数学必修 第一册2.1 古典概型教学设计

这是一份数学必修 第一册2.1 古典概型教学设计，共10页。教案主要包含了整体概览，探索新知，形成定义，初步应用，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

7.2.1古典概型
教学目标
通过实例体会古典概型的抽象过程
2. 理解古典概型的两个基本特征，掌握古典概型的概率计算公式
3.了解古典概型的重要性和应用的广泛性，能建立古典概率模型解决简单的实际问题，提升数学建模素养.
教学重难点

教学重点：古典概型的建立和应用.
教学难点：古典概型的辨析
课前准备

PPT课件．
教学过程
一、整体概览
问题1：阅读课本，回答下列问题：
（1）本节将要研究哪类问题？
（2）本节要研究的问题在数学中的地位是怎样的？
师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.
预设的答案：（1）《古典概型》是高中数学北师大版第七章概率部分7.2.1节的内容，教学安排是1课时，是在事件之间的关系与运算的学习之后，尚未学习排列组合的情况下教学的.（2）古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到了概率的精确值，同时古典概型也是后面学习独立事件的概率的基础，它有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有重要的地位.
设计意图：通过本节课内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.
二、探索新知
1、问题导入
甲、乙两位同学玩抛掷骰子游戏，规则为：出现偶数点数为甲赢，出现奇数点数为乙赢.
请问这个游戏公平吗？
要研究这个问题，需要明确随机事件发生的可能性大小
2、自主探究
问题1：
试验1：在试验“抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子掷出的点数”中，“掷出点数2”的可能性和“掷出点数3”的可能性一样吗？如何表示呢？
试验2：在试验“连续抛掷一枚硬币2次，观察每次掷出的硬币的情况”事件“两次都出现正面”的可能性是多少？如何表示呢？
师生活动：学生小组自主讨论，老师指导
预设答案：
（1）因为样本空间包含6个样本点，{1，2，3，4，5，6}而且因为骰子是均匀的，所以可以认为每个样本点出现的可能性相等，又因为事件“掷出点数2”包含1个样本点，因此，可以认为事件“掷出点数2”的可能性是；事件“掷出点数3”的可能性是
在试验“连续抛掷一枚硬币2次，观察每次掷出的情况”，样本空间包含4个样本点，{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}，因为每个样本点出现的可能性相等，又因为事件“两次都出现正面”包含1个样本点，因此事件“两次都出现正面”的可能性是.
设计意图：学生通过初中已有的比例计算概率的方法容易得到答案,但是之前只是通过直观计算，并没有给出可以这样计算的原理，通过问题1，问题2引出这种计算方法的合理解释，增强了学生的理性认识，总结这些试验的共同特点，得出古典概型的概念，让学生体会这种常见的、简单的求概率的模型.
对于一个随机事件A，我们通常用一个数P（A）（0≤P（A）≤1）来表示该事件发生的可能性的大小，这个数就称为随机事件A的概率.概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画.例如：P(抛掷一枚硬币，出现正面朝上) =0.5
追问：这两个试验对应的样本空间的特征是什么？
师生活动：小组讨论样本空间的特征
预设答案：
（1）有限性：样本空间的样本点总数有限，
（2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
设计意图：选取的两个试验，一个是一维有限样本空间，一个是二维有限样本空间，在前面的学习中学生都接触过，比较熟悉，有利于快速切入本节课.通过追问，教会学生从具体事物中抽象出共同特征，进一步认识古典概型的特点.
三、形成定义
一般地，若试验E具有如下特征：
（1）有限性：试验E的样本空间的样本点总数有限，即样本空间为有限样本空间；
（2）等可能性：每次试验中，样本空间的各个样本点出现的可能性相等.
则称这样的试验模型为古典概率模型，简称古典概型.
对古典概型来说，如果样本空间包含的样本点总数为n，随机事件A包含的样本点个数为m，那么事件A发生的概率为
师生活动：学生独自感悟总结，教师指正补充
追问：在现实生活中有绝对均匀的硬币吗？有绝对均匀的骰子吗？古典概型是存在吗？.
预设答案：
实际生活中没有绝对均匀的硬币，也没有绝对均匀的骰子，古典概型只是从现实生活中抽象出来的一个理想化的数学模型，有着广泛的用途.
2、概念辨析：
（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗? 为什么?
（2）某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个:命中10 环、命中9 环……命中5 环和不中环.你认为这是古典概型吗?为什么?
（3）某班级男生30 人，女生20 人，随机地抽取一位学生代表，出现50 个不同的结果，你认为这是古典概型吗? 为什么?
（4）某班级男生30 人，女生20 人，随机地抽取一位学生代表，出现两个可能结果:“男同学代表”，“女同学代表”，你认为这是古典概型吗?为什么?
（5）某班级男生30 人，女生30 人，随机地抽取一位学生代表，出现两个可能结果：“男同学代表”，“女同学代表”，你认为这是古典概型吗?为什么?
师生活动：学生独立思考后交换意见，学生代表发言，其他同学评价补充.
预设答案：
（1）不是，样本点的个数是无限的；
（2）不是，命中某一环的概率不相同；
（3）是.满足古典概型的条件；
（4）不是，出现某一个结果的不等可能性；
（5）是，出现某一个结果等可能性.
设计意图：通过正、反两方面的例子，特别是举一些破坏了古典概型两个重要特征的例子，以突破古典概型识别的难点.
四、初步应用
例1.某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（1）班先抽，求他们抽到的出场序号小于4的概率.
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设答案：考虑高一（1）班从10个出场序号签中抽一个签的试验，其样本空间可记为：
共包含10个样本点，而且每个样本点出现的可能性是相等的
记A：抽到的出场序号小于4，则不难看出：
A包含的样本点个数为3，则
设计意图：通过例题熟悉古典概型的公式的用法.
例2. 按先后顺序抛两枚均匀的硬币，观察正反面出现的情况，求至少出现一个正面的概率.
师生活动：学生分析解题思路，给出答案．
预设答案：
方法一：这个试验的样本空间可记为：
共包含4个样本点，而且每个样本点出现的可能性是相等的
记A：至少出现一个正面，则
A包含3个样本点，所以
方法二：这个试验的样本空间可记为：
共包含4个样本点，而且每个样本点出现的可能性是相等的
记A：至少出现一个正面，则={（反，反）}
因为
所以
设计意图：通过例题熟悉古典概型的公式的用法.
古典概型中的概率也具有前面我们所说的概率的性质:
（1）由与可知: ；
（2）因为中包含的样本点个数为，所以，，即；
（3）若事件包含有个样本点，而且与互斥，则容易知道包含个样本点，从而.
例3 在试验E6“袋中有白球3个（编号为1，2，3）、黑球2个（编号为1，2），这5个球除颜色外完全相同，从中不放回地依次摸取2个，每次摸1个，观察摸出球的情况”中，摸到白球的结果分别记为w1，w2，w3，摸到黑球的结果分别记为b1，b2.求：
（1）取到的两个球都是白球的概率；
（2）取到的两个球颜色相同的概率；
（3）取到的两个球至少有一个是白球的概率》
解：由前面的分析可知试验E6的样本空间={ w1w2，w1w3，w1b1，w1b2，w2w1，w2w3，w2b1，w2b2，w3w1，w3w2，w3b1，w3b2，b1w1，b1w2，b1w3，b1b2，b2w1，b2w2，b2w3，b2b1}，共有20个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，可用古典概型来计算概率.
设事件A表示“取到的两个球都是白球”，则
A={ w1w2，w1w3，w2w1，w2w3，w3w1，w3w2}，共含有6个样本点，所以
即取到的两个球都是白球的概率为
设事件B表示“取到的两个球颜色相同”，则
B={ w1w2，w1w3，w2w1，w2w3，w3w1，w3w2，b1b2，b2b1}，共含有8个样本点，所以
即取到的两个球颜色相同的概率为
设事件C表示“取到的两个球至少有一个是白球”，则
C={ w1w2，w1w3，w1b1，w1b2，w2w1，w2w3，w2b1，w2b2，w3w1，w3w2，w3b1，w3b2，b1w1，b1w2，b1w3，b2w1，b2w2，b2w3}，共含有18个样本点，所以
即取到的两个球至少有一个是白球的概率为
五、课堂小结
本节课收获了哪些知识，请你从以下几方面总结：
什么是古典概型？
古典概型的特点是什么？
古典概型中的概率具有哪些性质？
师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.
预设的答案：
1、一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点的个数是有限的（简称有限性），而且可以认为每个只包含一个样本点的事件（基本事件）发生的可能性大小都相等（简称等可能性），则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.
2、古典概型的共同特点是：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2）每个基本事件出现的可能性相等.
3、
①由与可知: ；
②因为中包含的样本点个数为，所以，，即；
③若事件包含有个样本点，而且与互斥，则容易知道包含个样本点，从而.
设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确古典概型的有关知识．
目标检测
一、选择题
1.下列试验是古典概型的是（ ）
A．种下一粒大豆观察它是否发芽
B．从规格直径为（2500.6）mm的一批产品中任意抽一根，测量其直径
C．抛一枚硬币，观察其正面或反面出现的情况
D．某人射击中靶或不中靶
设计意图：考查学生对古典概型的概念的理解.
2. 下列有关古典概型的四种说法：
①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；
②每个事件出现的可能性相等；
③每个样本点出现的可能性相等；
④已知样本点总数为，若随机事件包含个样本点，则事件发生的概率.
其中所正确说法的序号是（ ）
A．①②④B．①③C．③④D．①③④
设计意图：考查学生对古典概型的特点的理解.
3、北京冬奥会将要在某高校的8名懂外文的志愿者中选1名，其中有3人懂日文，则选到懂日文的志愿者的概率为( )
A.eq \f(3,8) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,5)
设计意图：考查学生对古典概型的计算.
4、从甲、乙、丙三人中任选两人参加某项活动，其中“甲被选中”这一事件所含的样本点有________个．
设计意图：考查学生对古典概型中的样本点的理解.
二、填空题
1.抛掷一枚均匀的骰子，“掷出偶数点”的可能性是（ ）
2.同时抛掷两枚均匀的骰子（编号为1，2），“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是（ ）
3.同时抛掷两枚均匀的骰子，“掷出的点数相同”的可能性是（ ）
设计意图：通过自主探究活动，进一步让学生体会随机事件的概率是一个确定的值，同时多次经历求古典概型的概率，对古典概型的特点有了更深刻的感悟.
三.从含有两件正品和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，求取出的两件产品恰有一件次品的概率.
设计意图:利用树形图来帮助学生列举样本空间，一是为了教会学生怎样不重不漏的列举所有情况；二是为了培养学生借助直观图理解数学知识的能力.
参考答案：
一、选择题
1、【答案】C
2、【答案】D
3、A [8名懂外文的志愿者中随机选1名其样本空间包含8个样本点，“选到懂日文的志愿者”包含3个样本点，因此所求概率为eq \f(3,8).]
4、2 [(甲，乙)，(甲，丙)，共2个．]
二、填空题
1、抛掷一枚均匀的骰子，其样本空间为{1，2，3，4，5，6}，共有6个样本点，每个样本点出现的可能性相等，均为16；而“掷出偶数点”对应的事件为（2，4，6}，含有3个样本点，因此可以认为“掷出偶数点”的可能性是36，即12
2、同时抛掷两枚均匀的骰子，其样本空间共有36个样本点，每个样本点出现的可能性相等，均为136；而“1号骰子掷出的点数为1”对应的事件为{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）}，含有6个样本点，因此可以认为“1号骰子掷出的点数为1”的可能性是636，即16
3、“掷出的点数相同”对应的事件为（（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）），含有6个样本点，因此可以认为“掷出的点数相同”的可能性是636，即16.
三、按题意，取产品的过程可以用如图树形图直观表示：
因此样本空间可记为：
共包含6个样本点.
用A表示“取出的两件中，恰好有一件次品”，则
A包含的样本点个数为4，所以