必修 第一册第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式第3课时教案

这是一份必修 第一册第一章 预备知识3 不等式3.2 基本不等式第3课时教案，共9页。教案主要包含了复习引入，新知探究，初步应用，归纳反思，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。


教学目标
掌握基本不等式，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题．
教学重难点
重点：基本不等式及变形公式的应用．
难点：利用基本不等式求最值时对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件．
课前准备
PPT课件
教学过程
一、复习引入
问题1：基本不等式的内容是什么？它有何作用？
师生活动：学生根据教师提出的问题回顾梳理上节课的知识．
预设的答案：基本不等式；（a，b≥0），利用基本不等式可用求最值．
追问：基本不等式能解决哪几类最值问题？用基本不等式求最值时要注意哪些条件？
师生活动：学生回答，教师适当引导，强调利用基本不等式求最值时，两个变量均为正数是前提，发现“定值”是关键，验证等号成立是求最值的必要条件．
预设的答案：基本不等式能解决以下两类最值问题：（1）如果正数x，y的和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值；（2）如果正数x，y的积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值．用基本不等式求最值时要注意满足三个条件：一正、二定、三相等．
设计意图：通过梳理、归纳帮助学生将头脑中零散的数学知识相互连接起来，构成系统的知识链．把涉及的有关概念或知识点巩固和深化，为例题分析做好充分的准备．
问题2：
①已知，下列说法中正确的是（ ）
A．的最小值是2 B．，的最小值是2
C． D．函数的最小值2
②已知函数在时取得最小值，则______．
师生活动：学生独立思考，之后小组讨论，整个过程老师检查学生的做题情况，掌握情况．最后根据学生的问题针对性的讲解．
预设的答案：①C；②36．
设计意图：本题组紧扣不等式的基本性质和基本不等式的简单应用，根据概念的核心和易错点设计问题，一方面检测学生对基本知识的掌握情况，另一方面使学生进一步理解知识的内涵，为后面的综合应用扫清障碍．
二、新知探究
例1.（1）已知，求函数的最大值．
（2）已知，且，求的最大值．
问题4：观察以上题目，如何转化为基本不等式的形式？用基本不等式求最值时需满足什么条件？
师生活动：学生独立思考后，回答解题思路，教师引导学生将已知条件及所求的结论与基本不等式的条件和结论进行对比，寻找解题的突破口，并强调不等式成立的条件．在（2）中引导学生创造使用基本不等式的条件，要求学生写出规范步骤，并注意变量的取值范围．
预设的答案：
解：（1）．
．
，当且仅当，即时取等号．，，即 故当时，取最大值1．
（2）法1：由x+y=1，得y=1－x，且0＜x＜1，则．
当且仅当，即时等号成立，即的最大值为．
法2：由x+y=1，得y=1－x，且0＜x＜1，则．
当且仅当，即时等号成立，即的最大值为．
法3： ．
则．
当且仅当，即时等号成立，即的最大值为．
设计意图：考査学生利用基本不等式解决简单的最值题的能力，引入基本不等式求最值的两种技巧，“巧用1”“配凑”.
三、初步应用
变式1：已知，且，求的最小值．
追问1：上面变式和例1比较，在解题思路上什么相同之处，你还有什么发现？
师生活动：教师引导学生观察变式1和例1之间的区别，启发学生构造的思维，提示没有定值时，要创造定值，要将表达式变形，让学生发现如何创造性的用“1”在解答过程中进行过渡，并总结“1”的代换方法．也应学会将二元问题转化为一元问题进行解决，同时让学生说出自己的思路，师生共同对每一种思路可行或不可行的原因进行分析．
学生可能出现的错解：由，及，得xy≥36，当且仅当即x=2，y=18时取等号，所以，取得最小值12．这时引导学生从基本不等式求最值需满足的三个条件入手分析错误原因在于等号取不到．
预设的答案：
解：法1：由得，且x＞1．
则．
当且仅当，即x=4时取等号，时，取得最小值16．
法2： ．
，则，当且仅当，又．
时，取得最小值16．
设计意图：检验学生利用基本不等式解决简单的最值题的能力．
变式2：已知，且，求的最小值．
追问2：上式和变式1式子不同，如何求解？
师生活动：教师引导学生从变式1的思路出发，寻求变式2的解题思路，同时指出表象不同的问题，有时本质是相同的．
预设的答案：
∵，∴．
当且仅当时取等号，又，取得最小值8．
设计意图：考察学生对基本不等式“巧用1”技巧的灵活掌握 .
变式3：已知，，求的最小值．
追问3：根据上式形式特征，如何构造基本不等式的形式进行求解？
师生活动：学生思考并进行解答，教师提醒学生应注意所求式子和已知条件的关系，将分母看成一个整体变量，将已知代数式构造成分母的形式．
预设的答案：
解：由，得(2x+2)+(y+1)=4，2x+2＞0，y+1＞0．
则
．
当且仅当，即时取等号，所以所求式子的最小值为2．
设计意图：加强学生对基本不等式“巧用1”技巧的灵活掌握 .
变式4：已知，且，求的最小值．
追问4：观察上面问题，和变式1，2对比，你发现了它们的共同点了吗？和例1比较，你还有其他想法吗？
师生活动：教师引导学生先观察式子特征，和变式1的式子比较，发现已知条件可以转化为变式1的条件形式，因此可以用变式1的方法求最值．和例1（1）比较，可以将已知条件进行因式分解成乘积形式，利用不等式求解．
预设的答案：
解：法1：由，可得．
．
当且仅当时取等号，又，∴的最小值是5．
法2：由，可得．
当且仅当时取等号，即∴的最小值是5．
法3：由，可得，
即，．
．
当且仅当时取等号，即等号成立．
∴的最小值是5．
设计意图：让学生体会在应用基本不等式解决问题时，要学会观察，学会变形．若“一正、二定、三相等”的条件不满足时，则需要对条件作出调整和转化，使其满足上述条件，方可利用基本不等式．转化的方法有拆项、添项、凑项、变号等．通过一系列的问题，让学生明白数学的学习不只是学习解题的套路，更要通过不断地思考变换的问题，让自己思维更广阔，增强自己的思维能力，培养将未知转化为已知的能力．
【课堂练习一】
多选题
1．设，，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式恒成立
B．函数的最小值为2
C．函数的最大值为
D．若，则的最小值为6
师生活动：小组合作讨论，学生代表回答，教师给予指导点拨.
预设的答案：AC
因为，．
由于，，当且仅当时，等号同时成立．
故恒成立，所以A正确；
由，当且仅当，即时取等号．
由于，所以，所以B不正确；
因为，所以，当且仅当时取等号．
又由．
即函数的最大值为，所以C正确；
因为，则．
可得
，所以D不正确.
故选：AC.
设计意图：灵活运用利用基本不等式求解最值的基本策略.
【课堂练习二】
函数的最小值是___________.
师生活动：学生代表板书解答过程，交流自己的做法.
预设的答案：4
令，则，当且仅当，即时，.
所以函数的最小值是4.故答案为：4
设计意图：反复强化基本不等式的注意事项.
四、归纳反思、布置作业
问题6：回顾本节学习过程，回答以下问题：
基本不等式是什么？能够解决什么问题？在解决问题时应注意什么？
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生灵活掌握利用这些基本知识求解问题时的易错点及转化办法，深刻意识到基本不等式是解决最值问题的有力工具．
布置作业：教材第30页A组第5题
五、目标检测设计
1．已知，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．4 D．5
设计意图：考查在多次使用基本不等式求最值时等号成立的条件要一致．
2．（1）若a＞0，b＞0，ab=2a+b，则a+b的最小值为______，ab的最小值为_______．
（2）若0＜x＜1，则的最小值为_______．
3．设求的最大值．
设计意图：考查学生面对没有定值的情况，如何对表达式恒等变形，创造定值．
*4．已知为不全相等的正实数，且．求证：．
设计意图：考查利用基本不等式证明不等式及“1”的代换．
*5．某农场有一废弃的猪圈，留有一面旧墙长12 m，现准备在该地区重新建一个猪圈．平面图为矩形，面积为56 m2，预计：①修复1 m旧墙的费用是建造1m新墙费用的25%，②拆去1 m旧墙所得材料用以建成1 m新墙的费用是建1 m新墙费用的50%，③为安装圈门，要在围墙的适当处留出1 m的空缺．试问：这里建造猪圈的围墙应当怎样利用旧墙，才能使所需的总费用最小？
设计意图：考查解决实际问题的能力．
参考答案：
1．C
解析：因为当且仅当，且，即时，取“=”号．
2．（1），8，（2）9
3．解：，，当且仅当时取等号，又，，的最大值是．
4．证明：都是正实数，且．
以上三个不等式相加，得，即
不全相等，所以上述三个等式中的“=”不都同时成立．
所以．
5．解：显然，使旧墙全部得到利用，并把圈门留在新墙处为好．设修复成新墙的旧墙为x m，则剩下的旧墙拆得的材料可建造新墙 m，于是还需建造新墙的长为
(m)
设建造1 m新墙所需a元，建造围墙的总费用为y元．
则
又，．
当且仅当，即时，上式等号成立．
因此修复的旧墙约为8 m，拆除并改建成新墙的旧墙约为4 m时，建造的总费用最小．
注意：标注“*”的内容为选做．