《2.2函数》第2课时优秀教案北师大新课标

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第二章　函数2.2函数第2课时　函数的表示法教学目标1．了解函数常见的三种表示法：解析法、列表法和图象法；对比这三种表示法，了解它们各自的特点；能从不同角度全面理解y＝f(x)中f的意义．2．理解分段函数的概念及表示，通过函数的不同表示法的转化和综合使用，加强数形结合观念，提升学生的直观想象素养．3．通过对max{f(x)，g(x)}这种符号化表示的理解，提升学生的数学抽象素养．教学重难点教学重点：了解函数常见的三种表示法及其综合应用．教学难点：理解分段函数的概念及表示．教学准备PPT课件．教学过程一、复习引入问题1：你能说说函数有哪些表示法吗？它们各自的特点又是什么？师生活动：学生结合初中学习经验以及第一节生活中的变量关系的学习，一般能回答出三种表示法，但是对各自的特点可能感受不深，叙述不准确，老师借机给出新的例题，导入新课．预设的答案：我们已经接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法． 上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图．设计意图：梳理已有知识经验，使学生感受学习函数表示法的必要性．引语：解析法、列表法和图象法各有特点，而且有的函数只能采取某种表示法，本节课我们专门讨论函数的表示法．（板书函数的表示法）二、新知探究问题2：画出函数的图象．师生活动：老师通过设问，引导学生将新问题转化为熟悉的旧问题．具体而言将含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题．学生在画图时可能忽略定义域，导致错误，教师要及时指出，并示范这道题的画图步骤，讲解分段函数的概念．预设的答案：解:由绝对值的意义，可知；函数的图象为第一、二象限的角平分线，如图所示．追问1：不属于之前学过的任何一类函数，你能将解析式变形，化为不含绝对值的形式吗？预设的答案：根据绝对值的定义，分类讨论；当时，；当时，．追问2：如何画的图象？预设的答案：在同一直角坐标系中分别画出，和，；的图象就是这两部分图象的组合．追问3：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．那么判断一个图形是否为函数图象的依据是什么？预设的答案：任意垂直轴的直线与图象至多有一个交点．像例2中，这样的函数称为分段函数．分段函数的特点：在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同．追问4：你能举出生活中可以用分段函数描述的实际问题吗？预设的答案：如出租车的计费、天然气的计费、银行的利率等．设计意图：前3个追问引导学生分析问题，培养学生通过将新问题转化为旧问题，进而分析问题、解决问题的能力．追问4以实例的方式帮助学生理解分段函数的概念与表示．问题3：设是任一实数，表示不超过的最大整数，如、、、等，我们把函数叫作取整函数（高斯函数）；试画出取整函数的局部图象．师生活动：教师引导学生分析函数的定义域、值域、解析式，让学生试图画出函数图像，教师指导点拨．预设的答案：根据题意，函数的定义域为，值域为；函数的解析式为；函数的图象如图所示．设计意图：通过实例理解函数的概念，体会分段函数的研究方法．追问1：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？追问2：所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．预设的答案：不是所有的函数都能用这三种方法表示，有的函数只能采取某一种表示法；比如心电图，不能用解析法和列表法表示；再比如课本第54页给出的狄利克雷函数，不能用图象法表示．设计意图：介绍了一个可以用三种方法表示的函数．通过这个例子，让学生体会三种表示方法各自的特点．★资源名称：【知识点解析】函数的表示方法．★使用说明：本资源为《函数的三种表示方法》的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解函数和函数的表示方法,同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．三、巩固练习1．下列图象中不能表示函数的图象的是( )师生活动：学生独立完成，说明选择的答案和理由．预设的答案：D﹒设计意图：由函数图像巩固函数的概念．2．给定函数．(1)在同一直角坐标系中分别画出函数f(x)与g(x)的图象；(2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)与g(x)中的较大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}．例如，当x＝2时，M(2)＝max{f(2)，g(2)}＝max{3，9}＝9．请分别用图象法和解析法表示函数M(x)．师生活动：第(1)问学生独立完成．第(2)问比较抽象，在完成第(1)问之后，老师通过问题引导学生完成．预设的答案：(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图象(图1)；(2)由图1中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象(图2)，由(x＋1)2＝x＋1，得x(x+1)＝0，解得x＝－1或x＝0，结合图2，得出函数M(x)的解析式为M(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1( (x+1)2，x≤−1, x+1，−10))．设计意图：结合实例，理解分段函数的概念，突破难点．追问1：如图3，你能说说f(x)>g(x)对应图象上有什么特征吗？预设的答案：当自变量x的取值相同时，函数f(x)对应的点比函数g(x)对应的点高．追问2：你能从图象上观察并回答M(x)的取值情况吗？预设的答案：当x(x＋1)2，解得−1x＋1，解得x0；令f(x)＝g(x)，即x＋1＝(x＋1)2，解得x＝−1或x＝0．综上可得：M(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1( (x+1)2，x≤−1, x+1，−10))．方法总结：例题1中，我们的分析过程是从数到形；例题2中，则是从形到数；这两个例子充分说明，函数的不同表示方法之间可以相互转化，我们可以根据题目要求选取恰当的表达方式解决问题．设计意图：加深学生对分段函数的理解，提升学生的直观想象能力和抽象思维能力．【课堂练习】1．设，则的值为( )A．16 B．18 C．21 D．24师生活动：已知自变量求值，学生独立完成，核对答案．预设的答案：B．因为，所以．2．已知函数，若，则的取值集合是( )A． B．C． D．师生活动：已知函数值求自变量，考查函数思想．预设的答案：A．若，可得，解得，(舍去)；若，可得=5，可得，与相矛盾，故舍去；综上可得：．四、归纳小结问题3：请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题．(1)函数常用的表示法有哪些？它们各自的特点是什么？(2)结合本节课的学习，你对如何学习函数又有什么体会？师生活动：学生先独立思考，再由学生代表回答，其他学生依次补充，老师最后总结．预设的答案：(1)解析法、表格法和图象法，其中解析式是精确的，图象是直观的，表格是直接的．(2)解析式、表格、图象是对应关系f的不同的表现形式，但实质相同，为了更好地分析和解决问题，有时需要进行不同表示法的转化和综合使用．设计意图：引导学生构建知识体系，全面理解函数的内涵．作业布置：教材第55页练习1−5题，第56页习题2−2，A组第1−3题．五、目标检测设计1．把直截面半径为25cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x(单位：cm)，面积为y(单位：cm2)，把y表示为x的函数．设计意图：考查函数的解析法，强化定义域的重要性．2．画出函数y＝|x−2|的图象．设计意图：考查对分段函数的理解．3．给定函数f(x)＝−x＋1，g(x)＝(x−1)2，x∈R．(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)，g(x)的图象；(2)∀x∈R，用m(x)表示f(x)与g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数m(x)．设计意图：考查对抽象符号的理解和对分段函数的理解．参考答案：1．解：y＝x eq \r(2500－x2)，x∈(0，50)．2．解：图象如图6．3．解：(1)函数f(x)与g(x)的图象如图7，(2)由图7得出函数m(x)的图象8，由图8得到函数m(x)的解析式m(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1( −x+1，x≤0, (x−1)2，01))．函数表示方法优点缺点解析法①简明、全面地概括了变量间的关系②通过解析式可以求出任意一个自变量所对应的函数值不够直观形象列表法不需要计算就可以直接看出与自变量相对应的函数值只适用于自变量数目少的函数图像法直观形象反映变化趋势不精确A．B．C．D．