数学必修 第一册第一章 预备知识2 常用逻辑用语2.2 全称量词与存在量词第1课时教案

这是一份数学必修 第一册第一章 预备知识2 常用逻辑用语2.2 全称量词与存在量词第1课时教案，共9页。教案主要包含了知识引入，新知探究，初步应用，归纳小结，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1．理解含有全称量词与存在量词的命题的概念．
2．掌握全称命题和特称命题的真假的判断方法．
教学重难点
重点：理解全称量词与存在量词的意义，全称量词与存在量词命题间的转化．
难点：判断命题的真假．
课前准备
PPT课件
教学过程
一、知识引入
美国著名作家马克·吐温，在一次记者招待会上直言：“有些国会议员是傻瓜！”记者把他的话原样登在了报纸上，结果招致了国会议员们的强烈抗议，迫于压力，第二天马克·吐温在报纸上登出重要更正：“有些国会议员不是傻瓜！”
重要更正的那句话，是对原话的否定吗？
预设的答案：不是.
研究内容及思路：通过具体实例，了解什么是全称量词和存在量词？因为加上量词的限定，使得语句成为一个命题，所以接下来要学习含有一个量词的命题的真假判断．
设计意图：通过初步构建本节学习内容的框架，让学生对将要学习的内容有一个初步的整体认识和把握，同时有利于提高学生研究问题的能力和抽象概括能力．
二、新知探究
思考讨论：
(1)所有正方形都是矩形；
(2)每一个无理数的平方也是无理数；
(3)对于任意的实数，y=kx+b的值随x值的增大而增大；
(4)空集是任何集合的子集；
(5)一切三角形的内角和都等于180°.
问题1：以上命题中，加点的字是什么意思？
预设的答案：都是在指定范围内，表示全体、整体、全部的含义.
形成概念：在给定集合中，断言所有元素都具有同一性质的命题叫作全称量词命题.
在命题中的“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.
问题2：你还能说出哪些全称量词命题？
师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正，老师将学生举出的例子板书在黑板上．
预设的答案：（1）对于任意实数，都有；（2）对任意一个无理数，也是无理数；（2）所有的一元二次方程都有实根.
追问1：使用数学符号语言表述命题更简洁，该同学的举例如何改成符号语言？
预设的答案：“，有”.
师生活动：学生回答，教师总结点评.符合“”读作“对任意的”.通常，将含有变量的语句用，表示，变量的取值范围用表示．那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”，可用符号简记为：．有时全称量词可以省略；“正方形是矩形”“实数的平方非负”等等.
追问2：在问题1的命题中，“M”，“”分别指的是什么？
师生活动：学生独立思考，回答问题，老师或者同伴更正．
预设的答案：
（1）“M”指的是正方形，“”指的是“矩形”；
（2）“M”指的是“每一个无理数”，“”指的是“也是无理数”；
（3）“M”指的是“实数”，“”指的是“的值随值的增大而增大”；
……
设计意图：通过举例，进一步加深学生对全称量词的认识，熟悉全称量词命题的概念和符号表示．
问题3：请判断问题1中命题的真假.
预设的答案：(1)(4)是真命题，（2）（3）是假命题.
追问3：对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？
师生活动：学生独立思考，自主总结，展示交流，教师引导，形成方法．
预设的答案：
如果对集合M中的每一个，都成立，那么“”为真命题；
如果在集合M中存在一个，使得不成立，那么“”为假命题．
设计意图：通过对具体的全称量词命题真假的判断，使学生进一步理解全称量词的意义．学会全称量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．
问题4：
(1)有些三角形是直角三角形；
(2)在素数中，有一个是偶数；
(3)存在实数x，使得.
以上命题中，加点的字是什么意思？
师生活动：学生独立作出判断，回答问题，互相更正．
预设的答案：这些命题，都是对全体中的个体或者一部分的判断，加点的字表示个别或者一部分.
形成概念：在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.在命题中的短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在中的元素，成立”可用符号简记为．
追问4：在问题1的命题中，“M”，“”分别指的是什么？
师生活动：学生独立思考，回答问题，老师或者同伴更正．
预设的答案：
（1）“M”指的是三角形，“”指的是“直角三角形”；
（2）“M”指的是“素数”，“”指的是“偶数”；
（3）“M”指的是“实数”，“”；
……
设计意图：通过举例，进一步加深学生对存在量词的认识，熟悉存在量词命题的概念和符号表示．
问题5：你还能说出哪些存在量词命题？并判断真假.
师生活动：学生独立思考，小组讨论，展示交流，互相修正．
预设的答案：
（1）有一个实数，使；假命题．
（2）存在一个无理数，也是无理数；真命题．
（3）有些平行四边形是菱形；真命题．
……
设计意图：通过举例，进一步加深学生对存在量词的认识，熟悉存在量词命题的概念．
追问5：对给定的存在量词命题，如何判断它的真假？
师生活动：学生独立思考，自主总结，展示交流，教师引导，形成方法．
预设的答案：
如果在集合M中存在一个，使得成立，那么“”为真命题．
如果对集合M中的每一个，都不成立，那么“”为假命题；
设计意图：通过对具体的存在量词命题真假的判断，使学生进一步理解存在量词的意义．学会存在量词命题真假的判断，并经过总结形成方法．
三、初步应用
例4：判断下列命题是不是全称量词命题，如果是，指出其中的全称量词，并判断真假.
所有的正方形都是平行四边形；
能被5整除的整数末位数字为0.
师生活动：学生独立思考做出回答，教师指导点评.
设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此巩固全称量词的概念、符号以及全称量词命题的概念．
预设的答案：
(1) “所有的正方形都是平行四边形”是全称量词命题，“所有”是全称量词；真命题.
(2) “能被5整除的整数末位数字为0”可以表述为“所有能被5整除的整数，末位数字都为0”，它是全称量词命题，其中省略了全称量词“所有”.假命题.
例5： 判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词.
(1)存在一个无理数，使也是无理数；（2）使.
师生活动：学生独立思考做出回答，教师指导点评.
设计意图：借助具体例子，通过对比认识量词，体会量词的作用，由此巩固存在量词的概念、符号以及存在量词命题的概念．
预设的答案：
“存在一个无理数，使也是无理数”是存在量词命题，“存在”是存在量词；
“ ，使 ”是存在量词命题， （即存在）是存在量词.
问题6：请判断上述全称命题的真假，并说明理由．
师生活动：学生独立判断，写出判断结果及理由，展示交流．老师帮助学生规范过程．
预设的答案：
（1）是真命题；
对于∀x∈R，总有．所以，全称量词命题“对任意的，”为真命题；
（2）是假命题；
因为是无理数，是有理数．所以，全称量词命题“对任意一个无理数，也是无理数”是假命题；
（3）是假命题；
一元二次方程没有实根．所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．
【课堂练习一】
1.下列特称命题是真命题是 .(填序号)
①有些不相似的三角形面积相等；②存在实数，使；③存在实数，使函数的值随的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身.
【课堂练习二】
2.若“∀x∈R，∃x0∈R，f(x)>g(x0)”则有( )
A.f(x)max>g(x)minB.f(x)max>g(x)max C.f(x)min>g(x)max D.f(x)min>g(x)min
师生活动：学生独立完成，交流展示.
预设的答案：
1、①是真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，，所以不存在实数，使，故②是假命题；③中当实数大于0时. 结论成立，是真命题；④中如1的倒数是它本身，是真命题，故选①③④.
2、要使“∀x∈R，∃x0∈R，f(x)>g(x0)”，只需∃x0∈R，f(x)min>g(x0)，而g(x0)≥g(x)min，所以，f(x)min>g(x)min.，故选D
设计意图：巩固存在量词命题、全称量词命题的否定.
四、归纳小结、布置作业
问题7：本节课我们学习了全称量词和存在量词，全称量词和存在量词的意义分别是什么？常用的表述形式分别有哪些？什么是全称量词命题和存在量词命题？它们的符号表示分别是什么？如何判断它们的真假？
师生活动：学生自己先总结，然后师生补充完善．并将实际的研究过程和思路与一开始的设计进行对照，改进补充，提升学生研究问题的能力．
预设的答案：
研究思路体现了研究一个概念的基本路径：具体例子→形成概念→表示→判断．
设计意图：通过梳理本节课的内容，让学生对全称量词、存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题有一个整体的认知，并进一步总结它们的研究思路．
作业布置：教材第20页页练习第1，2题；
五、目标检测设计
1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“∀”或“∃”表示下面的命题，并判断其真假．
（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；
（2）所有的矩形都是平行四边形；
（3）至少有一个偶数是素数；
（4）存在x∈R，使．
设计意图：考查全称量词与存在量词的意义，全称量词命题和存在量词命题的概念、符号表示及真假判断．
2.将语句“x+y∈Z（整数集）”修改成全称量词命题，并使得该命题为真命题．
设计意图：考查全称量词命题的概念及其真假判断的方法．
3.将语句“a能被2整除”修改成存在量词命题，并使得该命题为假命题．
设计意图：考查存在量词命题的概念及其真假判断的方法．
4.已知命题“”为真命题，则实数的取值范围是__________.
设计意图：考查全称量词命题的应用．
5.若“有 成立”是真命题，则实数的取值范围是____________.
设计意图：考查存在量词命题的应用．
参考答案：
1．（1）全称量词命题；∀a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；假命题；因为当时，方程无解，所以其为假命题；
（2）全称量词命题；的矩形都是平行四边形；真命题；根据矩形的定义可知其为真命题；
（3）存在量词命题；是偶数，是素数；真命题；2是偶数，2也是素数，所以“至少有一个偶数是素数”是真命题；
（4）存在量词命题；∈R，使；假命题；因为“∀x∈R，”，所以为假命题．
2．对于，y∈Z，x+y∈Z，真命题；
3.奇数，a能被2整除，假命题．
3．
由题意得不等式对恒成立．
①当时，不等式在上恒成立，符合题意．
②当时，若不等式对恒成立，则．
解得．
综上可得：，所以实数的取值范围是．在此处键入公式。
故答案为：.
5.
由题意可得．函数的最大值为1．
∴. 故答案为：.全称量词
存在量词
定义
在指定范围内，表示整体或者全部的含义．
在指定范围内，表示个别或一部分的含义．
举例
“所有的”、“每一个”、“任何一个”、“一切”等
“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”等
对应的命题
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
表示
对中任意一个，成立
存在中的元素，成立
判断
如果对集合M中的每一个，都成立，那么“”为真命题
如果在集合M中存在一个，使得成立，那么“”为真命题
如果在集合M中存在一个，使得不成立，那么“”为假命题
如果对集合M中每一个，都不成立，那么“”为假命题