高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型教案

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册2.1 古典概型教案，共9页。教案主要包含了教学重点，教学难点等内容，欢迎下载使用。


1.知识与技能
（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；
（2）掌握古典概型的概率计算公式：；
（3）会叙述求古典概型的步骤。
2.过程与方法
通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观
通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点。
教学重难点
【教学重点】
正确理解掌握古典概型及其概率公式。
【教学难点】
能应用古典概型计算公式求复杂事件的概率。
教学过程
（一）新课导入
在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A、B、C、D四个选项中选出所有正确答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？
（二）复习回顾
1．从事件发生与否的角度可将事件分为哪几类？
必然事件、不可能事件、随机事件
2．概率是怎样定义的？
一般地，如果随机事件A在n次试验中发生了m次，当试验的次数n很大时，我们可以将事件A发生的频率作为事件A发生的概率的近似值，即 。（其中P(A)为事件A发生的概率）
3.概率的性质：0≤P（A）≤1；P(Ω)＝1，P(φ)=0
（三）新课讲授
1.基本事件
在一个试验可能发生的所有结果中，那些不能再分的最简单的随机事件称为基本事件。(其他事件都可由基本事件的和来描述)
考察两个试验
(1)掷一枚质地均匀的硬币的试验 正面向上 ,反面向上
(2)掷一枚质地均匀的骰子的试验 六种随机事件
基本事件
(1)中有两个基本事件 (2)中有6个基本事件
基本事件的特点：（1）任何两个基本事件是不能同时发生的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
思考1：抛掷两枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？连续抛掷三枚质地均匀的硬币，有哪几种可能结果？
答：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)；(正，正，正)，(正，正，反), (正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反).
思考2：在连续抛掷三枚质地均匀的硬币的试验中，随机事件“出现两次正面和一次反面”，“至少出现两次正面”分别由哪些基本事件组成？
答：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)；(正，正，正)，(正，正，反)，
(正，反，正)，(反，正，正)．
例1 从字母a、b、c、d中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？ 事件“取到字母a”是哪些基本事件的和？
解：所求的基本事件有6个， A＝{a，b}，B＝{a，c}，C＝{a，d}, D＝{b，c}，E＝{b，d}，F＝{c，d};
“取到字母a”是基本事件A、B、C的和，即A＋B＋C
反思与感悟 基本事件有如下两个特点：
(1)任何两个基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。
2.古典概型
我们会发现，以上试验和例1有两个共同特征：
(1)在随机试验中，其可能出现的结果有有限个，即只有有限个不同的基本事件；（有限性）
(2)每个基本事件发生的机会是均等的。（等可能性）
由于以上这些都是历史上最早研究的概率模型，因此，具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3.古典概型的概率
P（A）=
一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n,随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概率，记作P(A)，即有。
（三）例题探究
例2 某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？
解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的(为什么？)，即不满足古典概型的第二个条件。
反思与感悟 判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性。
例3 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案，假设考生不会做，他随机地选择一个答案，则他答对的概率是多少？
解：由于考生随机地选择一个答案，所以他选择A，B，C，D哪一个选项都有可能，因此基本事件总数为4，设答对为随机事件A，由于正确答案是唯一的，所以事件A只包
含一个基本事件，所以P(A)＝14。
反思与感悟：解答概率题要有必要的文字叙述，一般要用字母设出所求的随机事件，要写出所有的基本事件及个数，写出随机事件所包含的基本事件及个数，然后应用公式求出。
例4 同时掷两个颜色不同的骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
答案：（1）36，（2）4，（3）
解析：
【纠错】
例4 同时掷两个颜色不同的骰子,计算：
（1）一共有多少种不同的结果？
（2）其中向上的点数之和是5的结果有多少种？
（3）向上的点数之和是5的概率是多少？
答案：（1）21，（2）2，（3）
【解析】所有可能结果：
【剖析】两题都是用古典概型的概率计算公式得到的,为什么出现不同的结果呢？第一题基本事件是等可能发生的，第二题基本事件不是等可能发生的.因此，用古典概型计算概率时，一定要验证构造的基本事件是不是等可能发生的，否则会出错误！
例5 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组。
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率。
解：(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事 件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}有18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的。
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}事件M有6个基本事件组成，因而P(M)＝eq \f(6,18)＝eq \f(1,3)
(2)用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件eq \x\t(N)表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于eq \x\t(N)＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件eq \x\t(N)有3个基本事件组成，所以P(eq \x\t(N))＝eq \f(3,18)＝eq \f(1,6)，由对立事件的概率公式得
P(N)＝1－P(eq \x\t(N))＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6)
反思与感悟 在应用古典概型概率计算公式求概率时，有些事件用文字书写较麻烦，我们常用一些字母或数字来表示事件，为解题带来方便。
例6 有A、B、C、D四位贵宾，应分别坐在a、b、c、d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就坐时，
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰好有1位坐在自己的席位上的概率。
解：将A、B、C、D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来：
如上图所示，本题中的等可能基本事件共有24个。
(1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个基本事件，所以P(A)＝eq \f(1,24)
(2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”，则事件B包含9个基本事件，所以P(B)＝eq \f(9,24)＝eq \f(3,8)
(3)设事件C为“这四个人恰有1位坐在自己席位上”，则事件C包含8个基本事件，所以P(C)＝eq \f(8,24)＝eq \f(1,3)
跟踪训练1 假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1，……，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他在自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
解：这个人随机试一个密码，相当做1次随机试验，试验的基本事件(所有可能的结果)共有10 000种．由于是假设的随机的试密码，相当于试验的每一个结果是等可能的．所以P(“能取到钱”)＝eq \f(“能取到钱”所包含的基本事件的个数,10 000)＝eq \f(1,10 000)
探究点二 与顺序无关的古典概型
跟踪训练2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球。
(1)共有多少个基本事件？
(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？
解：(1)分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，从中摸出2只球，有如下基本事件(摸到1、2号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，因此，共有10个基本事件
(2)上述10个基本事件发生的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到两只白球(记为事件A)，即(1,2)、(1,3)、(2,3)，故P(A)＝eq \f(3,10)
故摸出2只球都是白球的概率为eq \f(3,10)
跟踪训练3 先后抛掷两枚大小相同的骰子
(1)求点数之和出现7点的概率；
(2)求出现两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率。
解：基本事件的总数共36种。
(1)记“点数之和出现7点”为事件A，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)。故P(A)＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)
(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4)。故P(B)＝eq \f(1,36)
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P(C)＝eq \f(12,36)＝eq \f(1,3)
（四）课堂检测
1．下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[22,30)内的概率为 ( )
A.0.2 B．0.4 C．0.5 D．0.6
答案：B
解析：10个数据落在区间[22,30)内的数据有22,22,27,29共4个，因此，所求的频率为eq \f(4,10)＝0.4
故选B
2．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，
则b>a的概率是 ( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,5)
答案：D
解析：设基本事件为(a，b)，则所有基本事件：Ω＝{(a，b)|a∈{1,2,3,4,5}，b∈{1,2,3}}，包含的基本事件总数n＝15.事件“b>a”为{(1,2)，(1,3)，(2,3)}，包含的基本事件数为m＝3.其概率P＝eq \f(3,15)＝eq \f(1,5)
3．从1,2,3,4,5这5个数字中，不放回地任取两数，两数都是奇数的概率是________
答案：eq \f(3,10)
解析：基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，而两数都是奇数的有(1,3)，(1,5)，(3,5)．故所求概率P＝eq \f(3,10)
4．用1,2,3组成无重复数字的三位数，这些数能被2整除的概率是________
答案：eq \f(1,3)
解析：用1,2,3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123,132,213,231,312,321，其中能被2整除的有132,312这2个数，故能被2整除的概率为eq \f(1,3)
5．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表。
求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率。
解：(1)记甲被选中为事件A，基本事件有甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁共6个，事件A包含的事件有甲乙，甲丙，甲丁共3个，则P(A)＝eq \f(3,6)＝eq \f(1,2)
(2)记丁被选中为事件B，由(1)同理可得P(B)＝eq \f(1,2)，又因丁没被选中为丁被选中的对立事件，设为eq \x\t(B)，
则P(eq \x\t(B))＝1－P(B)＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)
（五）课堂总结
1．古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型．解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P(A)＝eq \f(m,n)时，关键是正确理解基本事件与事件A的关系，从而求出m、n
2．求某个随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数常用的方法是列举法(画树状图和列表)，注意做到不重不漏。
3．在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可。
4．解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法；对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度。
教学反思
略。
1点
2点
3点
4点
5点
6点
1点
2
3
4
5
6
7
2点
3
4
5
6
7
8
3点
4
5
6
7
8
9
4点
5
6
7
8
9
10
5点
6
7
8
9
10
11
6点
7
8
9
10
11
12
（1,1）
（1,2）
（1,3）
（1,4）
（1,5）
（1,6）
（2,2）
（2,3）
（2,4）
（2,5）
（2,6）
（3,3）
（3,4）
（3,5）
（3,6）
（4,4）
（4,5）
（4,6）
（5,5）
（5,6）
（6,6）