数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性第2课时教案设计

这是一份数学必修 第一册4.1 函数的奇偶性第2课时教案设计，共8页。教案主要包含了导入新课，新知探究，巩固练习，课堂小结，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

第2课时 简单幂函数的图像和性质
教学目标
1．了解指数是整数的幂函数的概念．
2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法．
3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力．
教学重难点
重点：幂函数的概念、奇偶函数的概念，突出待定系数法．
难点：简单幂函数的概念；定义法判断函数的奇偶性．
课前准备
PPT课件．
教学过程
一、导入新课
问题1：大家在初中时学习过哪些函数？所学过的最简单的正比例函数是什么？最简单的二次函数是什么？最简单的反比例函数是什么？
师生活动：幻灯片演示问题，学生探究，自由发言．
预设的答案：，，(我们还可以写成)．
追问：从上述三种函数出发，可以把它们统一写成的形式．那么对于，我们把它称作什么？它有什么特点呢？
师生活动：教师引导学生讨论，小组展示讨论结果．教师引导学生归纳总结得出幂函数的概念．
预设的答案：幂中指数为常数，底数为自变量．
设计意图：从初中所学知识入手，引入幂函数的概念．
二、新知探究
1．幂函数的概念
定义：一般地，形如(为常数)函数，即底数是自变量，指数是常数的函数称为幂函数．
问题2：幂函数解析式有哪些规律特征？
师生活动：教师播放PPT，学生思考回答．
预设答案：①底数是自变量；②指数是常量；③的系数是1．
追问：判断函数是否为幂函数？
预设答案：在学习中可以分别写成．
追问：下列函数中哪些函数是幂函数？
．
师生活动：学生思考观察、对问题作出判断．
预设答案：；；．
设计意图：通过概念的辨析和应用，让学生深刻理解幂函数的概念．
★资源名称：【知识点解析】幂函数．
★使用说明：本资源为幂函数的概念的讲解视频，其目的是帮助学生更好的理解幂函数和幂函数的概念,同时对该知识相关重难点进行了归纳小结，带领学生梳理知识脉络，加深理解．
注：此图片为“微课”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题3：将；；；；这五个函数的图象画在同一平面直角坐标系中，并填写表2-3．
师生活动：学生自主探究，自由发言，教师引导学生从哪些方面入手探究函数的性质．最后学生小结，教师归纳整理．
预设的答案：
设计意图：从函数解析式入手，由定义域、值域判断出函数在坐标系中的位置；由单调性判断图像的变化趋势；由奇偶性判断函数图像是否对称，从而得出函数具有的图像特征；这是我们研究幂函数的一般方法，这种方法不仅适用于幂函数，对任意函数都是可行的．
问题4：一般地，幂函数(为常数)的图像有哪些特点？幂函数具有什么性质？
预设答案：
= 1 \* GB2 ⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点(1，1)，(原因=1)．
= 2 \* GB2 ⑵>0时，幂函数的图象都通过原点，且在上，是增函数(从左往右看，函数图象逐渐上升)．
= 3 \* GB2 ⑶<0时，幂函数的图象在区间上是减函数．
在第一家限内，当向原点靠近时，图象在轴的右方无限逼近轴正半轴，当慢慢地变大时，图象在轴上方并无限逼近轴的正半轴．
问题5：在图2-16中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象，并说出画法的依据．
师生活动：教师引导学生作图时考虑到函数的奇偶性与函数图像对称性之间的关系，使得作图更加简便，学生完成作图展示交流．
设计意图：通过幂函数的性质探究来画出图像，让学生体会数形结合的思想．
★资源名称：【知识探究】幂函数的图象与性质．
★使用说明：本资源为《幂函数的图象与性质》知识探究，通过交互式动画的方式，运用了本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．
注：此图片为“动画”缩略图，如需使用资源，请于资源库调用．
三、巩固练习
题型一：判断是否为幂函数
例1判断下列函数是否为幂函数．
；；；；；．
题型二：幂函数图像问题
例2如图所示，曲线是幂函数y=xa在第一象限内的图象，已知α分别取四个值，则相应图象依次为 ．
题型三：根据幂函数性质求参
例3幂函数在(0，＋∞)时是减函数，则实数m的值为( )
A．2或−1B．−1C．2D．−2或1
题型四：比较大小
例4已知a＝，b＝，c＝则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜cB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．b＜c＜a
例5已知a＝0.24，b＝0.32，c＝0.43，则( )
A．b＜a＜cB．a＜c＜bC．c＜a＜bD．a＜b＜c
师生活动：学生自主探究，自由发言，教师引导学生从哪些方面入手解答．最后学生小结，教师归纳整理得出答案．
预设答案：1．(3)和(6)；2．C4，C2，C3，C1；3．B；4．C；5．B．
1．幂函数的解析式为，x为自变量，故只有(3)和(6)为幂函数．
2．当α>0时，幂函数在(0,+∞)上递增，且随α增大，图像从上到下依次降低；
当α<0时，幂函数在(0,+∞)上递减；
故图像依次为C4，C2，C3，C1．
3．由于幂函数在(0,+∞)上是减函数，
故有，解得m＝−1．
故选：B．
4．由于a＝，b＝，c＝，很明显a、b、c都是正实数，
∵b6﹣a6＝9﹣8＝1＞0，∴b6＞a6，∴b＞a，
∵a10﹣c10＝32﹣25＞0，a10＞c10，∴a＞c，
综上可得：b＞a＞c．
故选：C．
5．∵a＝0.24＝0.042＝0.0016，b＝0.32＝0.09，c＝0.43＝0.064，
∴b＞c＞a，
故选：B．
【课堂练习】
1．函数的图象是( )
A． B．
C． D．
预设的答案：A．
函数，满足，即函数是偶函数，图象关于y轴对称，D错误；
该函数是幂函数，，故函数是增函数，且增长得越来越快，故A正确，B和C一定错误．
故选：A．
2．已知幂函数()的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．
预设答案：或．
∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点，
∴，∴；
∵，∴，∴，
∵函数图象关于原点对称，∴是奇数；
∴或．
四、课堂小结
1．幂函数的定义；
2．对于具体的幂函数能够从函数的性质出发画出图像；
3．从幂函数的图像出发总结归纳出幂函数性质．
设计意图：对幂函数的性质和图像归纳总结，进一步体会探究函数的一般思路，并且激发学生探究问题的兴趣．
五、目标检测设计
1．已知幂函数在第一象限的图象如图所示，则( )
A． B． C． D．
2．关于函数，下列说法正确的是( )
A．是奇函数且在区间上是严格增函数
B．是偶函数且在区间上是严格增函数．
C．是非奇非偶函数且在区间上是严格增函数．
D．是非奇非偶函数且在区间上是严格减函数．
3．已知幂函数()的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，则m的值是___________．
4．已知幂函数是偶函数，则___________．
5．求函数的定义域、值域，并判断其单调性．
参考答案：
1．答案：B．
解析：由图象可知，当时，，则，故选B．
2．答案：C．
解析：由题意，函数的定义域为，所以定义域不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，排除A、B；又由幂函数的性质，可得幂函数在上是严格增函数．故选：C．
3．答案：或．
解析：∵幂函数()的图象与轴、轴都无交点，∴，∴；∵，，∴；∵函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．
4．答案：3．
解析：因为函数是幂函数，所以，即，解得或，当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数， 符合题意；故，故答案为：3．
5．解：将指数变形为，判断其正负性，奇偶数，再判断函数的性质．
因为，所以必为奇数，且大于0，
所以定义域为，值域为，并且在上为增函数．表2-3
函数
定义域
值域
单调性
奇偶性