高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式第2课时教案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式第2课时教案设计，共7页。教案主要包含了复习引入，新知探究，初步应用，归纳反思，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。

教学目标
基本不等式（均值不等式），在不等式的证明和函数求最大（小）值等问题中的应用；基本不等式在实际问题中的应用．
教学重难点
1．利用基本不等式（均值不等式）证明不等式和函数求最大（小）值；
2．基本不等式在实际问题中的应用．
课前准备
PPT课件
教学过程
一、复习引入
问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？
师生活动：学生根据教师提出的问题回顾梳理上节课的知识．
预设的答案：基本不等式；（a，b≥0），利用基本不等式可用求最值．
追问：基本不等式能解决哪几类最值问题？用基本不等式求最值时要注意哪些条件？
师生活动：学生结合书上例二来回答，教师适当引导，强调利用基本不等式求最值时，两个变量均为正数是前提，发现“定值”是关键，验证等号成立是求最值的必要条件．
预设的答案：基本不等式能解决以下两类最值问题：（1）如果正数x，y的和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值；（2）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
设计意图：本节课的重点是用基本不等式解决生活中的最值问题．通过回顾知识，初步了解解决问题的思路和方向．有助于学生严密的逻辑思维、良好的认知结构的建立和完善．
二、新知探究
问题2：如图，动物园要围成四间相同面积的长方形禽舍，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(接头处不计)
（1）现有可围36m长的钢筋网的材料，当每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使每间禽舍面积最大？
（2）若使每间禽舍面积为24m2，则每间禽舍的长、宽各设计为多长时，可使围成四间禽舍的钢筋网总长最小？
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意后，师生共同分析，第（1）题可以转化为：长方形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大，实际上是已知两个正数的和为定值，求当这两个数取什么值时，它们的积有最大值的问题．第（1）题可以转化为数学模型（1）求解．教师让学生独立书写解答过程，针对过程中的问题进行纠正．第（2）题可以转化为：长方形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短，实际上是已知两个正数的积为定值，求当这两个数取什么值时，它们的和有最小值的问题．故第（2）题可以转化为数学模型（2）求解；
预设的答案：：设每间禽舍的长、宽分别为m、 m ，禽舍的面积为m2，则
(1)，则，
由均值不等式
得，当即时，等号成立
因此，当禽舍的长、宽分别为4.5m、3m时，每间禽舍的面积最大，最大面积为13.5 m2.
答案是长、宽分别为6m、4m时钢筋网总长最小.
设计意图：本例是典型的能够用基本不等式求最值的问题．通过本例的教学，可以帮助学生理解如何用基本不等式模型解决实际最值问题，进一步加强学生的逻辑思维能力
三、初步应用
问题3：某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m2，深为3 m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
师生活动：学生独立阅读题目，理解题意，教师提出问题：（1）水池的总造价和什么有关？（2）怎样设元，得到水池的总造价表达式？学生合作进行讨论，得到总造价的表达式．
预设的答案：设贮水池池底相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元，则．
追问1：此问题可以用基本不等式的数学模型求解吗？为什么？
师生活动：学生回答解题思路和理由，教师肯定后，学生独立书写求解过程．
预设的答案：z，由容积为4800 m3，可得3xy=4800，因此xy=1600．所以，当时，上式等号成立，此时z=297600．所以将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．
追问2：通过对两个例子的分析与解答，你能总结出用基本不等式解决生活中实际问题要经历哪些步骤？
师生活动：学生自主反思总结，并回答问题，教师帮助梳理：先从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；思考问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；然后，根据“一正、二定、三相等”的方法运算求解；最后，用求得的结果解释实际问题．
设计意图：通过本题的分析，培养学生从较为复杂的实际问题情境中抽象出数学问题，并将能将问题转化为所掌握的基本不等式模型求解，体会解决实际问题的方法，形成解决问题的一般思路，提升学生数学建模的素养．
【课堂练习一】
1．如图，质量是W的重物挂在杠杆上距支点a处，质量均匀的杆子每单位长度的质量为m，则当杠杆的长为___________时，加在另一端用来平衡重物的力F最小(用W，m，a表示).
师生活动：教师引导学生分析题意，提炼出蕴含的数学不等式，学生交流讨论得到答案.
预设的答案：
设杠杆长为米，在另一端用来平衡重物的力F最小，由杠杆平衡条件可知：，则（当且仅当时，取等号），所以当杠杆的长为时，加在另一端用来平衡重物的力F最小
故答案为：
设计意图：利用基本不等式求和的最小值.
【课堂练习二】
若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2．
师生活动：学生独立完成，核对答案.
预设的答案：25
设矩形的一边为xm，面积为ym2，则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，其中0∴y＝x(10－x)≤＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25．
故答案为：25
设计意图：利用基本不等式求积的最大值.
四、归纳反思、布置作业
问题4：通过本单元的学习，你能说说你学到了哪些知识和方法？有什么体会？
师生活动：学生交流发表自己的体会，教师帮助梳理本单元的学习内容和方法，及学习过程中的体会．
设计意图：从单元的角度对知识进行梳理，有助于建构学生对基本不等式内容的认知结构，提升学生的数学素养．
作业布置： 教材第31页A组9，10；B组2，3．
五、目标检测设计
1．做一个体积为32 m2，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长取什么值时，用纸最少？
设计意图：考查利用基本不等式的求和的最小值.
2.用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m．当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
设计意图：考查利用基本不等式的求积的最大值.
3.已知一个矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
设计意图：考查利用基本不等式的求积的最大值.
4．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营总利润（单位：10万元）与运营年数为二次函数关系，则每辆客车运营多少年，其运营的年平均利润最大?并求最大年平均利润.
设计意图：考查学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力．
5．一批救灾物资随26辆汽车以x km/h的速度匀速开往400 km处的地震灾区，为安全起见，每辆汽车的前后间距不得小于 km，问这批物资全部到达灾区，最少要用多少小时?
设计意图：巩固学生利用基本不等式的模型解决实际问题的能力．
参考答案：
1．设底面的长为a，宽为b，则由题意得2ab=32，即ab=16．所以用纸面积为，当且仅当a=b=4时取等号．
即当底面的长和宽均为4时，用纸最少．
2．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得a+2b=30，所以，当且仅当a=2b=15时取等号．
故当矩形的长为15 m，宽为7.5 m时，菜园的面积最大，最大面积为112.5 m2．
3．设矩形的长为a，宽为b，则由题意得2（a+b）=36，即a+b=18．
因为旋转形成的圆柱的侧面积为：2πab，所以要求侧面积最大，即求ab的最大值，由基本不等式得：，当且仅当a=b=9时取等号．
故当矩形的长宽都为9时，旋转形成的圆柱的侧面积最大．
4.，最大年平均利润是20万元.
设，，
点在二次函数图象上，则，
解得，所以．
所以平均利润．
当且仅当时，即时取等号．
此时最大年平均利润是20万元.
5.10h
设全部物资到达灾区所需时间为小时．
由题意可知，相当于：最后一辆车行驶了25个所用的时间．
因此，．
当且仅当，即时取“”．
故这些汽车以80 的速度匀速行驶时，所需时间最少要10小时．