2023-2024学年浙江省金华五中等三校联盟八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华五中等三校联盟八年级（上）期中数学试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，5cmB．3cm，3cm，3cm
C．2cm，2cm，4cmD．3cm，4cm，9cm
3．若a＜b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．a+3＞b+3C．﹣3a＞﹣3bD．
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．全等三角形对应边相等，对应角相等
B．全等三角形的周长相等，面积也相等
C．三条边对应相等的两个三角形全等
D．三个角对应相等的两个三角形全等
5．分别具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
6．已知实数x，y满足|3﹣x|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．17B．13
C．13或17D．以上答案均不对
7．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＞﹣2D．x≥﹣2
8．如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
9．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
10．如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝3，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为直角边，P，M，N为顶点作等腰直角三角形，则MN的长不可能是（ ）
A．B．3C．D．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．命题“同位角相等，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为 ．
12．已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其斜边长为 ．
13．如图，在△ABC和△DCB中，∠DBC＝∠ACB，请添加一个条件使得△ABC≌△DCB成立： ．
14．一副三角板如图所示的方式叠放在一起，则∠α的度数为 °．
15．如图所示为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知，上述三条线段中，能够通过折纸折出的是 ．
16．三角形的三个内角分别为75°，80°，25°，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 ．
17．关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，那么a的取值范围是 ．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正三角形ABD、ACE、BCF，图中四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，求S1﹣S2+S3＝ ．
19．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 寸．
20．如图，在Rt△ABC，AB＝CB＝2，点D、E分别是边AC、AB上动点，满足AE＝CD．连接BD、CE，则BD+CE的最小值为 ．
三、解答题：（第21，22，23每题8分，第24题10分，第25题12分，第26题14分，共60分）
21．解不等式（组），并把解集表示在下面的数轴上．
（1）3x+1≤x+5；
（2）．
22．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：AF＝DE．
23．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求∠CDE的度数．
（2）若点F为CD中点，连结EF．求证：EF⊥CD．
24．根据以下素材，探索完成任务．
25．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE，利用所学知识解决下列问题：
（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求证：BD＝CE；
（2）连接BE，当点D在线段BE上时：
①如图2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠BEC的度数为 ，线段BD与CE之间的数量关系是 ；
②如图3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM为△ADE中DE边上的高，求出∠BEC的度数以及线段AM、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，BC＝k•AC（k是大于0的常数），点D在AB边上运动，△CDB沿着CD折叠得到△CDB′，直线CB′与直线AB相交于E点．
（1）若k＝1，
①如图2，CB′⊥AB，求B′E的长度；
②点B′落在边AC的垂线平分线上，求∠CDB′的度数；
（2）若k＝，△EDB′为钝角三角形，直接写出BD长度的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．
解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．下列各组中的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，5cmB．3cm，3cm，3cm
C．2cm，2cm，4cmD．3cm，4cm，9cm
【分析】在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断
解：A、1+2＜5，长是1cm、2cm、5cm的线段不能组成三角形，故A不符合题意；
B、3+3＞3，长是3cm、3cm、3cm的线段能组成三角形，故B符合题意；
C、2+2＝4，长是2cm、2cm、4cm的线段不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4＜9，长是3cm、4cm、9cm的线段不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
3．若a＜b，则下列不等式中成立的是（ ）
A．a﹣3＞b﹣3B．a+3＞b+3C．﹣3a＞﹣3bD．
【分析】根据不等式的性质进行分析判断．
解：A、在不等式a＜b的两边都减3，不等号的方向不变，即a+1＞b+1，原变形错误，故本选项不符合题意；
B、在不等式a＜b的两边同时都加3，不等号的方向不变，即a+3＜b+3，原变形错误，故本选项不符合题意；
C、在不等式a＜b的两边同时乘以﹣3，不等号的方向改变，即﹣3a＞﹣3b，原变形正确，故本选项符合题意；
D、在不等式a＜b的两边同时乘以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质：
4．下列命题为假命题的是（ ）
A．全等三角形对应边相等，对应角相等
B．全等三角形的周长相等，面积也相等
C．三条边对应相等的两个三角形全等
D．三个角对应相等的两个三角形全等
【分析】利用全等三角形的性质及判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、全等三角形对应边相等，对应角相等，正确，是真命题，不符合题意；
B、全等三角形的周长相等，面积也相等，正确，是真命题，不符合题意；
C、三条边对应相等的两个三角形全等，正确，是真命题，不符合题意；
D、三个角对应相等的两个三角形相似但不一定全等，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质及判定方法，难度不大．
5．分别具备下列条件的△ABC中，不属于直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠CB．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A：∠B：∠C＝1：2：3D．∠A＝∠B＝3∠C
【分析】A．根据∠A+∠B＝∠C，结合三角形内角和定理，可求出∠C＝90°，进而可得出△ABC是直角三角形；
B．由52+122＝132，可得出a2+b2＝c2，再利用勾股定理的逆定理，可得出△ABC是直角三角形；
C．根据∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可得出∠A+∠B＝∠C，结合三角形内角和定理，可求出∠C＝90°，进而可得出△ABC是直角三角形；
D．根据∠A＝∠B＝3∠C，结合三角形内角和定理，可求出∠C的度数，进而可求出∠A，∠B的度数，由∠A，∠B，∠C均为锐角，可得出△ABC是锐角三角形．
解：A．∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
B．∵a＝5，b＝12，c＝13，52+122＝169＝132，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，
∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A，
∴∠A+∠B＝3∠A＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；
D．∵∠A＝∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝×180°＝°，
∴∠A＝∠B＝3∠C＝°＜90°，
∴∠A，∠B，∠C均为锐角，
∴△ABC是锐角三角形，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及勾股定理的逆定理，根据三角形各内角间的关系，求出最大内角的度数是解题的关键．
6．已知实数x，y满足|3﹣x|+＝0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．17B．13
C．13或17D．以上答案均不对
【分析】根据平方与二次根式的非负性即可求出x与y的值．由于没有说明x与y是腰长还是底边长，故需要分类讨论．
解：由题意可知：3﹣x＝0，y﹣7＝0，
∴x＝3，y＝7，
当腰长为3，底边长为7时，
∵3+3＜7，
∴不能围成三角形，
当腰长为7，底边长为3时，
∵3+7＞7，
∴能围成三角形，
∴周长为：7+7+3＝17．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确理解非负性的意义，以及三角形三边关系，本题属于基础题型．
7．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为：ab＝ab﹣2a．如：15＝1×5﹣2×1＝3，则不等式3x≥x﹣2的解集为是（ ）
A．x＞2B．x≥2C．x＞﹣2D．x≥﹣2
【分析】根据运算定义列出算式，再解一元一次不等式．
解：由题意得，3x﹣2×3≥x﹣2，
解得x≥2，
故选：B．
【点评】此题考查了运用新定义求解一元一次不等式的能力，关键是能准确理解并运用新定义进行列式、计算．
8．如图是2×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形．则在网格中，能画出且与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用轴对称图形的性质结合题意得出答案．
解：如图所示：
在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有4个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
9．如图，M，A，N是直线l上的三点，AM＝3，AN＝5，P是直线l外一点，且∠PAN＝60°，AP＝1，若动点Q从点M出发，向点N移动，移动到点N停止，在△APQ形状变化过程中，依次出现的特殊三角形是（ ）
A．直角三角形—等边三角形—直角三角形—等腰三角形
B．直角三角形—等腰三角形—直角三角形—等边三角形
C．等腰三角形—直角三角形—等腰三角形—直角三角形
D．等腰三角形—直角三角形—等边三角形—直角三角形
【分析】动点Q从M点出发沿直线l向N点移动的过程中，由等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，即可解决问题．
解：动点Q从M点出发沿直线l向N点移动，
当AQ＝AP＝1时，△APQ是等腰三角形；
当Q运动到A的右侧AQ＝AP＝时，△APQ是直角三角形；
当AQ＝AP＝1时，因为∠PAN＝60，此时△APQ是等边三角形；
当AQ＝2PA＝2时，△APQ是直角三角形．
∴依次出现的特殊三角形是等腰三角形——直角三角形——等边三角形——直角三角形．
故选：D．
【点评】本题考查等边三角形，等腰三角形，直角三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键．
10．如图，∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝3，M是OA上的点，在OB上找点N，以PM为直角边，P，M，N为顶点作等腰直角三角形，则MN的长不可能是（ ）
A．B．3C．D．
【分析】分情况讨论：当等腰直角三角形PMN以P为直角顶点，点M在点P的左侧时，点M在点P的右侧时；当等腰直角三角形PMN以M为直角顶点，点M在点P的左侧时，点M在点P的右侧时，利用解直角三角形知识和勾股定理即可求出相应的MN的值，即可作出判断．
解：如图1，当等腰直角三角形PMN以P为直角顶点，点M在点P的左侧时，
∵∠OPN＝90°，∠AOB＝30°，OP＝3，
∴PM＝PN＝OP•tan30°＝3×＝，
∵∠MPN＝90°，PM＝PN，
∴MN＝＝＝；
等腰直角三角形PMN以P为直角顶点，点M在点P的右侧时，M′N＝MN＝；
如图2，当等腰直角三角形PMN以M为直角顶点，点M在点P的左侧时，
∵∠OMN＝90°，∠AOB＝30°，
∴OM＝＝MN，
∵MP＝MN，OM+MP＝OP，
∴MN+MN＝3，
解得MN＝；
如图3，当等腰直角三角形PMN以M为直角顶点，点M在点P的右侧时，
∵OM＝MN，PM＝MN，OP＝OM﹣PM
∴MN﹣MN＝3，
解得MN＝，
综上所述，MN的长为或或，
∴MN的长不可能是3，
故选：B．
【点评】本题重点考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，依据直角顶点的不同和点M的位置的不同，正确地进行分类是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11．命题“同位角相等，两直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为 如果同位角相等，那么两直线平行 ．
【分析】一个命题都能写成“如果…那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论．
解：“同位角相等，两直线平行”的条件是：“同位角相等”，结论为：“两直线平行”，
所以写成“如果…，那么…”的形式为：“如果同位角相等，那么两直线平行”．
【点评】本题考查了命题的叙述形式，比较简单．
12．已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则其斜边长为 13 ．
【分析】用勾股定理即可求出斜边长．
解：由勾股定理可得：AB2＝52+122＝25+144＝169，
∴AB＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理．
13．如图，在△ABC和△DCB中，∠DBC＝∠ACB，请添加一个条件使得△ABC≌△DCB成立： ∠A＝∠D或AC＝BD ．
【分析】要使△ABC≌△DCB，已知BC＝BC，∠ACB＝∠DBC，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．
解：可以添加AC＝BD，利用SAS判定其全等；或添加∠A＝∠D，利用AAS判定其全等．
故答案为：∠A＝∠D或AC＝BD．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
14．一副三角板如图所示的方式叠放在一起，则∠α的度数为 75 °．
【分析】根据三角形内角和定理计算即可．
解：如图：∠α＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故答案为：75．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．
15．如图所示为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知，上述三条线段中，能够通过折纸折出的是 ①②③ ．
【分析】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答．
解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线；
②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线；
③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高．
综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．
16．三角形的三个内角分别为75°，80°，25°，现有一条直线将它分成两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 130°、80° ．
【分析】首先在△ACB的内部做∠ACD＝25°，从而可得到△ADC为等腰三角形，然后再证明△BDC为等腰三角形，从而可得到问题的答案．
解：如图所示：∠A＝25°，∠B＝80°，∠ACB＝75°．
作∠ACD＝∠A＝25°，则三角形ADC为等腰三角形，且∠DCB＝75°﹣25°＝50°．
由三角形的外角的性质可知∠BDC＝∠A+∠ACD＝50°．
∴∠DCB＝∠BDC，
∴△BDC为等腰三角形．
∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°．
∴两个等腰三角形的顶角分别为130°、80°．
故答案为：130°、80°．
【点评】本题主要考查的是等腰三角形的判定、三角形的外角的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，那么a的取值范围是 a≤﹣1 ．
【分析】先解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集为x＞﹣1，即可得到a的取值范围．
解：解不等式3x﹣1＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
∵关于x的不等式组的解集为x＞﹣1，
∴a≤﹣1．
故答案为：a≤﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正三角形ABD、ACE、BCF，图中四块阴影部分的面积分别为S1，S2，S3，S4，求S1﹣S2+S3＝ 6 ．
【分析】设△MAC的面积＝x，△NBC的面积＝y，由正三角形面积公式得到S1＝AC2﹣x，S3＝BC2﹣y，S2+S4＝AB2﹣（x+y），由勾股定理推出S1+S3＝AB2﹣（x+y），因此S1+S3＝S2+S4，求出S4＝AC•BC＝×4×3＝6，即可得到S1﹣S2+S3＝6．
解：设△MAC的面积＝x，△NBC的面积＝y，
∵正三角形ABD、ACE、BCF的面积分别是AB2，AC2，BC2，
∴S1＝AC2﹣x，S3＝BC2﹣y，S2+S4＝AB2﹣（x+y），
∴S1+S3＝（AC2+BC2）﹣（x+y），
∵∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴S1+S3＝AB2﹣（x+y），
∴S1+S3＝S2+S4，
∴S1+S3﹣S2＝S4，
∵S4＝AC•BC＝×4×3＝6，
∴S1﹣S2+S3＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由勾股定理，正三角形的面积推出S1+S3＝S2+S4．
19．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是 101 寸．
【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．
解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
故答案为：101．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
20．如图，在Rt△ABC，AB＝CB＝2，点D、E分别是边AC、AB上动点，满足AE＝CD．连接BD、CE，则BD+CE的最小值为 2 ．
【分析】过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，构造△BCD≌△FAE，然后得到EF＝BD，进而得知BD+CE＝EF+CE，连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，最后利用勾股定理求得CF的值即可得到答案．
解：如图，过点A作AF⊥AC，并使得AF＝BC，连接EF，则∠FAC＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝CB＝2，
∴∠BAC＝∠BCD＝45°，
∴∠FAE＝∠EAC＝45°，
∴∠FAE＝∠BCD，
在△BCD和△FAE中，
，
∴△BCD≌△FAE（SAS），
∴EF＝BD，
∴BD+CE＝EF+CE，
连接CF，即可得知CF的长度即为EF+CE的最小值，也就是BD+CE的最小值，
∵AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∴AF＝BC＝2，AC＝2，
∴CF＝＝＝2，
∴BD+CE的最小值是2．
【点评】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是会作常用辅助线构造全等三角形．
三、解答题：（第21，22，23每题8分，第24题10分，第25题12分，第26题14分，共60分）
21．解不等式（组），并把解集表示在下面的数轴上．
（1）3x+1≤x+5；
（2）．
【分析】（1）先解不等式，再把解集表示在数轴上即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可．
解：（1）3x+1≤x+5，
移项，得3x﹣x≤5﹣1，
合并同类项，得2x≤4，
系数化为1，得x≤2，
把解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式＜x﹣1，得：x＜﹣1，
解不等式1+3（x+2）≥﹣1﹣x，得：x≥﹣2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
则不等式组的解集为﹣2≤x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
22．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．求证：AF＝DE．
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△DCE，可得AF＝DE．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BF＝CE，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴AF＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△ABF≌△DCE是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求∠CDE的度数．
（2）若点F为CD中点，连结EF．求证：EF⊥CD．
【分析】（1）由三角形的内角和可求得∠ACB＝60°，再由角平分线可得∠BCD＝30°，结合平行线的性质即可求得∠CDE的度数；
（2）由（1）可求得∠ACD＝∠BCD＝∠EDC，从而有ED＝EC，即△EDC是等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一”，即可证得EF⊥CD．
【解答】（1）解：∵∠B＝50°，∠A＝70°，
∴∠ACB＝60°．
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝30°；
（2）证明：由（1）得：∠EDC＝∠BCD，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠EDC，
∴ED＝EC．
∴△EDC是等腰三角形，
∵F是CD的中点，
∴EF⊥CD．
【点评】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，解答的关键是熟记并灵活运用平行线的性质与等腰三角形的“三线合一”．
24．根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：理由AAS可以证明△OBO与△COE全等；
任务2：理由△BOD≌△OCE，得到BD＝OE＝1.4m，EC＝OD＝1.8m，进而可求出当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面高度．
解：任务1：∵BD⊥OA，CE⊥OA，
∴∠ODB＝∠OEC＝90°，
∵∠BOC＝90°，∠BOD+∠EOC＝90°，∠BOD+∠DBO＝90°，
∴∠OBD＝∠EOC，
在△BOD和△OCE中，
，
∴△BOD≌△OCE（AAS）；
任务2：设OA的延长线与地面交于M，如图，
∵△BOD≌△OCE，
∴BD＝OE＝1.4m，EC＝OD＝1.8m，
∴EM＝OD+DM﹣OE＝1.8+1﹣1.4＝1.4（m）．
【点评】本题考查全等三角形的应用，理解题意，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
25．如图1，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，连接BD、CE，利用所学知识解决下列问题：
（1）若∠BAC＝∠DAE＝35°，求证：BD＝CE；
（2）连接BE，当点D在线段BE上时：
①如图2，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则∠BEC的度数为 60° ，线段BD与CE之间的数量关系是 BD＝CE ；
②如图3，若∠BAC＝∠DAE＝90°，AM为△ADE中DE边上的高，求出∠BEC的度数以及线段AM、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由等角减同角相等得∠BAD＝∠CAE，于是利用SAS证明△BAD≌△CAE即可得到证明BD＝CE；
（2）①由题意易得△ABC和△ADE均是等边三角形，同（1）证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由平角的定义得∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝120°，则∠BEC＝∠AEC﹣∠AED；
②由题意易得△ADE为等腰直角三角形，同（1）证明△BAD≌△CAE，得到BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，由平角的定义得∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，则∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，由等腰直角三角形的性质可得DM＝ME＝AM，于是可得BE＝BD+DE＝CE+2AM．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝35°，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）解：①∵∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABC和△ADE均是等边三角形，∠BAC＝∠DAE＝∠ADE＝∠AED＝60°，
同（1）可证明△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∵∠AED＝60°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°；
故答案为：60°，BD＝CE；
②∠BEC＝90°，BE＝CE+2AM，理由如下：
同（1）可证明BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠AEC＝∠ADB＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝135°﹣45°＝90°，
∵AD＝AE，AM为△ADE中DE边上的高，
∴DM＝ME＝AM，
∴BE＝BD+DE＝CE+2AM．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形和等腰直角三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键．
26．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，BC＝k•AC（k是大于0的常数），点D在AB边上运动，△CDB沿着CD折叠得到△CDB′，直线CB′与直线AB相交于E点．
（1）若k＝1，
①如图2，CB′⊥AB，求B′E的长度；
②点B′落在边AC的垂线平分线上，求∠CDB′的度数；
（2）若k＝，△EDB′为钝角三角形，直接写出BD长度的取值范围．
【分析】（1）①根据k＝1推出△ABC是等腰直角三角形，然后根据CB′⊥AB推出△BCE是等腰直角三角形，求出CE的长后易得B′E的长度；
②分点B'在AC右边和左边两种情况进行探索，根据CA＝CB'和B'M是AC的垂直平分线求出CM与CB'的数量关系，从而求出∠MCB'的度数，再求出∠BCB'的度数，根据折叠的性质求出∠DCB'的度数，即可求出结果．
（2）当CB'⊥AB时，△EDB'是直角三角形，当CB'∥AB时，构不成△EDB'，其余情况都是钝角三角形．分别求出CB'⊥AB和CB'∥AB和点D运动到点A时BD的长度，即可求出BD长度的取值范围分为几个区间．
解：（1）①∵k＝1，
∴AC＝BC，
又∵∠C＝90°，
∴∠B＝∠B'＝45°，
∵B'C⊥AB，∠B'ED＝90°，
∴∠B'DE＝45°，
∵BC＝B'C＝6，
∵CB'⊥AB，
∴CE＝，
∴B'E＝6﹣；
②如图1，当点B'在AC的右侧时：
∴B'C＝BC＝2MC，∠B'MC＝90°，
∴∠MB'C＝∠B'CB＝30°，
∴∠DCB＝∠DCB'＝15°，
∴∠CDB'＝∠BDC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；
如图2，当点B'在AC的左侧时：
同理可得：∠CB'M＝30°，
∴∠B'CM＝60°，
∴∠B'CB＝60°+90°＝150°，
∴∠B'CD＝∠BCD＝75°，∠CB'D＝∠CBD＝45°，
∴∠B'DC＝60°；
综上所述，∠CDB′的度数为60°或120°；
（2）∵k＝，∠ACB＝90°，BC＝6，
∴AC＝2，AB＝4，∠B＝30°，∠A＝60°，
如图3，当CB'⊥AB时，△EDB′是直角三角形，
∴CE＝BC＝3，∠ECD＝∠BCD＝30°，
∴DE＝，BD＝CD＝，
如图4，当CB'∥AB时，不存在点E，即不存在钝角△EDB′，
∴∠ACB'＝∠CAB＝60°，
∴∠BCB'＝60°+90°＝150°，
∴∠B'CD＝∠BCD＝75°，
又∵∠B＝30°，
∴∠BDC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴BD＝BC＝6，
当点D运动到点A时，BD的长为．
∴△EDB′为钝角三角形时，BD长度的取值范围为0＜BD＜2或2＜BD＜6或6＜BD＜4．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质以及分类讨论思想，深入理解题意是解决问题的关键．
荡秋千问题
素材1
如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．

素材2
如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面lm高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°.

问题解决
任务1
△OBO与△COE全等吗？请说明理由；
任务2
当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？
荡秋千问题
素材1
如图1，小丽与爸妈在公园里荡秋千，开始时小丽坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直．

素材2
如图2，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面lm高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.4m和1.8m，∠BOC＝90°.

问题解决
任务1
△OBO与△COE全等吗？请说明理由；
任务2
当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？