高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式第1课时教学设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式第1课时教学设计，共8页。教案主要包含了复习引入，新知探究，初步应用，归纳小结 布置作业等内容，欢迎下载使用。

教学目标
1．理解基本不等式 (a＞0，b＞0)，会利用不等式性质证明，发展逻辑推理素养；
2．了解基本不等式的几何解释，发展直观想象素养；
3．结合具体实例，形成用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题的基本模型，发展数学运算核心素养.
教学重难点
1．基本不等式（均值不等式）的内容、字母的范围以及等号成立的条件；
2．利用基本不等式进行不等式的证明和函数求最值.
课前准备
PPT课件
教学过程
一、复习引入
如图，是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由四个直角三角形拼合而成，正方形的边长为直角三角形的斜边长.
直角三角形两条直角边为，由面积得到不等式，当时，取“=”.
二、新知探究
1．基本不等式的定义
问题1：阅读课本第27页，思考：什么是基本不等式？它是怎样得到的？
师生活动：学生阅读课本回答，教师总结：基本不等式是将a2+b2≥2ab中用，代替a，b并变形得到的，并板书：.
追问1：不等式中a，b的范围是什么？它和原不等式中的范围一样吗？
师生活动：学生自主反思后回答，a，b均为非负数，如果a，b中有负数，该不等式不成立.教师指出基本不等式的定义要求a，b均为正数.同时总结：我们称其为基本不等式，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做a，b的几何平均数，基本不等式表明两个非负实数的算数平均数大于或等于几何平均数.
设计意图：通过重要不等式得到基本不等式，同时明确两个不等式之间的联系，通过分析其特征，得到基本不等式的代数解释，进一步加深对其的理解.
2．基本不等式的几何解释
★资源名称： 【数学探究】基本不等式a+b≥2根号（ab）
★使用说明：本资源通过交互式动画展示了基本不等式的几何意义，运用本资源，可以吸引学生的学习兴趣，增加教学效果，提高教学效率．
注：此图片为“动画”截图，如需使用资源，请于资源库调用．
问题2：如图，半圆上一点D，DC垂直于直径AB于C，你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
a
b
师生活动：如图，连接OD，教师引导学生先寻找图中的不等关系，利用动画，观察从弦DC长和圆的直径AB这两个几何元素在变化中的不等关系，并将此不等关系用符号表示.学生独立思考，并说出思路：半径OD为，利用射影定理可得弦CD为，由 ，得到.教师评价并总结，基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到解释.当且仅当弦DC过圆心时，二者相等.
设计意图：让学生观察图形，先将图形中的不等关系找出来，再用代数语言表示，从而获得基本不等式的几何解释，提高学生数学直观的核心素养.
师生活动：学生自主思考并思考，教师给予简单总结.
3．基本不等式的简单应用
例1.已知，求证：.
问题3：求解的依据什么？怎样应用？
师生活动：教师通过追问引导学生分析，明确求解的依据是基本不等式，再引导学生将问题与公式对比，找到本题和基本不等式的联系，让学生独立思考后，进行书写，教师基于学生书写的不规范进行纠正.
预设的答案：由均值不等式，，，三式相加，得.
小组讨论：
把一段长为16 cm的细铁丝弯成形状不同的矩形，试填写表1－3，并思考当矩形的长、 宽分别为何值时，面积最大？
表1 － 3
师生活动：设矩形的长为，宽为，则.此时，由基本不等式得，即.又因为当时，（即不等式中的等号成立）， 由此可知，边长为4 cm的正方形的面积最大.
问题4：类比上面的方法，说明：面积为16 cm2的所有不同形状的矩形中，当矩形的长、 宽分别为何值时，周长最小？
预设的答案：当边长为4cm时，周长最小.
例2.已知x，y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2；
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值.
师生活动：学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善.教师总结用基本不等式解决最值问题有两个基本模型：“两个正数的积为定值，当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值”.
设计意图：本题是例1的总结和提升，看似简单，但是给出了用基本不等式能够解决的两个数学模型，为用基本不等式解决实际问题创造了条件．提升学生数学模型的思想.
三、初步应用
（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）求的最小值．
师生活动：学生独立完成.教师依据学生的解答或困难，对比例1分析其求解中存在的问题，并用软件展示函数y=的让学生观察.
预设的答案：
追问2：比较三个问题，你能总结什么条件的代数式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？
师生活动：学生自主反思后，发表自己的意见，相互补充，形成共识.教师将讨论结果进行汇总，并进行总结，明确若代数式能转化为两个正数积为定值，可以利用基本不等式求和的最小值；若代数式能转化为两个正数和为定值，可以利用基本不等式求积的最大值.
预设的答案：
在利用基本不等式求最值时，应注意“一正，二定，三相等”的条件.“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
设计意图：通过典例分析，让学生掌握利用基本不等式解决哪些代数式的最值问题，及在利用不等式时应注意的三个条件，在具体情境中理解基本不等式，为学生求解代数式的最值问题提供示范.同时，为下一道例题应用基本不等式求最值的代数式提供范例.
【课堂练习一】
多选题
1．下列推导过程，正确的为 （ ）
A．因为、为正实数，所以
B．因为，所以
C．，所以
D．因为、，，所以
师生活动：学生独立完成，给出选项的理由，教师引导点拨.
预设的答案：AD
对于A选项，因为、为正实数，则、为正实数．
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，A选项正确；
对于B选项，，所以，，B选项错误；
对于C选项，当时，．
当且仅当时，等号成立，C选项错误；
对于D选项，因为、，，则、均为负数．
由基本不等式可得．
当且仅当时，等号成立，D选项正确.故选：AD.
设计意图：进一步强化基本不等式使用的条件.
【课堂练习二】
2．已知，，均为正实数，求证：若，则．
证明：因为，，均为正实数．
师生活动：学生独立完成后，交流展示，教师指导点拨，强调注意事项.
预设的答案：由基本不等式得，当且仅当时，即a=1取等号．
同理，当且仅当时，即b=1取等号．
，当且仅当时，即c=1取等号．
以上三式相加，得
所以，当且仅当时，取等号．
设计意图：强化不等式同向可加性与基本不等式的综合运用.
四、归纳小结 布置作业
问题5：本节课我们主要学习了基本不等式，请同学们回顾今天所学内容，思考以下问题：（1）什么是基本不等式？如何推导基本不等式？
（2）基本不等式的代数特征是什么？如何从几何图形上进行解释？
（3）基本不等式可以解决哪两类数学问题？使用的条件是什么？应注意什么？
师生活动：先由学生反思回答，教师纠正并提升.
设计意图：引导学生回顾所学内容，对所学的基本不等式有初步的掌握，为下一节基本不等式的实际应用做好铺垫.
作业布置： 教材P30，练习1，4；习题A组第7题.
四、目标检测设计
1．已知a，b∈R，求证.
设计意图：考查证明不等式的思路，并注意不能用基本不等式去求证，进一步掌握基本不等式使用的条件.
2．（1）已知，求的最小值及相应的x值.
（2）已知，求的最大值及相应的x值.
设计意图：考查学生利用基本不等式求最大值和最小值的能力.
3．已知x，y都是正数，且，求证：
（1）； （2）.
设计意图：考查学生利用基本不等式证明不等式及分析问题解决问题的能力.
已知实数、满足，且，则的最小值为_________，当且仅当_______时取到等号．
设计意图：考查学生利用基本不等式求最值.
5．已知直角三角形的面积等于50 cm2，当两条直角边的长度各为多少时，两条直角边的和最小？最小值是多少？
设计意图：考查学生利用基本不等式解决实际问题能力.
参考答案：
1．证明：要证明，只需证明．
即，即，即需证
而显然成立，只要把式子倒过来，就可以推出原不等式成立.
2．（1）解：∵，∴．
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为，这时.
（2）∵，∴，由
当且仅当，即时取等号．
3．证明（1）∵x，y都是正数．
∴，又由于，所以等号取不到
∴.
（2）∵x，y都是正数，∴，又由于，所以等号取不到
∴，两边同乘，得.
4．；.
因为实数、满足，且，，可得．
所以，，当且仅当时，即当时，等号成立.
所以，的最小值为，此时.
5．设直角三角形两边为a，b，则由已知得，即ab=100．
∵，当且仅当a=b=10时取等号
当两条直角边的长度各为10 cm时，两条直角边的和最小，最小值为20.
方案
长/cm
宽/cm
面积/cm?
方案1
方案2
方案3