《2.2函数》第1课时优秀教案北师大新课标

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第二章　函数2.2函数第1课时　函数概念教学目标1．通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习．用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．2．会求一些简单函数的定义域和值域．3．能够正确表示某些函数的定义域．教学重难点教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数．教学难点：符号y=f(x)的含义，函数定义域和值域的区间表示．教学准备PPT课件．教学过程一、导入新课问题1：你还记得初中所学的函数的概念吗？并举例说明已经学过的函数．师生活动：回忆并口述初中函数的定义，师生共同完善、概念．预设答案：在一个变化过程中有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一的值与对应﹒那么就说是的函数，其中叫做自变量．设计意图：通过回忆初中的函数及函数的定义，为下列情境作铺垫．二、新知探究问题2：请观察下列三个情境中所描述的现象，请问是函数吗？材料1：我国进入21世纪各届奥运会金牌数如下表所示材料2：长沙市今日气温变化图材料3：小明同学固定以4米/秒的速度，绕田径场(400米)跑一圈，路程(米)和时间(秒)之间满足关系式．师生活动：老师引导、分析三个示例，师生合作交流揭示三个示例中的自变量以及自变量的变化范围，自变量与因变量之间的对应关系．预设答案：我国进入21世纪各届奥运会金牌数随年份的变化先增加后减少，对任一时刻，都有唯一的温度与之对应；对任一时间，都有唯一的路程与之对应．设计意图：1．三个函数模型，都是函数概念的具体表征，也是函数多元表征的具体情境；2．以问题串的形式，引导学生进行思考，引领学生一步步逼近函数概念的本质；3．三个情境间的联系与区别，促进和增强了学生转换和转译的能力，为后面的形式化定义打下了良好的基础；4．通过具体实例引入函数概念，让学生体会函数是数集之间的一种特殊对应关系．问题3：分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点．预设答案：上述三个问题中，都反映出两个变量之间的关系，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之唯一确定﹒根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是函数关系．问题4：将上述情境中所展示的共同特点一般化，你能得出什么结论？师生活动：师生共同总结特点．预设答案：①都有两个非空数集；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个元素，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应．设计意图：让学生感受概念的形成过程，加深对知识的理解，提高抽象概括、分析归纳、数学表述等基本数学思维能力．问题5：由这些函数的共同特征，我们如何从集合角度给函数下定义？师生活动：学生分组讨论，选代表发言，生生间进行补充、完善，在师生、生生的互动交流中形成以下共识．预设的答案：函数概念：设A、B是非空的数集，如果按某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作，∈A．其中叫做自变量，的取值范围A叫做函数的定义域；与的值相对应的叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域﹒显然，值域是集合B的子集．设计意图：体会函数新定义的精确性及实质﹒★资源名称：【知识点解析】函数的概念及其表示．★使用说明：本资源为《函数的概念》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数和函数的概念,同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．问题6：(1)你能找到概念中的关键词吗？并用简洁的语言说明﹒(2)怎样理解符号？(3)函数由几部分组成？(4)由函数概念，如何判断两个函数是同一函数？师生活动：小组讨论，学生代表发言，教师抓在多媒体屏幕上用不同颜色的字体来突出关键词，调动学生非智力因素，理解概念．预设的答案：(1)函数概念中的关键词为：非空数集、任意、唯一对应(进一步解释为单值对应，对应的形式可以是图象、表格、解析式)．(2)函数是建立在数与数之间的对应关系；对应关系指对应的结果，而不是对应过程，“”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“”；函数符号“”中的表示与对应的函数值．(3)定义域，解析式，值域．(4)判断两个函数定义域是否相同；判断两个函数解析式是否一样；同时满足以上两个条件，即为同一个函数．设计意图：通过从同一对象的不同表征解释知识的本真意义，促进学生有效的进行数学；通过视觉化表征激发学生的兴趣，进一步加强学生对函数概念本质的理解，从而更好地把握函数的三要素．三、巩固练习例1下列各组中的两个函数是否为同一个函数？(1)；(2)；(3)；(4)．师生活动：小组讨论，教师进行巡视指导，待学生思考完毕，教师请小组代表回答教师提出的问题．预设答案：解：(1)因为f(x)的定义域是R，g(x)的定义域是，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数；(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；(3)因为f(x)的定义域是，g(x)的定义域是R，两个函数的定义域不同，所不是同一个函数；(4)f(x)和g(t)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相同，所以是同一个函数．设计意图：通过对例题的解决，进一步加强学生对函数概念本质的理解，从而更好地把握函数的三要素．例2求下列函数的定义域：(1)．(2)．(3))．师生活动：老师引导学生完成例2的学习，板书解答过程，并和学生强调在函数定义中，我们用符号y=f(x)表示函数，其中f(x)表示x对应的函数值，而不是f乘x﹒其余两个由学生独立完成．预设答案：(1)为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，所以函数的定义域．(2)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0，即，所以的定义域是．(3)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即，所以函数的定义域．设计意图：巩固学生对函数定义域的求法，规范解答步骤．【课堂练习】1．已知函数．(1)求函数的定义域；(2)求，的值．2﹒判断下列对应是否为同一函数：(1)与．(2)与．(3)与师生活动：学生独立完成解答过程，师生共同核对答案．预设的答案：1．(1)根据题意知且，∴且，即函数的定义域为．(2)；﹒2．(1)不是同一函数，因为定义域不同，前者定义域为R，后者定义域为．(2)是同一函数，虽然变量不同，但不改变意义．(3)不是同一函数，因为定义域不同﹒问题7：请总结一下如何求函数的定义域．师生活动：在师生、生生的互动交流中形成共识，总结出求函数定义域的方法和步骤﹒预设的答案：(1)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各式子都有意义的公共部分的集合．求函数定义域的步骤：①列不等式(组)：根据解析式有意义的条件，列出关于自变量的不等式(组)．②解不等式(组)：解出所列不等式或不等式组中每个不等式的解集后在求交集．③得定义域：把不等式(组)的解集表示成集合或区间的形式．(2)已知函数解析式求函数值，可将自变量的值代入解析式求出相应的函数值﹒当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解．设计意图：使学生学会求定义域的方法，养成格式规范以及解题后反思的良好解题习惯，增强学生学习过程中的反思意识．四、归纳小结问题8：通过今天这节课的学习，你有哪些收获？学习了哪些知识？掌握的哪些方法？体会了哪些思想？师生活动：引导学生从数学知识、数学方法等方面进行自我总结并发言，教师适当加以评价，以鼓励和肯定为主﹒最后通过屏幕展示出来，使学生对所学内容有一个整体认识．预设的答案：(1)函数是刻画两个变量之间依赖关系的数学模型．(2)函数本质：是从一个数集到另一个数集的特殊对应．(3)函数由定义域，对应关系，值域三要素构成．(4)判断两个函数是否为相等函数的方法：判断这两个函数的三要素是否相同．(5)求函数定义域的方法：①考虑解析式有意义；②考虑实际意义．两个定义实质上是一样的，只不过叙述的出发点不同．设计意图：关注学生学习的主动性，培养学生数学表达交流的习惯和能力．自我小结的形式，将课堂还给学生，既是对一节课的简单回顾与梳理，也是对所学内容的再次巩固．作业布置：课本P53页练习1，2．五、目标检测设计1．下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是(　　)A．M＝{x|x∈Z}，N＝{y|y∈Z}，对应关系f：x→y，其中 B．M＝{x|x＞0，x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝±2x C．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中y＝x2 D．M＝{x|x∈R}，N＝{y|y∈R}，对应关系f：x→y，其中设计意图：巩固对函数概念的理解．2．下列各组函数是同一函数的是(　　)①f(x)＝x−1与；②f(x)＝x与；③f(x)＝x0与g(x)＝1；④f(x)＝x2−2x−1与g(t)＝t2−2t−1．① B．② C．③ D．④设计意图：掌握函数的三要素．3．函数的定义域为(　　)A．(﹣∞，1] B．(﹣∞，0) C．(﹣∞，0)∪(0，1] D．(0，1]设计意图：掌握具体的函数定义域的求法．4．已知函数f(2x−1)的定义域为(0，1)，则函数f(1−3x)的定义域是(　　)A． B． C．(﹣1，1) D．设计意图：掌握抽象的函数定义域的求法．5．已知函数f(2x−4)＝x2+1，则f(2)的值为(　　)A．5 B．8 C．10 D．16设计意图：会求函数值．参考答案：1．答案：C．解析：A．M中的一些元素，在N中没有元素对应，比如，x＝3时，故y不是x的函数；B．M中的任意元素x，在N中有两个元素±2x与之对应，不满足对应的唯一性，故y不是x的函数；C．满足在M中的任意元素x，在集合N中都有唯一元素x2与之对应，故y是x的函数；D．M中的元素0，通过在N中没有元素对应，故y不是x的函数．故选：C．2．答案：D．解析：①中函数的定义域不相同，故不是同一函数；②函数的值域不相同，不是同一函数；③函数的定义域不相同，故不是同一函数；④是同一函数，它们的定义域和解析式都相同．故选：D．3．答案：C．解析：要使函数有意义，则，可得，即x≤1且x≠0，即函数的定义域为(﹣∞，0)∪(0，1]．故选：C．4．答案：D．解析：∵f(2x−1)的定义域为(0，1)，∴0