝0，
x1＝40，x2＝60（舍），
答：这种儿童玩具的销售单价应定为40元；
（3）设利润为w元，
根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3960元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+x+c经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上的一动点，当点E到直线BC的距离最大时，求点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用一次函数的性质求出B、C的坐标，然后把B、C的坐标代入到抛物线解析式中求解即可；
（2）要求E到直线BC的最大距离，即要求△BCE面积的最大值，由此转换成求△BCE的面积最大值时点E的坐标即可；
（3）分BC为对角线和边两种情况，利用平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可．
解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B，C的坐标分别为B（0，4），C（4，0），
把点B（0，4）和点C（4，0）代入抛物线y＝ax2+x+c，
得：，
解之，得，
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点E作EG∥y轴，交直线BC于点G．
设点E的坐标为，则点G的坐标为（m，﹣m+4），
∴，
∴，
∴当m＝2时，点E到BC的距离就最大．此时点E的坐标为（2，4）．
（3）存在．由抛物线可得对称轴是直线x＝1．
∵Q是抛物线对称轴上的动点，∴点Q的横坐标为1．
①当BC为边时，点B到点C的水平距离是4，
∴点Q到点P的水平距离也是4．
∴点P的横坐标是5或﹣3，∴点P的坐标为或；
②当BC为对角线时，点Q到点C的水平距离是3，
∴点B到点P的水平距离也是3，∴点P的坐标为．
综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是或或．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，一次函数与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，正确作出辅助线和画图图形是解题的关键．
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